მატრიცის გამრავლება: როგორ გამოვთვალოთ, მაგალითები

მმატრიცის გამრავლება ხდება ალგორითმის საშუალებით, რომელიც დიდ ყურადღებას მოითხოვს. პროდუქტის A და B მატრიცებს შორის არსებობისთვის, აუცილებელია, რომ რიცხვი სვეტები აძლევს პირველი სათაო ოფისი, შემთხვევაში A, ტოლია რიცხვის ხაზები აძლევს ორშაბათს სათაო ოფისიიმ შემთხვევაში, თუ ბ.

მატრიცებს შორის გამრავლებით შესაძლებელია გავიგოთ რა არის პირადობის მატრიცა, რომელია მატრიცის გამრავლების ნეიტრალური ელემენტი და რა არის M მატრიცის შებრუნებული მატრიცა, რომელიც არის M მატრიცა^-1 რომლის M- ის პროდუქტი M- ს მიერ^-1 უდრის პირადობის მატრიცას. ასევე შესაძლებელია მატრიცის გამრავლება ნამდვილ რიცხვზე - ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვამრავლებთ თითოეული ტერმინების სათაო ოფისი ნომრით.

წაიკითხეთ ასევე: რა არის სამკუთხა მატრიცა?

არსებობის პირობა

მატრიცებს შორის გამრავლება არის პროცესი, რომელიც დიდ ყურადღებას მოითხოვს.

ორი მატრიცის გასამრავლებლად საჭიროა არსებობის პირობის შემოწმება. პროდუქტის არსებობისთვის, პირველ მატრიცაში სვეტების რაოდენობა უნდა ტოლი იყოს მეორე მატრიცაში მწკრივების რაოდენობას. გარდა ამისა, გამრავლების შედეგი არის მატრიცა, რომელსაც აქვს იგივე რაოდენობის მწკრივი, როგორც პირველი მატრიცა და იგივე სვეტი, როგორც მეორე მატრიცა.

მაგალითად, პროდუქტი AB მატრიცებს შორის_3x2 და ბ_2x5 არსებობს, რადგან A სვეტების რაოდენობა (2 სვეტი) ტოლია B სტრიქონების რიცხვი (2 რიგები) და შედეგია AB მატრიცა_3x5. უკვე პროდუქტი C მატრიცებს შორის_3x5 და მატრიცა D_2x5 არ არსებობს, რადგან C– ს აქვს 5 სვეტი და D– ს აქვს 3 მწკრივი.

როგორ გამოვთვალოთ პროდუქტი ორ მატრიცას შორის?

მატრიცის გამრავლების შესასრულებლად აუცილებელია დაიცვას რამდენიმე ნაბიჯი. ჩვენ მოვახდენთ ალგებრული მატრიცის გამრავლების მაგალითს A_2x3 მატრიცა B- ით_3x2

ჩვენ ვიცით, რომ პროდუქტი არსებობს, რადგან მატრიცას A აქვს 3 სვეტი, ხოლო მატრიცა B, 3 მწკრივი. C- ს დავარქმევთ A · B გამრავლების შედეგს. გარდა ამისა, ჩვენ ასევე ვიცით, რომ შედეგი არის C მატრიცა._2x2, რადგან მატრიცას A აქვს 2 მწკრივი, ხოლო მატრიცა B, 2 სვეტი.

A მატრიცის პროდუქტის გამოსათვლელად_2x3 და მატრიცა B_3x2მოდით რამდენიმე ნაბიჯს მივყვეთ.

პირველ რიგში ვიპოვით C მატრიცის თითოეულ ტერმინს_2x2:

ტერმინების მოსაძებნად მოდით ყოველთვის დაუკავშირეთ A მატრიცის მწკრივები B მატრიცის სვეტებს:

ჩ₁₁ → 1 სტრიქონი ა და ბ-ს 1 სვეტი
ჩ₁₂ → 1 სტრიქონი ა და ბ-ს მე -2 სვეტი
ჩ₂₁ → ა-ის მე -2 ხაზი და ბ-ს 1 სვეტი
ჩ₂₂ → ა-ის მე -2 ხაზი და ბ-ს მე -2 სვეტი

თითოეულ ტერმინს გამოვთვლით A მწკრივში ტერმინების გამრავლებით და B სვეტის ტერმინებით. ახლა ეს პროდუქტები უნდა დავამატოთ, დაწყებული ჩ_11:

1 სტრიქონი ა
ბ-ს 1 სვეტი

ჩ₁₁ = ₁₁· ბ₁₁ + ₁₂· ბ₂₁+ ₁₃· ბ₃₁

გაანგარიშება ჩ₁₂:

1 სტრიქონი ა
ბ-ს მე -2 სვეტი

ჩ₁₂ = ₁₁· ბ₁₂ + ₁₂· ბ₂₂+₁₃· ბ₃₂

გაანგარიშება ჩ₂₁:

ა-ის მე -2 ხაზი
ბ-ს 1 სვეტი

ჩ₂₁ = ₂₁· ბ₁₁ + ₂₂· ბ₂₁+₂₃· ბ₃₁

ვადის გაანგარიშება ჩ₂₂:

ა-ის მე -2 ხაზი
ბ-ს მე -2 სვეტი

ჩ₂₂ = ₂₁· ბ₁₂ + ₂₂· ბ₂₂+₂₃· ბ₃₂

ამრიგად, C მატრიცა იქმნება ტერმინებით:

მაგალითი:

მოდით გამოვთვალოთ გამრავლება A და B მატრიცებს შორის.

ჩვენ ვიცით, რომ ა_2x2 და ბ_2x3, სვეტების რაოდენობა პირველში ტოლია სტრიქონების რაოდენობის მეორეში, ამიტომ პროდუქტი არსებობს. ჩვენ გავაკეთებთ C = A · B და ვიცით რომ C_2x3.

გამრავლებით, ჩვენ უნდა:

იხილეთ აგრეთვე: რა არის გადატანილი მატრიცა?

პირადობის მატრიცა

მატრიცებს შორის გამრავლებისას არსებობს განსაკუთრებული შემთხვევები, მაგალითად პირადობის მატრიცა, რომელიც არის მატრიცებს შორის გამრავლების ნეიტრალური ელემენტი.. პირადობის მატრიცა არის კვადრატული მატრიცა, ანუ მწკრივების რაოდენობა ყოველთვის ტოლია სვეტების რაოდენობის. გარდა ამისა, მხოლოდ დიაგონალის ტერმინები ტოლია მასში 1, ხოლო დანარჩენი ტერმინები ნულის ტოლია. როდესაც M მატრიცას გავამრავლებთ იდენტურობის მატრიცაზე I_არა, Ჩვენ უნდა:

მ · მე_არა = მ

პირადობის მატრიცა მე -2 რიგიდან მე –5 შეკვეთამდე

მაგალითი:

რა არის შებრუნებული მატრიცა?

M მატრიცის გათვალისწინებით, ჩვენ ეს ვიცით, როგორც M– ს შებრუნებული მატრიცა. მატრიცა M^-1რომლის პროდუქტი M · M^-1 ტოლია à პირადობის მატრიცა I_არა. იმისათვის, რომ მატრიცას შებრუნებული ჰქონდეს, ის უნდა იყოს კვადრატი და მისი განმსაზღვრელი უნდა განსხვავდებოდეს 0-ისგან. მოდით ვნახოთ მატრიცების მაგალითები, რომლებიც შებრუნებულია:

გაანგარიშებით პროდუქტი A · B, ჩვენ უნდა:

გაითვალისწინეთ, რომ პროდუქტი A და B გენერირებულ I მატრიქსს შორის₂. როდესაც ეს მოხდება, ჩვენ ვამბობთ, რომ B არის A– ს შებრუნებული მატრიცა. ამ ტიპის მატრიცის შესახებ მეტი ინფორმაციის მისაღებად წაიკითხეთ: შებრუნებული მატრიცა.

მატრიცის გამრავლება ნამდვილ რიცხვზე

მატრიცებს შორის გამრავლებისგან განსხვავებით, არსებობს მატრიცების გამრავლება ერთზე ნამდვილი რიცხვი, რაც ბევრად უფრო მარტივი ოპერაციაა გამოსავალი.

მოცემულია M მატრიცა, მატრიცის გამრავლება ნამდვილ რიცხვზე კ მატრიცის ტოლია კმ. ამ მატრიცის მოსაძებნად კმ, საკმარისია გამრავლებული ყველა ტერმინი მატრიცაში მუდმივზე კ.

მაგალითი:

თუკი კ = 5 და ქვემოთ მოცემული M მატრიცის გათვალისწინებით, იპოვნეთ 5M მატრიცა.

გამრავლება:

სავარჯიშოები მოგვარებულია

Კითხვა 1 - (Unitau) A და B მატრიცების გათვალისწინებით,

c ელემენტის მნიშვნელობა₁₁ მატრიცა C = AB არის:

ა) 10.

ბ) 28.

გ) 38.

დ) 18.

ე) 8.

რეზოლუცია

ალტერნატივა ა.

როგორ გვინდა ტერმინი გ₁₁მოდით გავამრავლოთ ტერმინები პირველ რიგში და A ტერმინებით B- ს პირველ სვეტში.

გამოთვლა გ₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

კითხვა 2 - (Enem 2012) სტუდენტმა თავისი ზოგიერთი საგნის ორთვიანი შეფასებები დარეგისტრირდა ცხრილში. მან აღნიშნა, რომ ცხრილში რიცხვითი ჩანაწერები ქმნიდა 4 × 4 მატრიცას და მას შეეძლო ამ დისციპლინების წლიური საშუალოების გამოთვლა მატრიცების პროდუქტის გამოყენებით. ყველა ტესტს ჰქონდა ერთი და იგივე წონა, ხოლო ცხრილი, რომელიც მან მიიღო, ნაჩვენებია ქვემოთ.

ამ საშუალოების მისაღებად, მან გამრავლდა ცხრილიდან მიღებული მატრიცა მატრიცაზე:

რეზოლუცია

ალტერნატიული ე.

საშუალო სხვა არაფერია თუ არა ელემენტების ჯამი, რომელიც იყოფა ელემენტების რაოდენობაზე. გაითვალისწინეთ, რომ თითო სტრიქონზე არის 4 შენიშვნა, ამიტომ საშუალო იქნება ამ შენიშვნების ჯამი გაყოფილი 4-ზე. 4-ზე გაყოფა იგივეა რაც გამრავლებით წილადი ¼. ასევე, კლასების მატრიცა არის 4x4 მატრიცა, ამიტომ ჩვენ უნდა გავამრავლოთ 4x1 მატრიცაზე, ანუ მას აქვს 4 მწკრივი და 1 სვეტი, რომ ვიპოვნოთ მატრიცა, რომელსაც აქვს საშუალო შეფასებების.

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm