복소수 연구에서 우리는 다음과 같은 평등을 발견합니다. i2 = – 1.
이 평등에 대한 정당화는 일반적으로 오류 인 음의 제곱근으로 2 차 방정식을 푸는 것과 관련이 있습니다. 표현 i의 기원2 = – 1은 복소수의 정의에 나타나며 또한 많은 의심을 불러 일으키는 또 다른 문제입니다. 그러한 평등의 이유와 그것이 어떻게 발생하는지 이해합시다.
먼저 몇 가지 정의를 만들어 봅시다.
1. 순서가 지정된 실수 쌍 (x, y)을 복소수라고합니다.
2. 복소수 (x1와이1) 및 (x2와이2)는 x 인 경우에만 동일합니다.1 = x2 그리고 y1 = y2.
3. 복소수의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다.
(엑스1와이1) + (x2와이2) = (x1 + x2와이1 + y2)
(엑스1와이1)*(엑스2와이2) = (x1*엑스2 -y1*와이2, x1*와이2 + y1*엑스2)
예 1. z 고려1 = (3, 4) 및 z2 = (2, 5), z 계산1 + z2 그리고 z1*지2.
해결책:
지1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
지1*지2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
세 번째 정의를 사용하면 다음을 쉽게 보여줄 수 있습니다.
(엑스1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(엑스1, 0) * (x2, 0) = (x1*엑스2, 0)
이러한 동등성은 덧셈 및 곱셈 연산과 관련하여 복소수 (x, y)가 실수처럼 동작 함을 보여줍니다. 이 컨텍스트에서 다음 관계를 설정할 수 있습니다: (x, 0) = x.
이 관계와 기호 i를 사용하여 복소수 (0, 1)를 나타내면 다음과 같이 모든 복소수 (x, y)를 쓸 수 있습니다.
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → 복소수의 정규 형식 호출입니다.
따라서 정규형의 복소수 (3, 4)는 3 + 4i가됩니다.
예 2. 다음 복소수를 일반 형식으로 씁니다.
a) (5,-3) = 5-3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
이제 i를 복소수 (0, 1)라고 부릅니다. i2를 만들 때 어떤 일이 일어나는지 봅시다.
우리는 i = (0, 1)이고2 = i * i. 그것을 따르십시오 :
나는2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
정의 3을 사용하면 다음과 같이됩니다.
나는2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 – 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 )
앞서 살펴본 것처럼 (x, 0) = x 형식의 모든 복소수입니다. 그러므로,
나는2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 – 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 ) = – 1.
우리는 유명한 평등에 도착했습니다.2 = – 1.
Marcelo Rigonatto 작성
통계 및 수학적 모델링 전문가
브라질 학교 팀
복소수 - 수학 - 브라질 학교
출처: 브라질 학교- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm
