გარშემოწერილობა არის ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც ქმნის ტოლფასი წერტილების გაერთიანება, ანუ მათ აქვთ იგივე მანძილი ფიქსირებული წერტილიდან, რომელსაც ეწოდება ცენტრი. გარშემოწერილობის შესწავლა ასევე არსებობს ანალიტიკური გეომეტრია, რომელშიც შესაძლებელია განისაზღვროს განტოლება, რომელიც წარმოადგენს მას.
თუმცა წრე და გარშემოწერილობა არის ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურები, რომლებსაც აქვთ ზოგადი ელემენტები, რაც ჩვეულებრივ იწვევს ეჭვებს, ეს ციფრები მნიშვნელოვან განსხვავებებს წარმოადგენს, განსაკუთრებით განზომილებიანობასთან დაკავშირებით.
წაიკითხეთ ასევე: მანძილი ორ წერტილს შორის - ანალიტიკური გეომეტრიის მნიშვნელოვანი კონცეფცია
წრის ელემენტები
გაითვალისწინეთ გარშემოწერილობა:
წერტილი ჩ მას უწოდებენ წრის ცენტრიდა გაითვალისწინეთ, რომ A და B წერტილები ეკუთვნის მას. სეგმენტს, რომელიც უერთდება ცენტრში გამავალი წრის ბოლოებს, ეწოდება დიამეტრი წინა წრეზე, მაშინ ჩვენ უნდა დიამეტრი არის AB სეგმენტი.
რომ გაყავით დიამეტრი შუაზე, მოდით მივიღოთ წრეწირის რადიუსი, ანუ წრის რადიუსი (r) ეს არის სეგმენტი, რომელიც უერთდება ცენტრს და დასასრულს. ამ შემთხვევაში, რადიუსი არის CB სეგმენტი. ჩვენ შეგვიძლია დავადგინოთ მათემატიკური კავშირი ამ ორ ელემენტს შორის, რადგან დიამეტრი ორჯერ რადიუსია.
დ = 2 · რ
მაგალითი
განსაზღვრეთ წრის რადიუსი, რომლის დიამეტრია 40 სმ.
ჩვენ ვიცით, რომ დიამეტრი ორჯერ არის რადიუსი, ასეა:
გარშემოწერილობის სიგრძე
განვიხილოთ წრე, რომელსაც აქვს რადიუსის გაზომვა r. ო სიგრძე ან პერიმეტრი გარშემოწერილობის მოცემულია პროდუქტის მიერ ჩმუდმივი პი (π) ორჯერ რადიუსით.
წრის სიგრძის ან პერიმეტრის გამოთვლისას განვსაზღვრავთ წრფის ზომას წინა ნახატზე მწვანე და ამისათვის უბრალოდ შეცვალეთ რადიუსის მნიშვნელობა ფორმულაში, რომელიც გადადის ფიგურა
მაგალითი
განსაზღვრეთ 5 სმ რადიუსის გარშემოწერილობის სიგრძე.
წრის რადიუსი უდრის 5 სმ-ს, ამიტომ წრის სიგრძის დასადგენად ფორმულაში უნდა ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა.
C = 2πr
C = 2 (3.14) (5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 სმ
იხილეთ აგრეთვე: წარწერილი მრავალკუთხედების მშენებლობა
გარშემოწერილობის არე
განვიხილოთ r რადიუსის წრე. თქვენი ფართობის გამოსათვლელად, ჩვენ უნდა გამრავლების რადიუსის მნიშვნელობის კვადრატი π.
წრის ფართობის გამოთვლისას განვსაზღვრავთ ზედაპირის ზომას, ანუ წრის მთელ რეგიონს.
- მაგალითი
განსაზღვრეთ წრის ის ფართობი, რომლის რადიუსი 4 სმ უდრის.
ჩვენ გვაქვს, რომ წრეწირის რადიუსი უდრის 4 სმ-ს, ასე რომ ამ ზომას შეგვიძლია ჩავანაცვლოთ ფართობის ფორმულაში. შეხედე:
A = π · r2
A = 3.14 · (4)2
A = 3.14 · 16
H = 50,24 სმ2
წრეწირის შემცირებული განტოლება
ჩვენ ვიცით, რომ წრის აგება შეიძლება წერტილების ერთობლიობა ფიქსირებული წერტილიდან, რომელსაც სათავეს ან ცენტრს უწოდებენ. ასე რომ, განვიხილოთ ფიქსირებული წერტილი აქ კარტესიანული თვითმფრინავი ო (ა, ბ) წერტილების ერთობლიობა - წარმოდგენილია P (x, y) - რომლებიც იგივე მანძილია r ამ ფიქსირებული წერტილიდან, ქმნის r რადიუსის წრეს.
გაითვალისწინეთ, რომ ფორმის P (x, y) წერტილები ყველა მანძილით არის დაშორებული O წერტილიდან (a, b), ანუ, მანძილი O და P წერტილებს შორის ტოლია წრის რადიუსის, ამრიგად:
საათზე შემცირებული განტოლება, გაითვალისწინეთ, რომ ციფრები და ბ არის წრის ცენტრის კოორდინატები და რომ რ არის რადიუსის საზომი.
- მაგალითი
განსაზღვრეთ ცენტრის კოორდინატები და წრის რადიუსის ზომა, რომელსაც აქვს განტოლება:
ა) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
ამ განტოლების შედარებისას შემცირებულ განტოლებასთან გვაქვს:
(x - )2 + (y - ბ)2 = რ2
(x - 2)2 + (y -6)2 = 36
აგრეთვე, რომ a = 2, b = 6 და r2 = 36. ამოხსნის ერთადერთი განტოლებაა:
რ2 = 36
r = 6
აქედან გამომდინარე, ცენტრის კოორდინატია: O (2, 6) და რადიუსის სიგრძე 6.
ბ) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
ანალოგიურად, ჩვენ გვაქვს:
(x - )2 + (y - ბ)2 = რ2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- ბ = 3
b = –3
რადიუსის მნიშვნელობას იძლევა:
რ2 = 121
r = 11
გ) x2 + წ2 = 1
(x - )2 + (y - ბ)2 = რ2
x2 + წ2 = 1
გაითვალისწინეთ, რომ x2 = (x + 0)2 და2 = (y + 0)2 . ასე რომ, ჩვენ უნდა:
(x - )2 + (y - ბ)2 = რ2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
ამიტომ, ცენტრის კოორდინატი არის O (0, 0) და რადიუსი უდრის 1-ს.
აგრეთვე წვდომა: როგორ მოვძებნოთ წრის ცენტრი?
წრის ზოგადი განტოლება
წრის ზოგადი განტოლების დასადგენად, უნდა შემცირებული განტოლების შემუშავება მისი. ამრიგად, განვიხილოთ წრე, რომელსაც აქვს ცენტრი O (a, b) და რადიუსის r კოორდინატებზე.
თავდაპირველად, ჩვენ განვავითარებთ ტერმინებს კვადრატში საგულისხმო პროდუქტები; შემდეგ ჩვენ ყველა ნომერს გადავცემთ პირველ წევრს; და ბოლოს, ჩვენ შევუერთდებით ტერმინებს იგივე ლიტერატურული კოეფიციენტით, ანუ იგივე ასოებით. შეხედე:
მაგალითი
განსაზღვრეთ ცენტრის კოორდინატები და წრის საშუალო რადიუსი, რომელსაც აქვს განტოლება:
ნაჯახი2 + წ2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
წრის რადიუსის და კოორდინატების დასადგენად, რომელსაც აქვს ეს განტოლება, უნდა შევადაროთ ის ზოგად განტოლებას. შეხედე:
x2 + წ2 – მე -2x - 2 ბy + 2 + ბ2 –რ2 = 0
x2 + წ2 – 4x - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
მწვანე შედარებიდან, ჩვენ უნდა:
მე -2 = 4
a = 2
ან
2 = 4
a = 2
წითელი შედარებიდან, ჩვენ გვაქვს:
2 ბ = 6
b = 3
ან
ბ2 = 9
b = 3
ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ცენტრს აქვს კოორდინატი O (2, 3). ახლა r- ის მნიშვნელობის შედარებისას გვაქვს:
რ2 = 49
r = 7
ამიტომ წრის რადიუსს აქვს 7 სიგრძის ტოლი.
ბ) x2 + წ2 - 10x + 14y + 10 = 0
ანალოგიურად შევადაროთ განტოლებები:
x2 + წ2 – მე -2x - 2 ბy + 2 + ბ2 - რ2 = 0
x2 + წ2 –10x + 14y + 10 = 0
მე -2 = 10
a = 5
B მნიშვნელობის დადგენა:
–2b = 14
b = - 7
ახლა გაითვალისწინეთ, რომ:
2 + ბ2 - რ2 = 10
მას შემდეგ, რაც ვიცით a და b მნიშვნელობები, შეგვიძლია მათი ჩანაცვლება ფორმულაში. შეხედე:
2 + ბ2 - რ2 = 10
52 + (–7)2 - რ2 = 10
25 + 49 - რ2 = 10
74 - რ2 = 10
- რ2 = 10 – 74
(–1) - რ2 = –64 (–1)
რ2 = 64
r = 8
ამიტომ, ცენტრის კოორდინატებია O (5, –7) და რადიუსის სიგრძეა 8 – ის ტოლი.
განსხვავება გარშემოწერილობასა და წრეს შორის
წრე და წრე სხვაობა ეხება ზომების რაოდენობა თითოეული ელემენტის. მიუხედავად იმისა, რომ წრეს აქვს ერთი განზომილება, წრეს აქვს ორი.
წრე არის რეგიონი სიბრტყეზე, რომელიც იქმნება წერტილებით, რომლებიც ყველა დაშორებულია ფიქსირებული წერტილიდან, რომელსაც წარმოშობა ეწოდება. წრე შედგება წრეში არსებული თითოეული რეგიონისგან. იხილეთ სურათების განსხვავება:
იხილეთ აგრეთვე:წრეწირის სიგრძე და წრის ფართობი
ამოხსნილი სავარჯიშოები
კითხვა 1 - წრეწირს აქვს 628 სმ ტოლი პერიმეტრი. განსაზღვრეთ ამ წრის დიამეტრი (მიიღეთ π = 3.14).
რეზოლუცია
ვინაიდან პერიმეტრი 628 სმ უდრის, შეგვიძლია ეს მნიშვნელობა ჩავანაცვლოთ წრეწირის სიგრძის გამოხატვაში.
კითხვა 2 - ორი წრე კონცენტრულია, თუ მათ ერთი და იგივე ცენტრი აქვთ. ამის ცოდნა, განსაზღვრეთ ცარიელი ფიგურის ფართობი.
რეზოლუცია
გაითვალისწინეთ, რომ რეგიონის ფართობის თეთრით დასადგენად უნდა განვსაზღვროთ უფრო დიდი წრის ფართობი და შემდეგ პატარა წრის ლურჯი. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ თუ ლურჯ წრეს ამოვიღებთ, მხოლოდ ის რეგიონი დარჩა, რაც ჩვენ გვსურს, ამიტომ ეს ადგილები უნდა გამოვაკლოთ. შეხედე:
უფრო დიდი = რ2
უფრო დიდი = (3,14) · (9)2
უფრო დიდი = (3,14) · 81
უფრო დიდი = 254,34 სმ2
მოდით ახლა გამოვთვალოთ ლურჯი წრის ფართობი:
პატარა = რ2
პატარა = (3,14) · (5)2
პატარა = (3,14) · 25
პატარა = 78,5 სმ2
ამრიგად, ცარიელი ფართობი მოცემულია სხვაობის მიხედვით უფრო დიდ და მცირე ფართობს შორის.
თეთრი = 254,34 – 78,5
თეთრი = 175,84 სმ2
რობსონ ლუიზის მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm
