풀다 시스템선의 그것은 자연 과학과 수학 분야의 연구에서 매우 반복되는 과제입니다. 알려지지 않은 값에 대한 검색은 선형 시스템을 해결하는 방법의 개발로 이어졌습니다. 두 개의 방정식과 두 개의 미지수, 두 방정식의 선형 시스템을 풀지 만 방정식이 더 많은 시스템에 더 편리한 Crammer의 규칙 및 스케일링. 선형 시스템은 하나 이상의 미지수가있는 두 개 이상의 방정식 세트입니다.
읽기 :행렬과 선형 시스템의 관계는 무엇입니까?
일차 방정식
방정식 작업은 알 수없는 알 수없는 값을 찾아야합니다.. 다음 예와 같이 대수식이 같을 때 방정식이라고 부르고, 미지수의 가장 큰 지수가 1이면 선형으로 분류됩니다.
2x + y = 7 → 미지수가 2 개인 선형 방정식
a + 4 = -3 → 미지수가 하나 인 선형 방정식
일반적으로 선형 방정식은 다음과 같이 설명 할 수 있습니다.
그만큼1엑스1 +2엑스2 + a3x3... + a아니엑스아니 = c
하나 이상의 선형 방정식이있을 때 방정식 시스템으로 알고 있습니다. 두 가지 미지의 선형 시스템으로 시작합니다.
선형 시스템 풀기
2 개의 1 차 방정식과 2 개의 미지수가있는 선형 시스템
두 개의 방정식과 두 개의 미지의 시스템을 풀기 위해 몇 가지 행동 양식에서 가장 잘 알려진 세 가지는 다음과 같습니다.
- 비교 방법
- 추가 방법
- 대체 방법
세 가지 중 하나는 두 방정식과 두 가지 미지의 선형 시스템을 풀 수 있습니다. 이러한 방법 방정식이 더 많은 시스템에 비해 효율적이지 않습니다.,이를 해결하는 다른 특정 방법이 있기 때문입니다.
교체 방법
교체 방법은 다음과 같이 구성됩니다. 미지의 것 중 하나를 분리 방정식 중 하나에서 다른 방정식에서 대체를 수행하십시오.
예:
1 단계: 알려지지 않은 것 중 하나를 분리하십시오.
우리는 I를 첫 번째 방정식, II를 두 번째 방정식이라고 부릅니다. 두 가지를 분석하자 분리하기 가장 쉬운 미지수를 선택하십시오. 참고 방정식 I → x + 2y = 5, x에는 계수가 없으므로 분리하기가 더 쉽기 때문에 다음과 같이 방정식을 다시 작성합니다.
나는 → x + 2y = 5
나는 → x = 5-2 년
2 단계 : II에서 I를 대체하십시오.
이제 x 만있는 방정식 I이 있으므로 방정식 II에서 x를 5 – 2y로 바꿀 수 있습니다.
II → 3x – 5y = 4
x를 5-2y로 바꾸기 :
3 (5-2 년)-5 년 = 4
이제 방정식에 알려지지 않은 것이 하나만 있으므로 y 값을 찾기 위해 방정식을 풀 수 있습니다.
y의 값을 알면 방정식 I에서 y의 값을 대체하여 x의 값을 찾을 수 있습니다.
나는 → x = 5-2 년
x = 5-2 · 1
x = 5-2
x = 3
따라서 시스템의 해는 S = {3,1}입니다.
비교 방법
비교 방법은 다음과 같이 구성됩니다. 두 방정식에서 미지수를 분리하고이 값을 균등화합니다..
예:
1 단계 : 나는 첫 번째 방정식이고 두 번째 방정식은 I와 II에서 알려지지 않은 것 중 하나를 분리합시다. 알려지지 않은 x를 분리하기로 선택하면 다음을 수행해야합니다.
2 단계: x = x이므로 두 개의 새로운 방정식을 동일시하십시오.
3 단계: 방정식 중 하나에서 y 값을 -2로 바꿉니다.
x = -4-3 년
x = -4-3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
따라서이 시스템의 해는 세트 S = {2, -2}입니다.
참조: 함수와 방정식의 차이점은 무엇입니까?
추가 방법
덧셈 방법은 방정식 중 하나의 모든 항의 곱셈을 수행하는 것으로 구성됩니다. 방정식 I을 방정식 II에 추가하면 미지수 중 하나가 0과 같습니다..
예:
1 단계 : 계수가 반대가되도록 방정식 중 하나를 곱하십시오.
방정식 II에 2를 곱하면 방정식 II에 4y가 있고 방정식 I에 -4y가 있으며 I + II를 더하고 0y를 얻습니다. 방정식 II의 모든 항에 2를 곱하여 우연히 있다.
나는 → 5x – 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2 단계 : 합계 I + 2 · II를 수행하십시오.
3 단계 : x = 3의 값을 방정식 중 하나로 대체하십시오.
3 개의 1 차 방정식과 3 개의 미지수가있는 선형 시스템
시스템에 세 가지 미지수가있을 때 우리는 다른 해결 방법을 채택합니다. 이 모든 방법은 계수를 행렬에 연결하며 가장 많이 사용되는 방법은 Crammer의 규칙 또는 스케일링입니다. 두 방법의 해상도를 위해 2x2 시스템을 포함한 시스템의 매트릭스 표현이 매트릭스로 표현 될 수 있어야합니다. 가능한 표현은 완전 행렬과 불완전 행렬의 두 가지입니다.
예:
시스템
다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 전체 행렬
그리고 불완전한 행렬
Crammer의 규칙
미지수가 x, y 및 z 인 3x3 시스템에 대한 솔루션을 찾으려면 Crammer의 규칙, 불완전 행렬과 그 변이의 행렬식을 계산할 필요가 있습니다. 따라서 다음을 수행해야합니다.
D → 시스템의 불완전한 행렬의 결정 인자.
디엑스 → 시스템의 불완전 행렬의 결정 인자, x의 열을 독립항의 열로 대체.
디와이 → 시스템의 불완전 행렬의 결정 인자, y 열을 독립 항의 열로 대체합니다.
디지 → 시스템의 불완전 행렬의 결정 인자, z의 열을 독립 항의 열로 대체합니다.
따라서 미지의 값을 찾으려면 먼저 다음을 계산해야합니다. 결정자 D, D엑스, D와이 시스템과 관련이 있습니다.
예:
1 단계 : D를 계산하십시오.
2 단계 : D 계산엑스.
3 단계 : 다음과 같은 이유로 x의 값을 찾을 수 있습니다.
4 단계: 계산 D와이.
5 단계: 그런 다음 y의 값을 계산할 수 있습니다.
6 단계 : 이제 x와 y의 값을 알았으므로 두 줄에서 x와 y의 값을 대체하고 z를 분리하여 z의 값을 찾을 수 있습니다. 또 다른 옵션은 D를 계산하는 것입니다.지.
첫 번째 방정식에서 x = 0 및 y = 2를 대체합니다.
2x + y-z = 3
2 · 0 + 2 – z = 3
0 + 2-z = 3
-z = 3-2
-z = -1 (-1)
z = -1
따라서 시스템 솔루션은 입찰 (0.2, -1)입니다.
또한 액세스: 방정식 시스템에 의한 문제 해결
스케일링
선형 시스템을 해결하는 또 다른 방법은 스케일링이며, 여기서는 미지수를 분리하기 위해 라인 사이의 완전한 행렬과 연산 만 사용합니다. 아래에서 시스템을 확장 해 보겠습니다.
1 단계: 시스템을 나타내는 완전한 행렬을 작성하십시오.
L1, L2 그리고 나3 행렬의 라인 1, 2 및 3 각각에 대해 L 사이의 작업을 수행합니다.1 그리고 나2 그리고 나1 그리고 나3따라서 결과는 두 번째 및 세 번째 행의 첫 번째 열에있는 항이 0이되도록합니다.
행렬의 두 번째 줄을 분석하여 용어 a21을 제로화하기 위해 L2 → -2 · L1 + L2의 결과로 대체하겠습니다.
그만큼21 = -2 · 1 + 2 = 0
그만큼22 = -2 · 2 + 1 = -3
그만큼23 = -2 · (-3) + 1 = 7
그만큼24 =-2 · 10 + 3 = -17
그래서 L2 0 -3 7 -17이됩니다.
행렬의 세 번째 행을 분석하여 L3 → 3L1 + L의 결과로 대체하겠습니다.2, 용어를 다음으로 재설정하려면31.
그만큼31 = 3 · 1 – 3 = 0
그만큼32 = 3 · 2 + 2 = 8
그만큼33 = 3 · (-3) +1 = -8
그만큼34 = 3 · 10 – 6 = 24
그래서 L3 0 8 -8 24가됩니다.
모두 8로 나눌 수 있으므로 L 라인은3 간단하게 8로 나눕니다.
엘3 → L3 : 8은 0 1-1 3.
따라서 스케일링 된 방정식의 새 행렬은 다음과 같습니다.
이제 목표는 세 번째 행의 y 열을 재설정하는 것입니다. L 사이의 작업을 수행합니다.2 그리고 나3, 그들 중 하나의 두 번째 열을 재설정하는 목적으로.
L3를 L3 → L로 대체하겠습니다.2 + 3L3.
그만큼31 = 0 + 3 · 0 = 0
그만큼32 = -3 + 3 · 1 = 0
그만큼33 = 7 + 3 · (-1) = 4
그만큼34 = -17 + 3 · 3 = -8
그래서 L3 0 0 4 -8입니다.
새로운 스케일 매트릭스는 다음과 같습니다.
이제이 행렬을 다시 시스템으로 표현하고 x, y, z를 열에 추가하면 다음을 찾을 수 있습니다.
그런 다음 각 미지의 값을 찾을 수 있습니다. 방정식 III를 분석하면 다음을 수행해야합니다.
z = -2이면 z의 값을 두 번째 방정식으로 대체 해 보겠습니다.
마지막으로 첫 번째 방정식에서 x의 값을 찾기 위해 y와 z의 값을 대체 해 보겠습니다.
참조: 1 급 불평등 시스템 – 어떻게 해결해야합니까?
선형 시스템 분류
선형 시스템은 여러 개의 미지수와 여러 방정식을 가질 수있는 일련의 선형 방정식입니다. 방정식의 수에 관계없이이를 해결하는 몇 가지 방법이 있습니다. 세 가지 등급 선형 시스템의 경우.
- 가능한 시스템 (SPD) 확인 : 단일 솔루션이있을 때.
- 미확인 가능한 시스템 (SPI): 무한한 해결책이있을 때.
- 불가능한 시스템(시): 해결책이 없을 때.
해결 된 운동
질문 1 (IFG 2019) 168cm와 같은 삼각형의 바닥에 대한 바닥과 높이의 합과 24cm의 차이를 고려하십시오. 베이스의 측정 값과이베이스에 대한 상대적인 높이의 측정 값은 각각 다음과 같습니다.
a) 72cm 및 96cm
b) 144cm 및 24cm
c) 96cm 및 72cm
d) 24cm 및 144cm
해결
대안 C.
h → 높이 및 b → 밑면으로하면 다음 시스템이 있습니다.
추가 방법에 따라 다음을 수행해야합니다.
h의 값을 찾기 위해 b = 96cm를 첫 번째 방정식에 대입 해 보겠습니다.
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168-96
높이 = 72cm
질문 2 다음 선형 시스템을 나타내는 불완전 행렬은 다음과 같습니다.
해결
대안 C.
불완전한 행렬은 x, y 및 z의 계수를 가진 행렬이므로 3x3 행렬이됩니다. 대안을 분석 할 때 올바른 부호가있는 3x3 행렬을 포함하는 것은 문자 C입니다.
작성자: Raul Rodrigues de Oliveira
수학 선생님
출처: 브라질 학교- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
