에 대한 대수의 기본 정리 다항 방정식 보장합니다 "각도 다항식 n≥ 1 적어도 하나의 복잡한 루트가 있습니다. ". 이 정리의 증거는 1799 년 수학자 프리드리히 가우스가 만들었습니다. 그것으로부터 우리는 다항 분해 정리이는 모든 다항식이 1 차 요인으로 분해 될 수 있음을 보장합니다. 다음 다항식을 취하십시오. p (x) 학년 n ≥ 1 및아니 ≠ 0:
p (x) = a아니 엑스아니 +n-1 엑스n-1 +… +1엑스1 +0
대수의 기본 정리를 통해이 다항식에 적어도 하나의 복 소근이 있다고 말할 수 있습니다. 유1, 그런 p (u1) = 0. 영형 달랑베르의 정리 ~로 다항식의 나눗셈 만약 p (u1) = 0, 그때 p (x) 나눌 수있다 (x-u1), 몫이됩니다. 뭐1(엑스), 차수 다항식 (n-1), 우리는 다음과 같이 말합니다.
피 (x) = (x-u1). 뭐1(엑스)
이 방정식에서 두 가지 가능성을 강조 할 필요가 있습니다.
u = 1 인 경우 과 뭐1(엑스) 차수의 다항식 (n-1), 다음 뭐1(엑스) 학위가있다 0. 지배적 인 계수로 p (x) é 그만큼아니, 뭐1(엑스) 유형의 상수 다항식입니다. 뭐1(엑스)=그만큼아니. 그래서 우리는 :
피 (x) = (x-u1). 뭐1(엑스)
(x) = (x-u1). 그만큼아니
p (x) = a아니 . (x-u1)
하지만 만약 u ≥ 2, 다항식 뭐1 학위가있다 n-1 ≥ 1 그리고 대수의 기본 정리가 유지됩니다. 우리는 다항식이 뭐1 하나 이상의 루트가 있습니다. 아니2, 우리는 뭐1 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
뭐1(x) = (x-u2). 뭐2(엑스)
하지만 어떻게 피 (x) = (x-u1). 뭐1(엑스), 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
피 (x) = (x-u1). (x-u2). 뭐2(엑스)
이 과정을 연속적으로 반복하면 다음과 같은 결과를 얻게됩니다.
p (x) = a아니. (x-u1). (x-u2)… (x – u아니)
| 따라서 우리는 모든 다항식 또는 다항식 방정식이 p (x) = 0 학년 n≥ 1 정확히 소유 아니 복잡한 뿌리. |
예: 있다 p (x) 차수의 다항식 5, 그 뿌리는 – 1, 2, 3, – 2 과 4. 다음을 고려하여 1 차 요인으로 분해 된이 다항식을 작성하십시오. 지배 계수 동일 1. 확장 된 형식으로 작성해야합니다.
만약 – 1, 2, 3, – 2 과 4 다항식의 근이므로 엑스 이러한 각 뿌리에 대해 p (x):
p (x) = a아니. (x + 1). (x – 2). (x – 3). (x + 2). (x – 4)
지배적 인 계수가 그만큼아니 = 1, 우리는 :
p (x) = 1. (x + 1). (x – 2). (x – 3). (x + 2). (x – 4)
p (x) = (x + 1). (x – 2). (x – 3). (x + 2). (x – 4)
p (x) = (x²-x-2). (x-3). (x + 2). (x-4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6). (x + 2). (x – 4)
p (x) = (x4 – 2x³ – 7x² + 8x + 12). (x – 4)
p (x) = x5 – 6 배4 + x³ + 36x²-20x-48
아만다 곤살 베스
수학 졸업
출처: 브라질 학교- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm