당신 복소수 해결의 필요성에서 발생 방정식 그 음수 루트, 그때까지는 실수로 작업하여 해결할 수 없었습니다. 복소수는 다음 세 가지 방법으로 나타낼 수 있습니다. 대수 형식 (z = a + bi), 실제 부분으로 구성 그만큼 그리고 가상의 부분 비; 그만큼 기하학적 형태, Argand-Gauss 평면으로도 알려진 복잡한 평면으로 표현됩니다. 그리고 너의 것 삼각 형태, 극지 형태라고도합니다. 그 표현을 기반으로 숫자 집합으로 작업 할 때 복소수는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 강화와 같은 잘 정의 된 연산을 갖습니다.
복잡한 평면의 기하학적 표현을 통해 우리는 또한 모듈을 정의합니다. |지|) 복소수 (복소수를 나타내는 점에서 원점까지의 거리) 및 a의 인수는 무엇입니까? 복소수 — 수평축과 원점을 숫자를 나타내는 점에 연결하는 트랙 사이에 형성된 각도입니다. 복잡한.
복소수가 필요하다
수학에서 숫자 집합을 새로운 집합으로 확장하는 것은 역사 전반에 걸쳐 매우 흔한 일이었습니다. 그 과정에서 수학이 발전한 다음 시대의 요구를 충족, 참조한 숫자 집합에 속하지 않는 숫자가 있음을 알 수 있습니다. 그것이 등장한 방법입니다. 숫자 세트 정수, 이성, 비이성, 실수, 그리고 실수 세트를 복소수 세트로 확장해야 할 때도 다르지 않았습니다.
우리가 해결하려고 할 때 이차 방정식, 우리가 찾는 것은 아주 일반적입니다 음수의 제곱근, 이는 실수 세트로 풀 수 없으므로 복소수가 필요합니다. 이 숫자에 대한 연구의 시작은 Giralmo Cardono와 같은 중요한 수학자로부터 공헌을 받았지만 그 세트는 Gauss와 Argand에 의해 공식화되었습니다.
읽기: 복소수의 합의 기하학적 표현
복소수의 대수 형식
x² = –25와 같은 2 차 방정식을 풀려고 할 때 종종 풀 수 없다고 말했습니다. 그러나 Algebrize 시도에서 이러한 숫자로 연산을 수행 할 수 있도록하는 대수 표현, 음수의 제곱근을 계산할 수 없더라도.
작업하는 상황의 해결을 용이하게하기 위해 제곱근 음수의 가상 단위.
따라서 제시된 방정식을 분석하면 x² = -25가됩니다.
따라서 방정식의 해는 -5입니다.나는 e5나는.
대수 형식을 정의하려면 편지 나는, ~로 알려진 복소수의 허수 단위. 복소수는 다음으로 표시됩니다.
z = 그만큼 + 비나는
에 무슨 그만큼 과 비 실수입니다.
그만큼: a = Re (z)로 표시된 실제 부분;
비: Im (z)으로 표시된 허수 부;
나는: 가상 단위.
예
그만큼) 2 + 3나는
비) -1 + 4나는
씨) 5 – 0,2나는
디) -1 – 3나는
때 실제 부분이 null입니다., 번호는 순수한 상상의, 예: -5나는 그리고 5나는 그들은 실제 부분이 없기 때문에 순수한 상상입니다.
허수 부가 null이면 복소수도 실수입니다.
복소수 연산
모든 숫자 집합과 마찬가지로 연산은 잘 정의 된따라서 제시된 대수 형식을 고려하여 복소수의 네 가지 기본 연산을 수행 할 수 있습니다.
두 개의 복소수 더하기
수행하려면 부가 두 개의 복소수 z1 ez2, z의 실제 부분을 추가합니다.1 ez2 그리고 각각 허수 부의 합.
있다:
지1 = a + b나는
지2 = c + d나는
지1 +지2 = (a + c) + (b + d)나는
예 1
z의 합의 실현1 그리고 z2.
지1 = 2 + 3나는
지2 = 1 + 2나는
지1 +지2= (2 + 1) + (3 + 2)나는
지1 +지2= 3 + 5나는
예 2
z의 합의 실현1 그리고 z2.
지1 = 5 – 2나는
지2 = – 3 + 2나는
지1+지2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)나는
지1+지2 = (5 – 3) + 0나는
지1 +지2= 3 + 0나는 = 3
너무 참조: 복소수의 합의 기하학적 표현
두 개의 복소수 빼기
이야기하기 전에 빼기, 우리는 무엇을 정의해야 복소수의 역, 즉, z = a + b나는. –z로 표시되는 z의 역수는 복소수 –z = –a –b입니다.나는.
z 사이의 빼기를 수행하려면1및 -z2,뿐만 아니라, 우리는 실제 부분과 허수 부분을 개별적으로 빼기하지만 -z를 이해해야합니다.2 복소수의 역수이므로 부호 게임을해야합니다.
예 1
z 빼기 수행1 그리고 z2.
지1 = 2 + 3나는
지2 = 1 + 2나는
지1–지2 = (2 – 1) + (3 – 2)나는
지1–지2= 1 + 1나는 = 1+ 나는
예 2
z 빼기 수행1 그리고 z2.
지1= 5 – 2나는
지2 = – 3 + 2나는
지1–지2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)나는
지1–지2= (5 + 3) + (–4)나는
지1 –지2= 8 + (–4)나는
지1 –지2= 8 –4나는
가상 단위의 힘
곱셈에 대해 이야기하기 전에 가상 단위의 힘을 이해해야합니다. 힘을 계산하는 방법을 찾는 중 나는아니, 이러한 힘이 주기적으로 작동한다는 것을 깨달아야합니다. 이를 위해 몇 가지를 계산해 봅시다. 효능 에 나는.
다음 힘은 반복에 불과하다는 것이 밝혀졌습니다.
나는 4 = 나는 2 · 나는 2 = (–1) (–1) = 1
나는 5 = 나는 2 · 나는 3 = (–1) (–나는) = 나는
거듭 제곱을 계산할 때 답은 항상 {1, i, –1, – 집합의 요소가됩니다.나는}, 그런 다음 단위의 힘을 찾으려면 나는아니, n (지수)을 4로 나누고 쉬다이 부문의 (아르 자형 = {0, 1, 2, 3})는 다음의 새로운 지수가됩니다. 나는.
예1
i의 계산25
25를 4로 나누면 몫은 6이되고 나머지는 1이됩니다. 따라서 다음을 수행해야합니다.
나는 25 = 나는1 = 나는
예 2
계산 나는 403
403을 4로 나누면 100 · 4 = 400이고 나머지는 3이므로 몫은 100이됩니다. 따라서 다음을 수행해야합니다.
나는 403 =나는 3 = -나는
복소수의 곱셈
두 개의 복소수의 곱셈을 수행하기 위해 분배 재산. 있다:
지1= a + b나는
지2= c + d나는, 다음 제품 :
지1 · 지2 = (a + b나는) (c + d나는), 분배 속성 적용,
지1 · 지2 = ac + 광고나는 + cb나는 + bd나는 2,하지만 우리가 본 것처럼 나는 ² = -1
지1 · 지2 = ac + 광고나는 + cb나는 – bd
지1 · 지2= (ac – bd) + (광고 + cb)나는
이 공식을 사용하면 두 개의 복소수의 곱을 찾을 수 있지만 일반적으로 문제의 계산을 위해 속성을 적용하기 때문에 장식 할 필요가 없습니다. 분배.
예
(2 + 3의 곱 계산나는) (1 – 4나는):
(2+3나는) (1 – 4나는) = 2 – 8나는 + 3나는– 12나는 ², 기억 i² = -1:
(2 + 3나는) (1 – 4나는) = 2 – 8나는 + 3나는+ 12
(2 + 3나는) (1 – 4나는) = (2 + 12) + (– 8 + 3)나는
(2+3나는) (1 – 4나는) = 14 – 5나는
또한 액세스: 복소수 더하기, 빼기 및 곱하기
복소수 켤레
나눗셈에 대해 이야기하기 전에 복소수의 켤레가 무엇인지 이해해야합니다. 개념은 간단합니다. 복소수의 켤레를 찾으려면 바꾸다이끼 허수 부의 부호.
두 복소수의 나눗셈
수행하려면 두 복소수의 나눗셈, 분수에 분모의 켤레를 곱하여 실제 부분과 허수 부분이 잘 정의되도록해야합니다.
예
나눗셈 계산 (6-4나는): (4 + 2나는)
너무 참조: 복소수의 반대, 켤레 및 같음
복잡한 평면 또는 Argand-Gauss 평면
복잡한 계획 또는 계획rgand-가우스, 그는 기하학적 형태로 표현 이 계획은 복잡한 수의 데카르트 평면 복소수를 나타냅니다. 수평축은 실제 부품 축 Re (z), 수직축은 허수 부의 축 Im (z). 따라서 복소수는 a + b나는 정렬 된 쌍 (a, b)에 의해 형성된 복잡한 평면에 점을 생성합니다.
예
숫자 3 + 2의 표현나는 기하학적 형태 Z (3,2).
복소수 모듈로 및 인수
기하학적으로 복소수의 계수는 다음과 같습니다. 점 (a, b)으로부터의 거리 이것은 복잡한 평면에서이 숫자를 나타냅니다. 원점에즉, 점 (0,0)입니다.
보시다시피 | z | 빗변입니다 정삼각형따라서 다음을 적용하여 계산할 수 있습니다. 피타고라스의 정리이므로 다음을 수행해야합니다.
예:
z = 1 + 3의 계수 계산나는
영형 그만큼논의 기하학적으로 복소수의 각도 수평축과 | z |
각도 값을 찾으려면 다음을 수행해야합니다.
목표는 각도 θ = arg z를 찾는 것입니다.
예:
복소수 인수 찾기: z = 2 + 2나는:
a와 b가 양수이므로이 각도가 1 사분면에 있음을 알고 있으므로 | z |를 계산해 보겠습니다.
| z |를 알면 사인과 코사인을 계산할 수 있습니다.
이 경우 a와 b는 2와 같기 때문에 sinθ를 계산할 때 코사인에 대해 동일한 솔루션을 찾을 수 있습니다.
주목할만한 각도 표를 참조하고 알고 있음으로써 sinθ 및 cosθ의 값을 알고 θ는 1 사분면에 속하므로 θ는도 또는 라디안 단위로 찾을 수 있습니다. 뭐:
삼각 또는 극형
복소수의 표현 삼각 형태 모듈과 인수의 개념을 이해 한 후에 만 가능합니다. 이 표현을 기반으로 더 고급 수준의 복소수 연구를위한 중요한 개념이 개발됩니다. 삼각 표현을 수행하려면 대수 형식 z = a + bi를 기억하지만 복잡한 평면을 분석 할 때는 다음을 수행해야합니다.
대수 형식으로 대입하여 a = | z | cos θ 및 b = | z | sen θ, 우리는 :
z = a + b나는
z = | z | cos θ + | z | senθ 나는, 퍼팅 | z | 증거로 우리는 삼각 형식의 공식에 도달합니다.
z = | z | (cos θ + 나는 · sin θ) |
예: 삼각법 형식으로 숫자를 씁니다.
삼각법 형식으로 쓰려면 인수와 z의 계수가 필요합니다.
1 단계 – | z | 계산
| z |를 알면 주목할만한 각도의 표를 참조하여 θ 값을 찾을 수 있습니다.
이제 각도를 각도로 또는 라디안으로 측정 한 각도를 사용하여 삼각 형태로 숫자 z를 쓸 수 있습니다.
읽기: 삼각법 형태의 복소수의 복사
연습문제 해결
질문 1 - (UFRGS) 주어진 복소수 z1 = (2, –1) 및 z2 = (3, x), z 사이의 곱이1 그리고 z2 실수입니다. 따라서 x는 다음과 같습니다.
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3 월 2 일
e) 6
해결
대안 D.
제품이 실수가 되려면 허수 부는 0과 같습니다.
이 숫자를 대수 형식으로 작성하여 다음을 수행해야합니다.
지1 = 2 – 1나는 그리고 z2 = 3 + x나는
지1 · z2 = (2 – 1나는) (3 + x나는)
지1 · z2 = 6 + 2 배나는 –3나는 – 엑스나는 ²
지1 · z2 = 6 + 2 배나는 –3나는 + 엑스
지1 · z2 = 6+ x + (2x – 3)나는
우리의 관심은 허수 부가 0과 같기 때문에 2x – 3 = 0을 구할 것입니다.
질문 2- (UECE) i가 제곱이 -1 인 복소수이면 5의 값나는 227 + 나는 6 – 나는 13 다음과 같습니다.
그만큼) 나는 + 1
b) 4나는 –1
c) -6나는 –1
d) -6나는
해결
대안 C.
이 식을 풀려면 4로 나눈 각 숫자의 나머지를 찾아야합니다.
227: 4는 몫이 56이고 나머지는 3이됩니다.
나는 227 = 나는 3 = –나는
6: 4는 몫 1과 나머지 2가됩니다.
나는 6 = 나는 2 = –1
13: 4는 몫 3과 나머지 1이됩니다.
나는 13 = 나는1 = 나는
따라서 다음을 수행해야합니다.
5나는 227 + 나는 6 – 나는 13
5 (–나는) + (–1) – 나는
–5나는 –1 – 나는
–6나는 – 1
작성자: Raul Rodrigues de Oliveira
수학 선생님
출처: 브라질 학교- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
