ვენის დიაგრამა: რა არის ეს, რისთვის არის ის, მაგალითები

ო Ვენის დიაგრამა, ასევე ცნობილია, როგორც ვენ-ეილერის დიაგრამა, არის ა სიმრავლის გრაფიკის გზა, ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ დახურულ ხაზს, რომელსაც არ აქვს თვითგადაკვეთა და ჩვენ წარმოვადგენთ ამ ხაზის შიგნით არსებულ ნაკრებებს. დიაგრამის იდეაა ხელი შეუწყოს გაგებას ძირითადი კომპლექტი ოპერაციები, როგორიცაა: ჩართვა და კუთვნილების ურთიერთობა, კავშირი და კვეთა, განსხვავება და კომპლემენტარული ნაკრები.

წაიკითხე შენც: ოპერაციები მთელ რიცხვებს შორის: იცოდეთ თვისებები

ვენის დიაგრამის წარმოდგენები

როგორც ნაჩვენებია, ვენის დიაგრამა შედგება დახურული (არა-გადაჯაჭვული) ხაზისგან, რომელზეც "ვდებთ" მოცემული სიმრავლის ელემენტებს, წარმოადგენს ერთ ან რამდენიმე კომპლექტს ერთდროულად. იხილეთ მაგალითები:

• სინგლი

ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ თქვენი საშუალებით ერთი დახურული ხაზიმაგალითად, მოდით წარმოვადგინოთ A = {1, 3, 5, 7, 9} სიმრავლე:

• ორ კომპლექტს შორის

ჩვენ უნდა შევადგინოთ ორი გრაფიკი, როგორც ეს ერთი სიმრავლეა. ამასთან, სიმრავლეთით მოქმედებებიდან ვიცით, რომ: ორი სიმრავლის გათვალისწინებით, ისინი შეიძლება იკვეთებოდეს ან არ იკვეთებოდეს. თუ ორი ნაკრები არ იკვეთება, მათ ასახელებენ დაშლილი ნაკრებები.

მაგალითი 1

ნახაზი, ვენის დიაგრამის გამოყენებით, სიმრავლეები A = {a, b, c, d, e, f} და B = {d, e f, g, h, i}.

გაითვალისწინეთ, რომ გადაკვეთა არის დიაგრამის ის ნაწილი, რომელიც ეკუთვნის ორ სიმრავლეს, ისევე როგორც განსაზღვრებაში.

A ∩ B = {d, e, f}

მაგალითი 2

გამოსახეთ C = {a, b, c, d} და D = {e, f, g, h} სიმრავლეები.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ ნაკრებების გადაკვეთა ცარიელია, რადგან მას არ აქვს არცერთი ელემენტი, რომელიც ერთდროულად ეკუთვნის ორივეს, ეს არის:

C ∩ D = {}

• სამ კომპლექტს შორის

წარმოდგენის იდეა ვენის დიაგრამის გამოყენებით სამი სიმრავლისთვის მსგავსია ორ კომპლექტს შორის წარმოდგენისა. ამ თვალსაზრისით, კომპლექტი შეიძლება სათითაოდ იყოს ერთმანეთისაგან გამიჯნული, ანუ მათ არა აქვთ რაიმე გადაკვეთა; ან ისინი შეიძლება იყოს ორი-ორი ერთმანეთისაგან გამიჯნული, ანუ მხოლოდ ორი მათგანი იკვეთება; ან ყველა იკვეთება.

მაგალითი

ვენის დიაგრამის გამოყენებით წარმოადგენენ A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} და C = {d, e, c, h} სიმრავლეებს.

იხილეთ აგრეთვე: მნიშვნელოვანი მითითებული ნოტაციები

წევრობის ურთიერთობა

წევრობის ურთიერთობა საშუალებას გვაძლევს ვთქვათ, ეკუთვნის თუ არა ელემენტი გარკვეულ სიმრავლეს. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ სიმბოლოებს:

განვიხილოთ სიმრავლე A = {a, b, c, d}. მისი ანალიზით, ჩვენ ვაცნობიერებთ ამას გმაგალითად, მას არ ეკუთვნის, ამიტომ ვენის დიაგრამაზე გვაქვს:

ინკლუზიური ურთიერთობა

ინკლუზიური ურთიერთობა საშუალებას გვაძლევს ვთქვათ შეიცავს თუ არა სიმრავლე სხვა სიმრავლეში. როდესაც სიმრავლე შეიცავს სხვას, ჩვენ ვამბობთ, რომ ის არის a ქვეჯგუფი. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ სიმბოლოებს:

ამის მაგალითია ურთიერთობა სიმრავლეთა შორის ბუნებრივი რიცხვები და კომპლექტი მთელი რიცხვები. ჩვენ ვიცით, რომ ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლე წარმოადგენს მთელი რიცხვების სიმრავლეს, ნატურალურის სიმრავლე შეიცავს მთელ რიცხვში.

ოპერაციები სიმრავლეთა შორის

ძირითადი ოპერაციები ორ ან მეტ კომპლექტს შორის არის: ერთიანობა, კვეთა და განსხვავება ორ კომპლექტს შორის.

• კავშირი

კავშირი ორ სიმრავლეს შორის იქმნება თითოეულ სიმბოლოში შემავალი ელემენტების შეერთებით, სხვა სიტყვებით: ორი კომპლექტის ყველა ელემენტი განიხილება. შეხედე:

განვიხილოთ A = {1, 2, 3, 4} და B = {3, 4, 5, 6, 7} სიმრავლეები. მათ შორის კავშირს იძლევა:

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

ვენის დიაგრამაზე, ჩვენ დავაჩრდილეთ კავშირის ნაწილი, ანუ ორივე ნაკრები, შეამოწმეთ:

• კვეთა

გადაკვეთა არის ახალი რიცხვითი სიმრავლე, რომელიც ჩამოყალიბებულია ელემენტებით, რომლებიც ერთდროულად სხვა სიმრავლეს ეკუთვნის. ზოგადად რომ ვთქვათ, ვენის დიაგრამაში სიმრავლეთა გადაკვეთა მოცემულია გრაფიკის საერთო ნაწილისთვის. შეხედე:

ისევ განვიხილოთ A = {1, 2, 3, 4} და B = {3, 4, 5, 6, 7} სიმრავლეები, ჩვენ გვაქვს ის ელემენტები, რომლებიც ერთდროულად მიეკუთვნება A და B სიმრავლეებს. :

A ∩ B = {3,4}

• სხვაობა ორ სიმრავლეს შორის

განვიხილოთ ორი და C სიმრავლე, მათ შორის განსხვავება (C - D) იქნება ახალი სიმრავლე, რომელიც ჩამოყალიბებულია C და არა D– ს კუთვნილი ელემენტებით. ზოგადად, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ეს განსხვავება, ვენის დიაგრამის გამოყენებით, შემდეგნაირად:

ამოხსნილი სავარჯიშოები

კითხვა 1 - (უფალი) შემდეგ ფიგურაში წარმოდგენილია არა-ცალკეული სიმრავლე A, B და C. ფერადი რეგიონი წარმოადგენს კომპლექტს:

ა) C - (A ∩ B)

ბ) (A ∩ B) - გ

გ) (A U B) - გ

დ) A U B U C

ე) A ∩ B ∩ C

გამოსავალი

ალტერნატივა ბ.

ოპერაციების სიმრავლეთა დამახსოვრებით, ვიცით, რომ ვენის დიაგრამაში ორ სიმრავლეს შორის გადაკვეთა მოცემულია მათთვის საერთო ნაწილის მიერ. A, B და C სიმრავლეების გათვალისწინებით და A ∩ B კომპლექტის გადაკვეთის შეღებვით, გვაქვს:

სათაური: ამოხსნის კითხვა 1 - ნაწილი 1

გაითვალისწინეთ, რომ თუ C სიმრავლიდან ამოვიღებთ ელემენტებს, მივიღებთ სავარჯიშოს მიერ მოთხოვნილ ფერად ნაწილს, ანუ თავდაპირველად უნდა გამოვყოთ კვეთა და შემდეგ ამოვიღოთ ელემენტები C– დან.

(A ∩ B) - გ

კითხვა 2 - (ურჯ) სკოლის მოსწავლეებმა მონაწილეობა მიიღეს ბავშვთა დამბლისა და წითელას საწინააღმდეგო ვაქცინაციის კამპანიაში. კამპანიის შემდეგ გაირკვა, რომ ბავშვების 80% -მა დამბლის საწინააღმდეგო ვაქცინა მიიღო, 90% -მა წითელა აცრა მიიღო, ხოლო 5% -მა არც ერთი მიიღო.

განსაზღვრეთ ამ სკოლის ბავშვების პროცენტი, რომლებმაც მიიღეს ორივე ვაქცინა.

გამოსავალი

რადგან უცნობია იმ ბავშვების პროცენტული რაოდენობა, რომლებმაც ორივე ვაქცინა მიიღეს, თავდაპირველად მას x ვუწოდოთ. გახსოვდეთ, რომ ჩვენ არ უნდა ვიმოქმედოთ% სიმბოლოთი, მაგრამ დავწეროთ სავარჯიშო პროცენტები მათი ათობითი ან წილადური ფორმით.

80 % → 0,8

90% → 0,9

5% → 0,05

100% → 1

ბავშვების საერთო რაოდენობის გასარკვევად, რომლებმაც მხოლოდ დამბლის საწინააღმდეგო ვაქცინა მიიღეს, გამოკლებულ იქნა დაზუსტებული პროცენტი (80%) მათ შორის ვინც აიღო ორივე (x) და იგივე უნდა გაკეთდეს იმ ბავშვებისთვის, ვინც მხოლოდ ვაქცინებს იღებენ წითელა. ამრიგად:

ყველა ბავშვთან შეერთება პროცენტული იქნება 100%, შესაბამისად:

0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1

1.75 - x = 1

- x = 1 - 1.75

(–1) · - x = - 0,75 · (–1)

x = 0,75

x = 75%

ამიტომ, სკოლაში ბავშვების 75% -ს ჰქონდა ორივე ვაქცინა.

ლ.დო რობსონ ლუიზის მიერ

მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm