인수분해 다항식 다항식을 다시 쓰기 위해 개발된 방법으로 구성 다항식 사이의 곱으로. 다항식을 다음과 같이 쓰십시오. 곱셈 둘 이상의 요인 사이에 있으면 대수식을 단순화하고 다항식을 이해하는 데 도움이 됩니다.
인수분해에는 다양한 경우가 있으며 각각에 대해 특정 기술이 있습니다.. 기존 사례는 증거의 공통 요인에 의한 인수분해, 그룹화에 의한 인수분해, 두 제곱의 차이, 완전제곱삼항, 두 큐브의 합 및 두 큐브의 차이입니다.
더 읽어보기:다항식이란 무엇입니까?
다항식 인수분해 요약
다항식의 인수분해는 다항식을 다항식 간의 곱으로 나타내는 데 사용되는 기술입니다.
우리는 이 인수분해를 사용하여 단순화합니다. 대수 표현.
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인수분해 사례는 다음과 같습니다.
증거의 공통 요인에 의한 인수분해;
그룹화를 통한 인수분해;
완전제곱삼항식;
두 제곱의 차이;
두 큐브의 합;
두 큐브의 차이.
다항식 인수분해 사례
다항식을 인수분해하려면, 상황에 맞는 인수분해 사례를 분석할 필요가 있습니다., 존재: 증거에서 공통 요인에 의한 인수분해, 그룹화에 의한 인수분해, 두 제곱의 차이, 완전제곱삼항, 두 입방체의 합 및 두 입방체의 차이. 각각에서 인수분해를 수행하는 방법을 살펴보겠습니다.
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증거의 공통 요소
다항식의 모든 항에 공통적인 인수가 있을 때 이 인수분해 방법을 사용합니다.. 이 공통 요소는 하나의 요소로 강조 표시되고 다른 요소는 결과로 강조 표시됩니다. 분할 그 공통 요인에 의한 항의 는 괄호 안에 놓일 것입니다.
예 1:
20xy + 12x² + 8xy²
이 다항식의 각 항을 분석하면 모든 항에서 x가 반복되는 것을 볼 수 있습니다. 또한 모든 계수(20, 12, 8)는 4의 배수이므로 모든 항에 공통적인 인수는 4x입니다.
각 항을 공통 요인으로 나누면 다음과 같습니다.
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
이제 공통인수를 증거로 하는 인수분해를 작성하겠습니다. 합집합 괄호 안의 결과:
4배(5년 + 3배 + 2년²)
예 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
각 항의 문자적 부분을 분석해보면 모두 a²b가 반복되는 것을 볼 수 있다. 2, 3, - 4를 동시에 나누는 수는 없습니다. 따라서 공통 인자는 ²b일 것입니다.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4위5b³: a²b = 4a³
따라서 이 다항식의 인수분해는 다음과 같습니다.
a²b (2b + 3a + 4a³)
너무 참조: 다항식의 덧셈, 뺄셈 및 곱셈 - 수행 방법 이해
그룹화
이 방법은 다항식의 모든 항에 대해 공통인수가 없을 때 사용. 이 경우 공통 요소를 가지고 그룹화할 수 있는 용어를 식별하고 강조 표시합니다.
예시:
다음 다항식을 인수분해합니다.
도끼 + 4b + bx + 4a
우리는 a와 b를 공통 요인으로 갖는 항을 그룹화할 것입니다:
도끼 + 4a + bx + 4b
a와 b를 2x2의 관점에서 증거에 넣으면 다음과 같습니다.
a(x+4)+b(x+4)
괄호 안의 요인은 동일하므로 이 다항식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
(a + b) (x + 4)
완전제곱삼항식
삼항식은 항이 3개인 다항식입니다. 다항식은 다음과 같을 때 완전제곱삼항식으로 알려져 있습니다. 합 제곱 또는 차이 제곱 결과, 그건:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
중요한: 세 항이 있을 때마다 이 다항식이 완전제곱삼항식이 되는 것은 아닙니다. 따라서 인수분해를 수행하기 전에 이 경우에 삼항식이 맞는지 확인해야 합니다.
예시:
가능한 경우 다항식 인수
x² + 10x + 25
이 삼항식을 분석한 후 다음을 추출합니다. 제곱근 첫 번째 및 마지막 용어:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
중심항, 즉 10x가 다음과 같은지 확인하는 것이 중요합니다. \(2\cdot\ x\cdot5\). 실제로 동일하다는 점에 유의하십시오. 따라서 이것은 완전 제곱 삼항식이며 다음과 같이 인수분해될 수 있습니다.
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
두 제곱의 차이
두제곱의 차이가 있을 때, 이 다항식을 합과 차의 곱으로 다시 작성하여 인수분해할 수 있습니다..
예시:
다항식 인수분해:
4x² – 36y²
먼저 각 항의 제곱근을 계산합니다.
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
이제 이 다항식을 찾은 근의 합과 차의 곱으로 다시 작성합니다.
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
너무 읽기: 단항식을 포함하는 대수적 계산 — 네 가지 연산이 어떻게 발생하는지 배우십시오.
두 큐브의 합
두 입방체의 합, 즉 a³ + b³, 로 인수분해될 수 있다:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
예시:
다항식 인수분해:
x³ + 8
우리는 8 = 2³임을 알고 있으므로 다음과 같습니다.
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
두 큐브의 차이
두 입방체의 차이, 즉 a³ – b³, 두 입방체의 합과 달리 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다.:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
예시:
다항식을 인수분해
8x³ - 27
우리는 다음을 알고 있습니다.
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
따라서 우리는 다음을 수행해야 합니다.
\(8x^3-27=\왼쪽(2x-3\오른쪽)\)
\(8x^3-27=\왼쪽(2x-3\오른쪽)\왼쪽(4x^2+6x+9\오른쪽)\)
다항식 인수분해에 대한 풀이 연습
질문 1
다항식 인수분해를 사용하여 대수식 단순화하기 \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), 우리는 다음을 찾을 것입니다:
가) x + 2
나) x - 2
씨) \(\frac{x-2}{x+2}\)
디) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
해결:
대안 D
분자를 보면 x² + 4x + 4가 완전제곱삼항식의 경우이며 다음과 같이 다시 쓸 수 있음을 알 수 있습니다.
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
분자 x² – 4는 두 제곱의 차이며 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
그러므로:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
x + 2라는 용어는 분자와 분모 모두에 나타나므로 단순화하면 다음과 같습니다.
\(\frac{x+2}{x-2}\)
질문 2
(Unifil Institute) 두 개의 숫자 x와 y가 x + y = 9 및 x² – y² = 27인 경우 x의 값은 다음과 같습니다.
가) 4
나) 5
다) 6
라) 7
해결:
대안 C
x² – y²는 두 제곱의 차이이며 합과 차이의 곱으로 인수분해될 수 있습니다.
x² – y² = (x + y) (x – y)
우리는 x + y = 9를 알고 있습니다.
(x + y) (x - y) = 27
9(x - y) = 27
x - y = 27: 9
x - y = 3
그런 다음 설정할 수 있습니다. 방정식 시스템:
두 줄 추가:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
라울 로드리게스 드 올리베이라
수학 선생님
