თვისებები, რომლებიც მოიცავს რთულ რიცხვებს

ყველა არსებული რიცხვი შეიქმნა ადამიანის საჭიროების შესაბამისად შექმნის დროს, როგორც ეს ხდება ბუნებრივი რიცხვების შემთხვევაში, რაც შეიქმნა "მარაგების" დათვლისა და კონტროლისთვის და ირაციონალური რიცხვები, რომლებიც შექმნილია პრობლემებთან დაკავშირებით ფესვები. ფესვებთან დაკავშირებულმა პრობლემებმა დაიწყო ცოდნა რთული რიცხვები.

კვადრატული განტოლება x² + 4x + 5 = 0 არ აქვს რეალური ფესვები. ეს ნიშნავს, რომ რეალური რიცხვების სიმრავლეში შეუძლებელია x ის მნიშვნელობების პოვნა, რომლებიც ამ განტოლების პირველ ტერმინს უდრის მეორეს. ჩვენ ამ ფენომენს ვაკვირდებით ბასკარას ფორმულის დასაწყისიდან:

Δ = 4² – 4·1·5

Δ = 16 – 20

Δ = – 4

მას შემდეგ, რაც უარყოფითი მნიშვნელობა იქნება ნაპოვნი Δ, შეუძლებელი გახდება ბასკარას ფორმულის გაგრძელება, რადგან იგი მოითხოვს √Δ (დელტის ფესვის) გამოთვლას. ახლა ჩვენ ვიცით, რომ √– 4 არ შეიძლება გამოითვალოს, რადგან არ არსებობს რეალური რიცხვი, რომელიც გამრავლებულიყო თავისზე - 4.

კომპლექსური ნომრები შეიქმნა ამ საჭიროებების დასაკმაყოფილებლად. მისი შექმნის შემდეგ, √– 4 შეიძლება შემუშავდეს შემდეგნაირად:

√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·2² = 2√(– 1)

A - (- 1) გაგებულია როგორც ახალი ტიპის რიცხვი. ყველა ამ რიცხვის სიმრავლე ცნობილია როგორც კომპლექსური რიცხვების სიმრავლე და ამ ახალი სიმრავლის თითოეული წარმომადგენელი განისაზღვრება შემდეგნაირად: მოდით, A იყოს რთული რიცხვი, შემდეგ,

ა = + ბმე, სად და ბ ნამდვილი რიცხვებია და i = √ (- 1)

ამ განმარტებით, ცნობილია როგორც ა-ს რეალური ნაწილი და ბ ცნობილია როგორც ა-ს წარმოსახვითი ნაწილი.

რთული რიცხვების თვისებები

რეალური რიცხვები მთლიანობაში და გეომეტრიულად წარმოადგენს წრფეს. რთული რიცხვები, თავის მხრივ, წარმოადგენს მთელ სიბრტყეს. კარტეზიული თვითმფრინავი, რომელიც გამოიყენებოდა რთული რიცხვების გამოსახატავად, ცნობილია როგორც არგანდ-გაუსის თვითმფრინავი.

ყველა რთული რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს არგანდ-გაუსის სიბრტყეზე, როგორც კოორდინატების წერტილი (a, b). რთული რიცხვის წერტილიდან წერტილამდე დაშორება წერტილამდე (0,0) ეწოდება რთული რიცხვის მოდულს., რომელიც განისაზღვრება:

მოდით A = a + bi იყოს რთული რიცხვი, მისი მოდული არის | A | = ა² + ბ²

კომპლექსურ რიცხვებს ასევე აქვთ უკუპრომენტი, რომელსაც უწოდებენ კონიუგატს. იგი განისაზღვრება, როგორც:

მოდით A = a + bi იყოს რთული რიცხვი,

= A - bi არის ამ რიცხვის კონიუგატი.

საკუთრება 1: რთული რიცხვის და მისი შერწყმული პროდუქტის ტოლია რეალური ნაწილის კვადრატების ჯამი და რთული რიცხვის წარმოსახვითი ნაწილი. მათემატიკურად:

AĀ = ა² + ბ²

მაგალითი: რა არის A = 2 + 5i- ის პროდუქტი მისი კონიუგატის მიხედვით?

უბრალოდ გააკეთე გაანგარიშება: ა² + ბ² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29. თუ ჩვენ ავირჩიეთ A- ს კონიუგატი და ამის შემდეგ შევასრულებთ AĀ გამრავლებას, გვექნება:

AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)

AĀ = 4 - 10i + 10i + 25

AĀ = 4 + 25

AĀ = 29

ანუ, შემოთავაზებული თვისების გამოყენებით შესაძლებელია თავიდან იქნას აცილებული გრძელი გაანგარიშება, ასევე შეცდომები ამ გამოთვლების დროს.

თვისება 2: თუ რთული რიცხვი A ტოლია მისი კონიუგატისა, მაშინ A არის ნამდვილი რიცხვი.

მოდით A = a + bi. თუ A =, მაშინ:

a + bi = a - bi

ბი = - ბი

ბ = - ბ

ამიტომ, b = 0

ამიტომ, სავალდებულოა, რომ ყოველი რთული რიცხვი, რომელიც ტოლია მისი კონიუგატისა, ასევე რეალური რიცხვია.

თვისება 3: ორი რთული რიცხვის ჯამი უდრის ამ რიცხვების კონიუგატების ჯამს., ეს არის:

_____ _ _ 
A + B = A + B

მაგალითი: რა არის ჯამი 7 + 9i და 2 + 4i ჯამი?

____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i

შეგიძლიათ ჯერ დაამატოთ და შემდეგ გამოთვალოთ შედეგის კონიუგატი, ან ჯერ გააკეთოთ კონიუგატები და შემდეგ დაამატოთ შედეგები მოგვიანებით.

თვისება 4: პროდუქტის კონიუგატი ორ რთულ რიცხვს შორის ტოლია მათი კონიუგატების პროდუქტის, ანუ:

__ _ _
AB = A · B

მაგალითი: რა არის A = 7i + 10 და B = 4 + 3i კონიუგატების პროდუქტი?

(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i

სავარჯიშოს საჭიროებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია ჯერ გამრავლდეს და შემდეგ გამოიანგარიშოს კონიუგატი, ან კონიუგატების ჩვენება გამრავლების შესრულებამდე.

ქონება 5: რთული რიცხვის A და მისი კონიუგატის პროდუქტი ტოლია A მოდულის კვადრატის, ანუ:

AĀ = | A |²

მაგალითი: A = 2 + 6i, შემდეგ AĀ = | A |² = (√a² + ბ²)² = (√2² + 6²)² = 2² + 6² = 4 + 16 = 20. გაითვალისწინეთ, რომ არ არის საჭირო კონიუგატის პოვნა და გამრავლების განხორციელება გამრავლების განაწილების თვისების საშუალებით, შეკრებაზე (ცნობილი როგორც პატარა საშხაპე).

ქონება 6: რთული რიცხვის მოდული უდრის მისი კონიუგატის მოდულს. Სხვა სიტყვებით:

| ა | = | Ā |

მაგალითი: იპოვნეთ რთული რიცხვის კონიუგატის მოდული A = 3 + 4i.

გაითვალისწინეთ, რომ არ არის საჭირო კონიუგატის პოვნა, რადგან მოდულები ერთნაირია.

| ა | = (ა² + ბ²)= √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

თუ | Ā | გამოითვლება, ერთადერთი ცვლილება იქნება a ბ უარყოფითი კვადრატი, რომელსაც აქვს დადებითი შედეგი. ამრიგად, შედეგი მაინც იქნება 25-ის საფუძველი.

თვისება 7: თუ A და B რთული რიცხვებია, მაშინ A და B მოდულის პროდუქტი უდრის A და B პროდუქტის მოდულს., ანუ:

| AB | = | A || B |

მაგალითი: მოდით A = 6 + 8i და B = 4 + 3i, რამდენია | AB |?

გაითვალისწინეთ, რომ არ არის აუცილებელი რთული რიცხვების გამრავლება მოდულის გამოანგარიშებამდე. შესაძლებელია თითოეული რთული რიცხვის მოდულის ცალკე გამოთვლა და შემდეგ უბრალოდ შედეგების გამრავლება.

| ა | = (6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

| B | = (4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

| AB | = | A || B | = 10 · 5 = 50

ლუიზ პაულო მორეირას მიერ
დაამთავრა მათემატიკა

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm