ოპერაციები ვექტორებთან და გეომეტრიულ გამოსახულებებთან

მის მიერ წარმოქმნილი გეომეტრიული ფიგურებისგან განსხვავებით ქულა არ აქვს განმარტება. ეს ნიშნავს, რომ გეომეტრიაში წერტილი არის განუსაზღვრელი ობიექტი, რომელიც გამოიყენება სხვა ობიექტების განსაზღვრისას. ხაზები, მაგალითად, წერტილების სიმრავლეა. მიუხედავად იმისა, რომ კარგად გამოკვეთილი ჩანს, სტრიქონებს ასევე არ აქვთ განმარტება, რადგან ორი ან მეტი წერტილის შემცველი ნებისმიერი სიმრავლე განიხილება სწორად.

მეორე მხრივ, ანალიტიკურ გეომეტრიაში წერტილი მიიღება როგორც ადგილმდებარეობა. ნებისმიერი ადგილმდებარეობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წერტილით და გარდა ამისა, ამ წერტილის "მისამართი" მოცემულია კოორდინატების საშუალებით.

ამასთან, ანალიზურ გეომეტრიაში წერტილებს შეუძლიათ მხოლოდ ადგილმდებარეობების მითითება. სხვა ობიექტები საჭიროა ტრაექტორია, მიმართულება, მიმართულება და ინტენსივობა. ამ უკანასკნელ სამ შემთხვევაში, კარტესიან სიბრტყეში მათი წარმოსაჩენად არჩეული ობიექტია ვექტორი.

→ რა არის ვექტორი?

ვექტორები, ამიტომ, ობიექტები არიან, რომლებიც მიუთითებენ მიმართულებაზე, გრძნობასა და ინტენსივობაზე. ისინი, როგორც წესი, წარმოდგენილია ისრებით, რომლებიც წარმოშობიდან იწყება და გამოიყენება მათი ბოლო წერტილის კოორდინატები.

ზემოთ მოცემულ სურათში ვექტორები წარმოდგენილია ამ გზით, ანუ ისრები, რომელთა კოორდინატები შეესაბამება მათ საბოლოო წერტილს. ვექტორს აქვს კოორდინატები (2,2) და ვექტორს აქვს კოორდინატები (4,2). ასევე, ისარი გამოიყენება მიმართულების და მიმართულების მითითებით, ხოლო მისი ზომა მიუთითებს ინტენსივობაზე.

→ ვექტორის გამრავლება რიცხვზე

V = (a, b) ვექტორის გათვალისწინებით, k რეალური რიცხვის პროდუქტი მოცემულია v– ით:

k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რეალური რიცხვი ვექტორზე გამრავლებისთვის უნდა აამრავლოთ ნამდვილი რიცხვი მის თითოეულ კოორდინატზე.

გეომეტრიულად, ვექტორის გამრავლება რეალურ რიცხვზე ზრდის ვექტორის ზომას ხაზობრივად:

გაითვალისწინეთ, რომ ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ვექტორს აქვს კოორდინატები (2.2), ხოლო ვექტორს u · k აქვს კოორდინატები (4.4). (4.4) = k (2.2) განტოლების ამოხსნა, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ k = 2.

Ve ვექტორების დამატება

U = (a, b) და v = (c, d) ორი ვექტორის გათვალისწინებით, მათ შორის ჯამი მიიღება გამოხატვის საშუალებით:

u + v = (a + c, b + d)

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უბრალოდ დაამატეთ თითოეული ვექტორის შესაბამისი კოორდინატები. ეს ოპერაცია 3 ან მეტი განზომილების 3 ან მეტი ვექტორის ჯამს შეადგენს.

გეომეტრიულად, u ვექტორის ბოლო წერტილიდან იწყება ვექტორი v 'ვექტორის პარალელურად. ვექტორიდან დაწყებული, u ვექტორი შედგენილია u ვექტორის პარალელურად. ეს ოთხი ვექტორი ქმნის პარალელოგრამას. ვექტორი u + v არის ამ პარალელოგრამის შემდეგი დიაგონალი:

ვექტორების გამოკლებისთვის, გამოკლება ჩათვალეთ, როგორც ერთი ვექტორის ჯამი და სხვისი საპირისპირო. მაგალითად, ვექტორისგან u ვექტორის გამოკლებისთვის, დაწერეთ: u - v = u + (-v). -V ვექტორი არის v ვექტორი, მაგრამ საპირისპირო კოორდინაციის ნიშნებით.

კარგად რომ დავაკვირდეთ, ოპერაციები "ვექტორის გამრავლება რიცხვზე" და "ვექტორების დამატება" გამოიყენეთ გამრავლებისა და დამატების ოპერაციები რეალურ რიცხვებზე, მაგრამ თითოეული კომპონენტის შესახებ ვექტორი. ამიტომ, ვექტორებისთვის ნამდვილი რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების ყველა თვისება მოქმედებს, კერძოდ:

U, v და w ვექტორების და k და l რეალური რიცხვების გათვალისწინებით,

ი) (u + v) + w = ​​u + (v + w)

ii) u + v = v + u

iii) არსებობს ვექტორი 0 = (0.0) ისეთი, რომ v + 0 = v

ივ) არსებობს ვექტორი - v ისეთი, რომ v + (-v) = 0

v) k (u + v) = ku + kv

vi) (k + l) v = kv + lv

vii) kl (v) = k (lv)

viii) 1v = v

A ვექტორის სტანდარტი

ვექტორის ნორმა არის რეალური რიცხვის სიდიდის ექვივალენტი, ანუ მანძილი ვექტორსა და წერტილს შორის (0,0) ან, მითითების ჩარჩოდან გამომდინარე, ვექტორის სიგრძე.

ვექტორის ნორმა v = (a, b) აღინიშნება || v || და შეიძლება გამოითვალოს გამოთქმის გამოყენებით:

|| ვ || = (ა² + ბ²)

→ შიდა პროდუქტი

შიდა პროდუქტი შედარებულია ვექტორებს შორის არსებულ პროდუქტთან. გაითვალისწინეთ, რომ ზემოთ ნახსენები პროდუქტი არის პროდუქტი ვექტორსა და რეალურ რიცხვს შორის. ახლა, კითხვაზე "პროდუქტი" ორ ვექტორს შორისაა. ამასთან, არ უნდა ითქვას ”პროდუქტი ორ ვექტორს შორის”, არამედ ”შინაგანი პროდუქტი ორ ვექტორს შორის”. V = (a, b) და u = (c, d) ვექტორებს შორის შიდა პროდუქტი აღინიშნება და შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

= a · c + b · d

ასევე ჩვეულებრივია შემდეგი ნოტაციის გამოყენება:

=

გაითვალისწინეთ, რომ ვექტორის ნორმის გამოყენებით v = (a, b), შეგვიძლია დავაკავშიროთ ნორმა და წერტილოვანი პროდუქტი.

|| ვ || = (ა² + ბ²) = √ (a · a + b · b) = √ ()

ლუიზ პაულო მორეირას მიერ
დაამთავრა მათემატიკა

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm