ო წერტილოვანი პროდუქტი ორ ვექტორს შორის არის ნამდვილი რიცხვი, რომელიც უკავშირებს ამ ვექტორების სიდიდეს, ანუ მათ სიგრძეს და მათ შორის კუთხეს. ამის გამოსათვლელად საჭიროა იცოდეთ მათი სიგრძე და წარმოქმნილი კუთხე.
თვითმფრინავის საფუძვლად გამოყენება, ვექტორი მიუთითებს მდებარეობას, ინტენსივობას, მიმართულებას და მიმართულებას. ამიტომ იგი გამოიყენება მექანიკის (ფიზიკის) კვლევებში, როგორც ობიექტზე მიმართული ძალის წარმომადგენელი.
ვექტორის ჩვეულებრივი წარმოდგენა არის ისარი, რომელიც წერტილიდან მთავრდება. ამბობენ, რომ ამ წერტილის კოორდინატებია ვექტორის კოორდინატები, დაწყებული O წერტილიდან (0,0). ჩვენ ვიწერთ v = (a, b) მის წარმოსადგენად. ამრიგად, ვექტორი v = (1,2) შემდეგნაირად არის შედგენილი:
ვექტორული მაგალითი წარმოშობიდან დაწყებული
ამ ვექტორის სიგრძის გამოსათვლელად გაითვალისწინეთ მის მიერ ჩამოყალიბებული მართკუთხა სამკუთხედი და მისი პროექცია x ღერძზე (ან y ღერძზე), როგორც ნაჩვენებია შემდეგ სურათზე:
ვექტორის სიგრძე v
ვექტორის სიგრძეს ეწოდება v ვექტორული ნორმა ან ვექტორული მოდული v და წარმოდგენილია | v |. გაითვალისწინეთ, რომ v = (a, b) ვექტორის ნორმა ზუსტად არის ზემოთ მოცემულ ფიგურაში წარმოდგენილი სამკუთხედის ჰიპოტენუზის ზომა. ამ ღონისძიების გამოსათვლელად ვიყენებთ პითაგორას თეორემას:
| ვ |2 =2 + ბ2
| ვ | = (ა2 + ბ2 )
ორი ვექტორული წერტილოვანი პროდუქტი
U და v ორი ვექტორის გათვალისწინებით, მათ შორის შიდა პროდუქტი წარმოდგენილია და განისაზღვრება, როგორც:
= | u || v | · cosθ
ეს არის ერთგვარი გამრავლება ორ ვექტორს შორის, თუმცა მას არ უწოდებენ პროდუქტს, რადგან არ არის ჩვეულებრივი გამრავლება, რადგან იგი მოიცავს ამ ორი ვექტორის მიერ შექმნილ კუთხეს.
კუთხე ორ ვექტორს შორის
პირველი შედეგი, რომელიც გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული განმარტებით, არის კუთხე ორ ვექტორს შორის. რეალური ციფრებით "წერტილოვანი პროდუქტი", "u ვექტორული ნორმა" და "v ვექტორული ნორმა", შესაძლებელია გამოითვალოს კუთხე u და v ვექტორებს შორის. ამისათვის უბრალოდ შეასრულეთ გამოთვლები:
= | u || v | · cosθ
= კოსθ
| უ || ვ |
ამიტომ, u და v ვექტორების ნორმებით შინაგანი პროდუქტის გაყოფა, ვხვდებით რეალურ რიცხვს, რომელიც ეხება კოსინუსს ამ ორ ვექტორს შორის და, შესაბამისად, მათ შორის კუთხეს.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ ორ ვექტორს შორის კუთხე სწორია, cosθ ტოლია ნულის. ამიტომ, ზემოთ მოცემულ პროდუქტს ექნება შემდეგი შედეგი:
= 0
აქედან შეიძლება დავასკვნათ, რომ u და v ორი ვექტორის გათვალისწინებით, ისინი ორთოგონალური იქნება, თუ = 0.
ვექტორული კოორდინატებიდან გამოყოფილი შიდა პროდუქტი
U = (a, b) და v = (c, d) ორი ვექტორის გათვალისწინებით, u და v შორის წერტილის პროდუქტი მოცემულია შემდეგით:
= = a · c + b · d
შიდა პროდუქტის თვისებები
U, v და w ვექტორების და α ნამდვილი რიცხვის გათვალისწინებით, გაითვალისწინეთ:
მე) =
ეს ნიშნავს, რომ ვექტორების შიდა პროდუქტი არის "კომუტაციური".
ii) = +
ეს თვისება შედარებულია გამრავლების გამანაწილებელთან შედარებით.
iii) = = α
U და v შორის შიდა პროდუქტის გაანგარიშება გამრავლებული α რეალურ რიცხვზე იგივეა, რაც შიდა პროდუქტის გაანგარიშება αv- სა და u- ს შორის ან v- ს და αu- ს შორის.
IV)
V– ს v პროდუქტის შიდა პროდუქტი მხოლოდ ნულია, თუ v არის null ვექტორი.
v)
V– ს v პროდუქტის შიდა პროდუქტი ყოველთვის იქნება ნულის ტოლი ან ტოლი.
ლუიზ პაულო მორეირას მიერ
დაამთავრა მათემატიკა
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm