ინვერსიული მატრიცა: რა არის ეს, როგორ უნდა იპოვოთ სავარჯიშოები

კონცეფცია შებრუნებული მატრიცა ძალიან ახლოსაა რიცხვის ინვერსიის ცნებასთან. გავიხსენოთ, რომ რიცხვის შებრუნებული არა არის ნომერი არა^-1, სადაც პროდუქტი ორს შორის ტოლია ნეიტრალური ელემენტისა გამრავლება, ეს არის რიცხვი 1. უკვე M მატრიცის შებრუნებული არის M მატრიცა^-1, სადაც პროდუქტი M · M^-1 ტოლია იდენტურობის მატრიცა I_არა, რაც სხვა არაფერია თუ არა მატრიცის გამრავლების ნეიტრალური ელემენტი.

იმისათვის, რომ მატრიცას შებრუნებული ჰქონდეს, ის უნდა იყოს კვადრატი და, გარდა ამისა, მისი განმსაზღვრელი უნდა განსხვავდებოდეს ნულისგან, წინააღმდეგ შემთხვევაში არ იქნება ინვერსიული. შებრუნებული მატრიცის მოსაძებნად ვიყენებთ მატრიცის განტოლებას.

წაიკითხე შენც: სამკუთხა მატრიცა - სპეციალური ტიპის კვადრატული მატრიცა

მატრიცას რომ ჰქონდეს შებრუნებული, ის უნდა იყოს კვადრატი.

პირადობის მატრიცა

იმის გასაგებად, თუ რა არის შებრუნებული მატრიცა, პირველ რიგში საჭიროა ვიცოდეთ პირადობის მატრიცა. ჩვენ ვიცით, როგორც პირადობის მატრიცა I კვადრატული მატრიცა_არა სადაც მთავარი დიაგონალის ყველა ელემენტი 1-ის ტოლია, ხოლო სხვა ტერმინები 0-ის ტოლია.

პირადობის მატრიცა არის მატრიცებს შორის გამრავლების ნეიტრალური ელემენტი., ანუ მოცემულია ა სათაო ოფისი N ბრძანების M, პროდუქტი M მატრიცასა და I მატრიქსს შორის_არა ტოლია M მატრიცისა.

მ · მე_არა = მ

როგორ გამოვთვალოთ შებრუნებული მატრიცა

M– ს შებრუნებული მატრიცის მოსაძებნად აუცილებელია მატრიცის განტოლების ამოხსნა:

 მ · მ^-1 = მე_არა

მაგალითი

იპოვნეთ მ-ს შებრუნებული მატრიცა.

რადგან არ ვიცით შებრუნებული მატრიცა, მოდით ალგებრალურად წარმოვადგინოთ ეს მატრიცა:

ჩვენ ვიცით, რომ ამ მატრიცებს შორის პროდუქტი უნდა იყოს I ტოლი₂:

მოდით ამოვხსნათ მატრიცის განტოლება:

შესაძლებელია პრობლემის ორად დაყოფა სისტემები განტოლებები. პირველი იყენებს M · M მატრიცის პირველ სვეტს^-1 და პირადობის მატრიცის პირველი სვეტი. ასე რომ, ჩვენ უნდა:

სისტემის გადასაჭრელად, მოდით გამოვყოთ₂₁ II განტოლებაში და შემცვლელი I განტოლებაში.

I განტოლებაში ჩანაცვლება, ჩვენ უნდა:

როგორ მოვიძიოთ ა-ს მნიშვნელობა₁₁, მაშინ ჩვენ ვიპოვით მნიშვნელობას a₂₁:

ღირებულების ცოდნა ა₂₁ და₁₁ახლა ჩვენ ვხვდებით სხვა ტერმინების მნიშვნელობას მეორე სისტემის შექმნით:

იზოლირება₂₂ III განტოლებაში ჩვენ უნდა:

მე -3₁₂ + 1-ლი₂₂ = 0

₂₂ = - მე -3₁₂

ჩანაცვლება IV განტოლებაში:

მე -5₁₂ + მე -2₂₂ =1

მე -5₁₂ + 2 · (- მე -3₁₂) = 1

მე -5₁₂ - მე -6₁₂ = 1

- ა₁₂ = 1 ( – 1)

₁₂ = – 1

ღირებულების ცოდნა ა₁₂, ჩვენ ვიპოვით მნიშვნელობას a₂₂ :

₂₂ = - მე -3₁₂

₂₂ = – 3 · ( – 1)

₂₂ = 3

ახლა, როდესაც ჩვენ ვიცით M მატრიცის ყველა ტერმინი^-1შესაძლებელია მისი წარმოდგენა:

წაიკითხეთ ასევე: მატრიცების შეკრება და გამოკლება

შებრუნებული მატრიცის თვისებები

არსებობს თვისებები, რომლებიც ინვერსიული მატრიცის განსაზღვრის შედეგია.

• 1-ლი ქონება: მატრიცის შებრუნებული M^-1 ტოლია M მატრიცისა. ინვერსიული მატრიცის ინვერსია ყოველთვის არის თავად მატრიცა, ანუ (M^-1)^-1 = M, რადგან ვიცით რომ M^-1 · M = მე_არა, ამიტომ მ^-1 შებრუნებულია M და ასევე M არის შებრუნებული M^-1.
• მე -2 ქონება: პირადობის მატრიცის ინვერსია თავად არის: I^-1 = მე, რადგან პირადობის მატრიცის პროდუქტი თავისთავად იწვევს პირადობის მატრიცას, ანუ მე_არა · ᲛᲔ_არა = მე_არა.
• მე -3 ქონებაინვერსიული ორი მატრიცის პროდუქტიშენ ხარ ინვერსიის პროდუქტის ტოლია:

(მმ H)^-1 = მ^-1 · ა^-1.

• მე -4 ქონება: კვადრატული მატრიცა შებრუნებულია თუ და მხოლოდ მისი განმსაზღვრელი განსხვავდება 0 – ისგან, ანუ det (M) ≠ 0 – ისგან.

ამოხსნილი სავარჯიშოები

1) მოცემულია მატრიცა A და მატრიცა B, იმის ცოდნა, რომ ისინი ინვერსიულია, მაშინ x + y არის მნიშვნელობა:

ა) 2.

ბ) 1.

გ) 0.

დ) -1.

ე) -2.

რეზოლუცია:

ალტერნატივა დ.

განტოლების აგება:

A · B = მე 

მეორე სვეტის მიხედვით, ტერმინების ტოლფასი, ჩვენ უნდა:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

X- ის იზოლირება I- ში:

ჩანაცვლება განტოლება II, ჩვენ უნდა:

ვიცოდეთ y მნიშვნელობა, ჩვენ ვიპოვით x მნიშვნელობას:

მოდით გამოვთვალოთ x + y:

კითხვა 2

მატრიცას აქვს შებრუნებული მხოლოდ მაშინ, როდესაც მისი განმსაზღვრელი განსხვავდება 0-ისგან. ქვემოთ მოყვანილი მატრიცის გადახედვისას, რა არის x მნიშვნელობები, რის გამოც მატრიცა არ არის ინვერსიული?

ა) 0 და 1.

ბ) 1 და 2.

გ) 2 და - 1.

დ) 3 და 0.

ე) - 3 და - 2.

რეზოლუცია:

ალტერნატივა ბ.

A- ს დეტერმინანტის გაანგარიშებით, ჩვენ გვინდა მნიშვნელობები, სადაც det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

გადაჭრის მე -2 ხარისხის განტოლება, Ჩვენ უნდა:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm