역행렬: 그것이 무엇이며, 운동을 찾는 방법

개념 역행렬 숫자의 역수 개념에 매우 가깝습니다. 숫자의 역수를 기억합시다 아니 숫자입니다 아니^-1, 여기서 둘 사이의 곱은 중립 요소와 같습니다. 곱셈즉, 숫자 1입니다. 이미 행렬 M의 역은 행렬 M입니다.^-1, 제품 M / M^-1 단위 행렬 I과 같습니다._아니, 이것은 행렬 곱셈의 중립 요소에 지나지 않습니다.

행렬이 역행렬을 가지려면 정사각형이어야하며 행렬식이 0과 달라야합니다. 그렇지 않으면 역행렬이 없습니다. 역행렬을 찾기 위해 행렬 방정식을 사용합니다.

너무 읽기: 삼각 행렬 — 특수한 유형의 정사각형 행렬

역행렬을 가지려면 정사각형이어야합니다.

단위 행렬

역행렬이 무엇인지 이해하려면 먼저 단위 행렬을 알아야합니다. 우리는 정사각형 행렬 I를 단위 행렬로 알고 있습니다._아니 여기서 주 대각선의 모든 요소는 1과 같고 다른 항은 0과 같습니다.

그만큼 단위 행렬은 행렬 간 곱셈의 중립 요소입니다.즉, 주어진 본부 순서 n의 M, 행렬 M과 행렬 I 사이의 곱_아니 행렬 M과 같습니다.

남 · 나_아니 = M

역행렬을 계산하는 방법

M의 역행렬을 찾으려면 행렬 방정식을 풀어야합니다.

 남 · 남^-1 = 나_아니

예

M의 역행렬을 찾으십시오.

우리는 역행렬을 모르기 때문에이 행렬을 대수적으로 표현해 봅시다.

우리는이 행렬 사이의 곱이 I와 같아야한다는 것을 압니다.₂:

이제 행렬 방정식을 풀어 봅시다.

문제를 두 개로 분리 할 수 ​​있습니다. 시스템 방정식. 첫 번째는 행렬 M · M의 첫 번째 열을 사용합니다.^-1 그리고 단위 행렬의 첫 번째 열. 따라서 다음을 수행해야합니다.

시스템을 해결하기 위해₂₁ 방정식 II에서 방정식 I로 대체합니다.

방정식 I에 대입하면 다음을 수행해야합니다.

우리는 어떻게 가치를 찾을 수 있습니까?₁₁, 그러면 우리는₂₁:

가치를 아는₂₁ 그리고₁₁이제 두 번째 시스템을 설정하여 다른 용어의 값을 찾을 수 있습니다.

격리₂₂ 방정식 III에서 다음을 수행해야합니다.

3 차₁₂ + 1 위₂₂ = 0

그만큼₂₂ = – 3 위₁₂

방정식 IV에서 대체 :

5 위₁₂ + 2 위₂₂ =1

5 위₁₂ + 2 · (-3 위₁₂) = 1

5 위₁₂ – 6 위₁₂ = 1

- ㅏ₁₂ = 1 ( – 1)

그만큼₁₂ = – 1

가치를 아는₁₂, 우리는₂₂ :

그만큼₂₂ = – 3 위₁₂

그만큼₂₂ = – 3 · ( – 1)

그만큼₂₂ = 3

이제 우리는 행렬 M의 모든 항을 알고 있습니다.^-1, 그것을 표현할 수 있습니다 :

너무 읽기: 행렬의 더하기와 빼기

역행렬 속성

역행렬을 정의한 결과 속성이 있습니다.

• 첫 번째 속성: 행렬 M의 역^-1 행렬 M과 같습니다. 역행렬의 역행렬은 항상 행렬 자체, 즉 (M^-1)^-1 = M, 우리는 M^-1 · M = 나_아니따라서 M^-1 M의 역수이고 M은 M의 역수입니다.^-1.
• 두 번째 속성: 단위 행렬의 역은 그 자체입니다: I^-1 = I, 단위 행렬의 곱 자체가 단위 행렬, 즉 I_아니 · 나_아니 = 나_아니.
• 세 번째 속성: 역 두 행렬의 곱당신은 역의 곱과 같습니다.

(M × H)^-1 = M^-1 · ㅏ^-1.

• 4 번째 속성: 정사각형 행렬은 결정자 즉, det (M) ≠ 0입니다.

풀린 연습

1) 행렬 A와 행렬 B가 역임을 알면 x + y의 값은 다음과 같습니다.

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

해결:

대안 d.

방정식 구축 :

A · B = 나 

두 번째 열은 용어와 동일하므로 다음을 수행해야합니다.

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

x를 I로 분리 :

교체 방정식 II, 우리는 :

y의 값을 알면 x의 값을 찾을 수 있습니다.

이제 x + y를 계산해 봅시다.

질문 2

행렬의 행렬식이 0과 다른 경우에만 역행렬이 있습니다. 아래 행렬을 보면 행렬이 역을 지원하지 않는 x 값은 무엇입니까?

a) 0과 1

b) 1과 2.

c) 2 및 – 1.

d) 3과 0.

e) – 3 및 – 2.

해결:

대안 b.

A의 행렬식을 계산할 때 det (A) = 0 인 값을 원합니다.

det (A) = x · (x – 3) – 1 · (– 2)

det (A) = x²-3x + 2

det (A) = x²-3x + 2 = 0

해결 2 차 방정식, 우리는 :

• a = 1
• b = – 3
• c = 2

Δ = b²-4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

작성자: Raul Rodrigues de Oliveira
수학 선생님

출처: 브라질 학교- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm