კომბინატორული ანალიზი: ცნებები, ფორმულები, მაგალითები

კომბინატორული ანალიზი არის მათემატიკის სასწავლო დარგი, რომელიც ასოცირდება დათვლის წესებთან. მე -18 საუკუნის დასაწყისში თამაშების შესწავლამ, რომელშიც კამათლები და ბარათები მონაწილეობდნენ, დათვლის თეორიებს დიდი განვითარება მოუტანა.

კომბინატორიკის მუშაობა საშუალებას იძლევა უფრო ზუსტი დათვლა განხორციელდეს.დათვლის ფუნდამენტური პრინციპი (PFC), ფაქტორიალური და დაჯგუფების ტიპები კომბინატორულ ანალიზში შესწავლილი ცნებების მაგალითებია, რომლებიც დამატებით უზრუნველყოფას წარმოადგენს უფრო დიდი სიზუსტე ეხმარება არამათემატიკის სხვა დარგების განვითარება, როგორიცაა ალბათობა და ო ნიუტონის ბინომი.

წაიკითხე შენც: მოწყობა ან ჩკომბინაცია?

რისთვის არის კომბინირებული ანალიზი?

კომბინატორული ანალიზი ასოცირდება დათვლის პროცესთან, ანუ მათემატიკის ამ დარგის შესწავლა საშუალებას გვაძლევს განვავითაროთ ინსტრუმენტები, რომლებიც დაგვეხმარება ითვლის უფრო ეფექტურად. მოდით გადავხედოთ დათვლის ტიპურ პრობლემას, იხილეთ:

• მაგალითი 1

განვიხილოთ სამი ქალაქი A, B და C, რომლებიც დაკავშირებულია მაგისტრალთან R₁რ₂რ₃რ₄ და რ₅. განსაზღვრეთ, რამდენი გზით შეგვიძლია მივიდეთ A ქალაქიდან C ქალაქში B ქალაქის გავლით.

რისთვის არის კომბინირებული ანალიზი?

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ უნდა დავტოვოთ A ქალაქი და წავიდეთ B ქალაქში, და მხოლოდ ამის შემდეგ შეგვიძლია გავემგზავროთ C ქალაქში, მოდით გავაანალიზოთ ყველა შესაძლებლობები მაგისტრალის შემდეგ ღონისძიების განსახორციელებლად.

პირველი გზა: რ₁ → რ₃

მე -2 გზა: რ₁ → რ₄

მე -3 გზა: რ₁ → რ₅

მე -4 გზა: რ₂ → რ₃

მე -5 გზა: რ₂ → რ₄

მე -6 გზა: რ₂ → რ₅

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ექვსი განსხვავებული გზა A ქალაქიდან C ქალაქში B ქალაქის გავლით. ამასთან, გაითვალისწინეთ, რომ შემოთავაზებული პრობლემა შედარებით მარტივია და რომ ჩატარებული ანალიზი მცირე შრომატევადი იყო. ამიერიდან, ჩვენ ვაპირებთ შეისწავლოთ უფრო დახვეწილი ინსტრუმენტები, რაც საშუალებას მოგვცემს პრობლემების მოგვარება გაცილებით ნაკლები შრომით.

დათვლის ფუნდამენტური პრინციპი (PFC)

განვიხილოთ E მოვლენა, რომელიც შეიძლება შესრულდეს n დამოუკიდებელ და ზედიზედ ნაბიჯებით. ახლა ჩათვალეთ, რომ პირველი ნაბიჯის შესრულების შესაძლებლობების რაოდენობა უდრის P- ს₁, ასევე წარმოიდგინეთ, რომ მეორე ეტაპის განსახორციელებლად შესაძლებლობების რაოდენობაა P₂და ასე შემდეგ, სანამ ბოლო ეტაპს არ მივაღწევთ, რომელსაც აქვს P_არა შესასრულებელი შესაძლებლობები.

დათვლის ფუნდამენტური პრინციპი (PFC) აღნიშნავს, რომ მთლიანი შესაძლებლობები E ღონისძიების ჩატარებას იძლევა:

პ₁ · გვ₂ ·… · გვ_არა

ამრიგად, ჯამი მოცემულია თითოეული ნაბიჯის შესაძლებლობების პროდუქტით, რომლებიც E მოვლენას წარმოადგენს. გაითვალისწინეთ, რომ E ღონისძიების ჩატარების საერთო შესაძლებლობების დასადგენად აუცილებელია თითოეული ეტაპის საერთო შესაძლებლობების ცოდნა.

• მაგალითი 2

მოდით განმეორებით მივიღოთ მაგალითი 1 დათვლის ფუნდამენტური პრინციპის გამოყენებით.

განვიხილოთ სურათი 1 მაგალითში.

რისთვის არის კომბინირებული ანალიზი?

გაითვალისწინეთ, რომ ღონისძიება შეიძლება ჩატარდეს ორ ეტაპად, პირველი მიდის A ქალაქიდან B ქალაქში, ხოლო მეორე B ქალაქიდან C ქალაქში. პირველი ნაბიჯის შესასრულებლად, ჩვენ გვაქვს ორი შესაძლებლობა (გზები R₁ და რ₂), ხოლო მეორე ეტაპის ჩასატარებლად სამი შესაძლებლობა გვაქვს (რ₃რ₄ და რ₅).

პირველი ნაბიჯი → ორი შესაძლებლობა

მე -2 ეტაპი → სამი შესაძლებლობა

დათვლის ფუნდამენტური პრინციპით, ჩვენ უნდა გამრავლება თითოეული ნაბიჯის მთლიანი შესაძლებლობები.

2 · 3

6

ამიტომ, A ქალაქიდან C ქალაქში B გადასასვლელად, სულ ექვსი შესაძლებლობა გვაქვს.

• მაგალითი 3

რამდენი გზით შეიძლება სამი ოლიმპიური მედლის განაწილება შეჯიბრში მთის ველოსიპედი ხუთი კონკურენტით?

მედლების განაწილების ორგანიზება არის ღონისძიება, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს სამ ეტაპად. პირველი ნაბიჯი არის საერთო შესაძლებლობების ანალიზი, ვინ მიიღებს ოქროს მედლს, ხუთი შესაძლებლობები.

მეორე ნაბიჯი არის იმის შესაძლებლობების ანალიზი, თუ ვინ მიიღებს ვერცხლის მედლს, ოთხი, რადგან პირველი ადგილი ამ არჩევანში არ შედის. მესამე ნაბიჯი არის საერთო შესაძლებლობების ანალიზი, ვინ მიიღებს ბრინჯაოს მედლს, სამი, რადგან პირველი ორი უკვე არჩეულია.

პირველი ნაბიჯი → ხუთი შესაძლებლობა

მე -2 ეტაპი → ოთხი შესაძლებლობა

მე -3 ეტაპი → სამი შესაძლებლობა

დათვლის ფუნდამენტური პრინციპის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს:

5 · 4 · 3

60 შესაძლებლობა

იხილეთ აგრეთვე: დანამატების თვლის პრინციპი - ერთი ან მეტი სიმრავლის გაერთიანება

ფაქტორული

ო ფაქტორული არის გზა ბუნებრივი რიცხვის დაშლა. რიცხვის ფაქტორიალის გამოსათვლელად, უბრალოდ გამრავლეთ მისი ყველა წინამორბედზე რიცხვ 1-მდე. ფაქტორიალი წარმოდგენილია ძახილის ნიშნით - "!".

იხილეთ რამოდენიმე მაგალითი იმისა, თუ როგორ გამოვთვალოთ ზოგიერთი რიცხვის ფაქტორიალი.

) 2! (ნათქვამია: ორი ფაქტორი)

გაანგარიშებისთვის, უბრალოდ გაამრავლეთ რიცხვი, რომელიც თან ახლავს ფაქტორიალს, ყველა მისი წინამორბედით ნომერზე 1, ასე შემდეგ:

2! = 2 ·1 = 2

ბ) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24

ჩ) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

დ) 1! = 1

ფორმალურად შეგვიძლია შემდეგ ფაქტორულად დავწეროთ:

განვიხილოთ ბუნებრივი რიცხვი n> 2. N– ის ფაქტორიალი მითითებულია n! და მოცემულია n- ის გამრავლებით მისი მთელი მთელი დადებითი წინამორბედების შესახებ.

არა! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1

გაითვალისწინეთ შემდეგი ფაქტორიალები:

4! და 5!

ახლა განახორციელეთ ორივე:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

4! = 4 · 3 · 2 ·1

გაითვალისწინეთ, რომ 5-ის განვითარებაში! ჩანს 4-ის განვითარება!. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ 5! ამრიგად:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

5! = 5 · 4!

• მაგალითი 4

გამოთვალეთ ფაქტორიალური წამიყმუილი:

ნახეთ, რომ 15! შემუშავდა 13 წლამდე. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ წილადის მრიცხველში ხდება ელემენტების გამრავლება, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია "გავჭრათ" 13!, შედეგად მივიღებთ მხოლოდ 15 · 14-ს.

დაკვირვება:0! = 1

ჯგუფების ტიპები

დათვლის ზოგიერთი პრობლემა უფრო რთული და უფრო ადვილად მოგვარდება ახალი საშუალებებით. ამ ხელსაწყოებს ჯგუფობა ეწოდება, რადგან ისინი სხვადასხვა გზით აჯგუფებენ ელემენტებს, რაც თვლის პროცესს უადვილებს. ეს დაჯგუფებებია: მარტივი განლაგება, პერმუტაცია და მარტივი კომბინაცია.

• მარტივი მოწყობა

განვიხილოთ კომპლექტი n განსხვავებული ელემენტებით. მოდით დავარქვათ მოწყობა n- დან p- დან p- მდე აღებული ელემენტები, p- ის მიერ შეკვეთილი ნებისმიერი თანმიმდევრობა და ელემენტებს შორის შერჩეული მკაფიო ელემენტები.

ამრიგად, p ელემენტებით ჩამოყალიბებული ქვეჯგუფების რაოდენობა იქნება p- დან p- მდე აღებული n ელემენტების განლაგება. ფორმულა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ შეთანხმებების რაოდენობა მოცემულია შემდეგით:

• მაგალითი 5

გამოთვალეთ A- ს მნიშვნელობა_4,2 + ა_5,2.

გამონათქვამის მნიშვნელობის გამოსათვლელად მოდით განვსაზღვროთ თითოეული მასივი და შემდეგ დავამატოთ ეს მნიშვნელობები ერთად. თითოეული მასივის მნიშვნელობის დასადგენად, ფორმულაში უნდა ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობები.

გაითვალისწინეთ, რომ n = 4 და p = 2, ორივე შეიცვალა ფორმულაში. ახლა, უნდა გამოვთვალოთ ხუთი ელემენტის მასივის მნიშვნელობა, რომელიც ორით არის აღებული ორი.

ასე რომ, ჩვენ უნდა:

_4,2 + ა_5,2

12 + 20

32

• მაგალითი 6

რამდენი განსხვავებული ოთხნიშნა ბუნებრივი რიცხვი შეიძლება ჩამოყალიბდეს 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 და 9 რიცხვების გამოყენებით?

ამ პრობლემის დროს შეგვიძლია გამოვიყენოთ მარტივი წყობა, ვინაიდან 2435 ≠ 4235. ჩვენ დავინახავთ, რომ, ზოგიერთ შემთხვევაში, ელემენტების თანმიმდევრობა არ განასხვავებს მათ და, შესაბამისად, ჩვენ არ შეგვიძლია განლაგების გამოყენება.

მას შემდეგ, რაც ჩვენ გვინდა განვსაზღვროთ რიცხვების ჯამური განსაზღვრა, რომ ელემენტების ჯამი ტოლია რვა, და ჩვენ გვინდა მათი დაჯგუფება ოთხი-ოთხი, ასე რომ:

• მარტივი ჩანაცვლება

განვიხილოთ სიმრავლე n ელემენტებით. მოდით დავარქვათ მარტივი ჩანაცვლება n ელემენტისა n ელემენტამდე მიღებული n ელემენტის ყველა განლაგება. ასე რომ, ჩვენ უნდა:

ასე რომ, ცნებებს შორის არ არსებობს დაბნეულობა, მოდით აღვნიშნოთ n ელემენტის მარტივი პერმუტაცია P- ით_არა. ასე რომ, ჩვენ უნდა:

პ_არა = ნ!

• მაგალითი 7

გამოთვალეთ P₇ და პ₃.

ამ ცვლილებების გამოსათვლელად, ფორმულაში უნდა ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობები. შეხედე:

პ₇ = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1

პ₇ = 5040

პ₃ = 3 · 2 · 1

პ₃ = 6

• მაგალითი 8

განსაზღვრეთ რამდენი ანაგრატი შეიძლება იყოს სიტყვაში ბრაზილია.

ჩვენ გვესმის, როგორც ანაგრამა სიტყვის ასოების ყველა შესაძლო გადატანა, მაგალითად, "ლისარბი" არის ა ანაგრამი სიტყვის ბრაზილია. ანაგრამების რაოდენობის დასადგენად უნდა გამოვთვალოთ ასოების პერმუტაცია სიტყვაში, ასე რომ:

პ₆ = 6!

პ₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

პ₆ = 720

ამიტომ, სიტყვა ბრაზილიას 720 ანაგრამა აქვს.

აგრეთვე წვდომა: პერმუტაცია განმეორებითი ელემენტებით

• მარტივი კომბინაცია

განვიხილოთ A სიმრავლე n განსხვავებული ელემენტებით. მოდით დავარქვათ კომბინაცია p ელემენტამდე აღებული n ელემენტისა p ელემენტებით წარმოქმნილი A- ს ნებისმიერი ქვეჯგუფი. კომბინაციის გაანგარიშების ფორმულა მოცემულია შემდეგით:

• მაგალითი 9

გამოთვალეთ ოთხიდან ოთხზე აღებული 10 ელემენტის კომბინაცია.

• მაგალითი 10

Რამდენი ოთხკუთხედები მკაფიოდ შეგვიძლია ავერსით ჩამოვაყალიბოთ A, B, C, D, E და F წერტილებში?

გაითვალისწინეთ, რომ ABCD ოთხკუთხედი იგივეა, რაც CDBA ოთხკუთხედი ამ კონტექსტში, ამიტომ ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ კომბინაცია და არა მასივები. ჩვენ სულ ექვსი ქულა გვაქვს და გვინდა გავაერთიანოთ ოთხი-ოთხი, ასე:

აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ 15 განსხვავებული ოთხკუთხედი.

კომბინატორული ანალიზი და ალბათობა

შესწავლა ალბათობა მჭიდრო კავშირშია კომბინატორული ანალიზის შესწავლასთან.. ალბათობის გარკვეულ პრობლემებში საჭიროა განისაზღვროს ნიმუშის სივრცე, რომელიც შედგება მოცემული მოვლენის ყველა შესაძლო შედეგისგან ჩამოყალიბებული სიმრავლისაგან.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ნიმუშის სივრცე E იწერება ძალიან პირდაპირ, როგორც სამართლიანი მონეტის ფლიპინზე, სადაც შესაძლო შედეგები არის თავები ან კუდები და აღინიშნება შემდეგნაირად:

E = {თავი, კუდი}

ახლა წარმოიდგინეთ შემდეგი სიტუაცია: ზედიზედ სამჯერ ისვრიან იღლიას და ჩვენ დაინტერესებული ვართ განვსაზღვროთ ამ ექსპერიმენტის ნიმუშის სივრცე. გაითვალისწინეთ, რომ ყველა შესაძლებლობის ჩაწერა აღარ არის მარტივი ამოცანა, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ თვლის ფუნდამენტური პრინციპი (PFC). ღონისძიება შეიძლება ჩატარდეს სამ ეტაპად, თითოეულ მათგანში გვაქვს ექვსი შესაძლებლობა, რადგან სიკვდილს ექვსი სახე აქვს, მაგალითად:

1 ეტაპი → ექვსი შესაძლებლობა

მე -2 ეტაპი → ექვსი შესაძლებლობა

მე -3 ეტაპი → ექვსი შესაძლებლობა

PFC– ის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობების საერთო რაოდენობა:

6 · 6 · 6

216

ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ ღონისძიების ნიმუში სივრცეა 216.

იხილეთ ეს ალბათობის შესასწავლად საჭიროა კომბინატორული ანალიზის ძირითადი ცოდნა., რადგან ექსპერიმენტის ნიმუშის სივრცის განსაზღვრის გარეშე, შეუძლებელია ალბათობის სავარჯიშოების აბსოლუტური უმრავლესობის ამოხსნა. დამატებითი ინფორმაციისთვის მათემატიკის ამ დარგის შესახებ წაიკითხეთ ტექსტი:ალბათობა.

კომბინატორული ანალიზი ასევე ასოცირდება ბინომების შესწავლასთან.

ამოხსნილი სავარჯიშოები

კითხვა 1 - განსაზღვრეთ სიტყვა ციხის ანაგრამების რაოდენობა. შემდეგ განვსაზღვროთ ანაგგრამების რაოდენობა, დაწყებული ასო c- ით.

რეზოლუცია

ანაგრამების რაოდენობის დასადგენად უნდა გამოვთვალოთ ასოების რაოდენობის პერმუტაცია, ასე:

პ₇ = 7!

პ₇ = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

პ₇ = 5040

სიტყვას აქვს 5040 ანაგრამა. ახლა, ანაგრამების რაოდენობის დასადგენად, რომლებიც იწყება ასო c- ით, უნდა დავაფიქსიროთ ასო და გამოვთვალოთ სხვების ანაგრამა, იხილეთ:

ჩ__ __ __ __ __ __

როდესაც ასო c- ს ვასწორებთ, გაითვალისწინეთ, რომ გადასახადის გამოსათვლელად ექვსი ველია დარჩენილი:

პ₆ = 6!

პ₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

პ₆ = 720

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს 720 ანგრამი სიტყვის ციხე, რომელიც იწყება ასო c- ით.

კითხვა 2 - საკლასო ოთახში ხუთი კაცი და შვიდი ქალია. რამდენი კაცი და სამი კაცი და ოთხი ქალი შეიძლება შეიქმნას?

რეზოლუცია

პირველი, ნახეთ, რომ რიგითობა, რომლითაც ვირჩევთ ხალხს, არა აქვს მნიშვნელობა, მაგალითად ჯოაოს მიერ შექმნილი ჯგუფი, მარკოსი და ხოსე არის იგივე ჯგუფი, რომელიც შექმნეს მარკოსმა, ჯოოომ და ხოსემ, ამიტომ ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ კომბინაცია გაანგარიშება.

მოდით ცალკე გამოვთვალოთ ჯგუფების რაოდენობა, რომელთა შექმნაც შეიძლება მამაკაცებისა და ქალების მიერ მოდით გავამრავლოთ ეს შედეგები, რადგან მამაკაცთა თითოეულ ჯგუფს შეუძლია ერთმანეთში აურიოს ქალები

კაცები

სულ 5 ფუნტი სტერლინგი

რაოდენობა ჯგუფში 3

ქალები

სულ 7 ფუნტი სტერლინგი

რაოდენობა group 4 ჯგუფში

ამიტომ, ჯგუფების საერთო რაოდენობა, რომელთა შექმნაც სამი კაცითა და ოთხი ქალით არის შესაძლებელი:

ჩ_5,3 · ჩ_7,4

10 · 35

350

რობსონ ლუიზის მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm