შებრუნებული ფუნქცია: რა არის ეს, გრაფიკი, სავარჯიშოები

შებრუნებული ფუნქცია, როგორც სახელი ვარაუდობს, არის ფუნქცია f (x)^-1, რომელიც ზუსტად f (x) ფუნქციის შებრუნებულს აკეთებს. იმისათვის, რომ ფუნქციამ შებრუნებული მხარი დაუჭიროს, ის უნდა იყოს ბიექტორი, ანუ ინჟექტორი და სურექტორი ერთდროულად. შებრუნებული ფუნქციის ფორმირების კანონი აკეთებს საპირისპიროს იმისა, რასაც აკეთებს f (x) ფუნქცია.

მაგალითად, თუ ფუნქცია იღებს მნიშვნელობას დომენი და ამატებს 2-ს, ინვერსიული ფუნქცია, ნაცვლად იმისა, რომ დაამატო, გამოკლე 2. იპოვო შებრუნებული ფუნქციის ფორმირების კანონი ეს ყოველთვის არ არის მარტივი დავალება, რადგან საჭიროა x და y უცნობების შებრუნება, ისევე როგორც y განტოლება ახალ განტოლებაში.

წაიკითხეთ ასევე:ფუნქცია - ყველაფერი თქვენ უნდა იცოდეთ საგანი

როდის არის ფუნქცია შებრუნებული?

ფუნქციის და მისი ინვერსიული ფუნქციის გრაფიკული გამოსახვა.

როლი არის შებრუნებული, ანუ მას აქვს შებრუნებული ფუნქცია, თუ და მხოლოდ მაშინ თუ არის ბიექტორი. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს რა ბიექტორის ფუნქცია, რაც ფუნქციაა ინჟექტორი, ანუ, სურათის ყველა ელემენტს აქვს ერთი დომენის კორესპონდენტი. ეს ნიშნავს, რომ A სიმრავლის სხვადასხვა ელემენტები ასოცირდება სხვადასხვა ელემენტებთან სიმრავლე B, ანუ არ შეიძლება არსებობდეს A სიმრავლის ორი ან მეტი ელემენტი, რომლებსაც აქვთ იგივე შესაბამისი მითითებული B.

როლი არის სუნიკური თუ სურათი ტოლია საწინააღმდეგო დომენისა, ანუ, B სიმრავლეში არ არის ისეთი ელემენტი, რომელსაც არ ჰქონდეს მასთან ასოცირებული A ელემენტი.

მოდით f ფუნქცია: A → B, სადაც A არის დომენი და B არის საწინააღმდეგო დომენი, f- ს შებრუნებული ფუნქცია იქნება f აღწერილი ფუნქცია^-1 : B → A, ანუ დომენი და საწინააღმდეგო დომენი შებრუნებულია.

მაგალითი:

ფუნქცია f: A → B ბიექტურია, ვინაიდან ის ინექციურია (A– ში მკაფიო ელემენტები ასოცირდება მკაფიო ელემენტებია ბ) და ის ასევე სუპერექტურია, რადგან B სიმრავლეში ელემენტი აღარ დარჩა, ანუ counterdomain იგივეა, რაც დადგენილი სურათი.

ამრიგად, ეს ფუნქცია შექცევადია და მისი შებრუნებული არის:

როგორ განისაზღვრება შებრუნებული ფუნქციის ფორმირების კანონი?

ფუნქციის ფორმირების შებრუნებული კანონის მოსაძებნად, ჩვენ გვჭირდება შეცვალოს უცნობები, ანუ x შეცვლის y– ით და y– ით x– ით და შემდეგ გამოიყოფა უცნობი y. ამისათვის მნიშვნელოვანია, რომ ფუნქცია იყოს შექცევადი, ანუ ბიჟექტორი.

→ მაგალითი 1

იპოვნეთ f (x) = x + 5 ინვერსიული ფუნქციის ფორმირების კანონი.

რეზოლუცია:

ჩვენ ვიცით, რომ f (x) = y, ასე რომ y = x + 5. X და y ინვერსიის შესრულებით ჩვენ ვიპოვით შემდეგს განტოლება:

x = y + 5

მოდით იზოლირება y:

- 5 + x = წ
y = x - 5

ცხადია, თუ f (x) x მნიშვნელობას ემატება 5, მაშინ მისი ინვერსიული f (x) ^{- 1} გააკეთებს საპირისპიროს, ანუ x – ს გამოკლებით 5.

→ მაგალითი 2

იმ ფუნქციის გათვალისწინებით, რომლის ფორმირების კანონია f (x) = 2x - 3, როგორი იქნება მისი ინვერსიის ფორმირების კანონი?

→ მაგალითი 3

გამოთვალეთ y = 2 ფუნქციის შებრუნებული ფორმირების კანონი^x.

რეზოლუცია:

y = 2^x
იცვლება x y- ზე:
x = 2^y

გამოყენებით ლოგარითმი ორივე მხარეს:

ჟურნალი₂x = ჟურნალი₂2^y
ჟურნალი₂x = ილოგი₂2
ჟურნალი₂x = y · 1
ჟურნალი₂x = წ
y = ჟურნალი₂x

წაიკითხეთ ასევე: განსხვავება ფუნქციასა და განტოლებას შორის

შებრუნებული ფუნქციის დიაგრამა

შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი f ^-1 ის ყოველთვის სიმეტრიული იქნება f ფუნქციის გრაფიკის მიმართ y = x ხაზთან მიმართებაში, რაც საშუალებას გვაძლევს გავაანალიზოთ ამ ქცევა ფუნქციები, თუმცა არ შეგვიძლია აღწეროთ შებრუნებული ფუნქციის ფორმირების კანონი ზოგიერთ შემთხვევაში, მისი გამო სირთულე

წაიკითხეთ ასევე: როგორ დავაფიქსიროთ ფუნქცია?

სავარჯიშოები მოგვარებულია

1) თუ ვ^-1 f არის შებრუნებული ფუნქცია, რომელიც გადადის R– დან R– მდე, რომლის ფორმირების კანონი f (x) = 2x - 10, რიცხვითი მნიშვნელობა f ^-1(2) é:

1-მდე

ბ) 3

გ) 6

დ) -4

ე) -6

რეზოლუცია:

→ 1-ლი ნაბიჯი: იპოვნეთ შებრუნებული f.

→ მე -2 ნაბიჯი: შეცვალეთ 2 x –ს ნაცვლად f– ში ^-1(x)

ალტერნატიული C.

2) მოდით f: A → B იყოს ფუნქცია, რომლის ფორმირების კანონია f (x) = x² + 1, სადაც A {-2, -1, 0, 1, 2} და B = {1,2,5}, სწორია იმის თქმა, რომ:

ა) ფუნქცია შექცევადია, ისევე როგორც ბიექტორი.

ბ) ფუნქცია არ არის ინვერსიული, რადგან ის არ არის ინექციური.

გ) ფუნქცია არ არის შექცევადი, რადგან არ არის სუნიკური

დ) ფუნქცია არ არის შექცევადი, რადგან ის არც სუნიკურია და არც ინექციური.

ე) ფუნქცია არ არის შექცევადი, რადგან იგი ბიექტორია.

რეზოლუცია:

იმისათვის, რომ ფუნქცია შექცევადი იყოს, ის უნდა იყოს ბიექტური, ანუ სუპერექციური და ინექციური. პირველ რიგში მოდით გავაანალიზოთ არის თუ არა იგი სუბიექტური.

იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს სუვერქციული, B- ს ყველა ელემენტს უნდა ჰქონდეს A- ს ანალოგი. ამის ცოდნისთვის მოდით გამოვთვალოთ მისი თითოეული რიცხვითი მნიშვნელობა.

f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5

f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2

f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1

f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2

f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5

გაითვალისწინეთ, რომ B {1,2,5} - ის ყველა ელემენტს აქვს შესაბამისი A, რაც ქმნის ფუნქციას სუნიკური.

ამ ფუნქციის ინექცია რომ მოხდეს, A- სგან განსხვავებულ ელემენტებს B უნდა ჰქონდეს მკაფიო გამოსახულებები, რაც არ ხდება. გაითვალისწინეთ, რომ f (-2) = f (2) და ასევე f (-1) = f (1), რაც ქმნის ფუნქციას არ გააკეთოთ ინექცია. ვინაიდან ის არ არის ინჟექტორი, ასევე არ არის ინვერსიული; ამიტომ, ალტერნატივა ბ.

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm