მატრიცა: რა არის ეს, ტიპები, ოპერაციები, მაგალითები

სათაო ოფისი იგი ჩვეულებრივ გამოიყენება ცხრილი მონაცემების ორგანიზებისათვის პრობლემის გადაჭრის ხელშესაწყობად. მატრიცის ინფორმაცია, ციფრულია თუ არა, ალაგ-ალაგ განლაგებულია მწკრივებსა და სვეტებში.

მატრიცების ნაკრები, რომლებიც აღჭურვილია ოპერაციებით დამატება, გამოკლება და გამრავლება და თვისებები, როგორც ნეიტრალური და შებრუნებული ელემენტი, ქმნის მათემატიკურ სტრუქტურას, რომელიც საშუალებას აძლევს მის გამოყენებას სხვადასხვა სფეროში ცოდნის ამ დიდი არეალის.

აგრეთვე: ურთიერთობა მატრიცასა და ხაზოვან სისტემებს შორის

მატრიცის წარმოდგენა

მატრიცებზე სწავლის დაწყებამდე აუცილებელია გარკვეული აღნიშვნების დადგენა მათი წარმოდგენების შესახებ. საათზე მატრიცა ყოველთვის წარმოდგენილია დიდი ასოებით. (A, B, C), რომელსაც თან ახლავს ინდექსები, რომელშიც პირველი რიცხვი მიუთითებს მწკრივების რაოდენობას და მეორე, სვეტების რაოდენობა.

ხაზების რაოდენობა (ჰორიზონტალური რიგები) და სვეტები მატრიცის (ვერტიკალური რიგები) განსაზღვრავს მის შეკვეთა. A მატრიცას აქვს n ბრძანება n. მასივში მოთავსებულ ინფორმაციას ეწოდება ელემენტები და ორგანიზებულია ფრჩხილებში, კვადრატულ ფრჩხილებში ან ორ ვერტიკალურ ზოლში, იხილეთ მაგალითები:

A მატრიცას აქვს ორი მწკრივი და სამი სვეტი, ამიტომ მისი თანმიმდევრობა არის ორი სამზე → A_2x3.

მატრიქს B- ს აქვს ერთი მწკრივი და ოთხი სვეტი, ამიტომ მისი რიგი ერთი ოთხია, ასე რომ ეწოდება ხაზის მატრიცა ბ_1x4.

მატრიქს C- ს აქვს სამი მწკრივი და ერთი სვეტი და ასე ეწოდება მას სვეტის მატრიცა და მისი თანმიმდევრობა არის ერთი თითო → C_3x1

ზოგადად შეგვიძლია წარმოვადგინოთ მასივის ელემენტები, ანუ ამ ელემენტის დაწერა შეგვიძლია მათემატიკური გამოსახულების გამოყენებით. ოზოგადი ელემენტი წარმოდგენილი იქნება მცირე ასოებით (a, b, c…), და, როგორც მასივების წარმოდგენაში, მას ასევე აქვს ინდექსი, რომელიც მიუთითებს მის ადგილმდებარეობაზე. პირველი ნომერი მიუთითებს მწკრივში, რომელშიც ელემენტია, ხოლო მეორე რიცხვი მიუთითებს სვეტზე, რომელშიც ის მდებარეობს.

განვიხილოთ შემდეგი მატრიცა A, ჩვენ ჩამოვთვლით მის ელემენტებს.

დავაკვირდეთ პირველ ელემენტს, რომელიც მდებარეობს პირველ რიგში და პირველ სვეტში, ანუ მწკრივში ერთსა და სვეტში, ჩვენ გვაქვს ნომერი 4. წერის გამარტივების მიზნით, მას აღვნიშნავთ:

₁₁ → ერთი ელემენტის სტრიქონი, ერთი სვეტი

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს A მატრიცის შემდეგი ელემენტები_2x3:

₁₁ = 4

₁₂ =16

₁₃ = 25

₂₁ = 81

₂₂ = 100

₂₃ = 9

ზოგადად, მასივის დაწერა შეგვიძლია, როგორც მისი ზოგადი ელემენტების ფუნქცია, ეს არის ზოგადი მატრიცა.

M მწკრივის და n სვეტების მატრიცა წარმოდგენილია:

• მაგალითი

განსაზღვრეთ მატრიცა A = [a_ე.ი. ]_2x2, რომელსაც აქვს შემდეგი ტრენინგის კანონი_ე.ი. = კ² - 2i. განცხადების მონაცემების მიხედვით, ჩვენ გვაქვს, რომ A მატრიცა ორ რიგზეა ორზე, ანუ მას აქვს ორი ხაზი და ორი სვეტი, შესაბამისად:

გარდა ამისა, მოცემულია მატრიცების ფორმირების კანონი, ანუ თითოეული ელემენტი კმაყოფილია მასთან მიმართებით_ე.ი. = კ² - 2i. I და j მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფორმულაში, ჩვენ გვაქვს:

₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

ამიტომ, A მატრიცა არის:

მასივის ტიპები

ზოგიერთი მატრიცა განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს, იხილეთ ახლა ეს მასივების ტიპები მაგალითებით.

• კვადრატული მატრიცა

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც მწკრივების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას. ჩვენ წარმოვადგენთ მატრიცას, რომელსაც აქვს n მწკრივი და n სვეტი A– ს მიერ_არა (იკითხება: n ბრძანების კვადრატული მატრიცა).

კვადრატულ მატრიცებში გვაქვს ორი ძალიან მნიშვნელოვანი ელემენტი დიაგონალები: ძირითადი და მეორადი. მთავარ დიაგონალს ქმნიან ისეთი ელემენტები, რომლებსაც აქვთ თანაბარი ინდექსები, ანუ ეს არის ყველა ელემენტი a_ე.ი. i = j- ით. საშუალო დიაგონალი იქმნება a ელემენტებით_ე.ი. i + j = n +1, სადაც n არის მატრიცული რიგი.

• პირადობის მატრიცა

პირადობის მატრიცა არის კვადრატული მატრიცა, რომელსაც აქვს ყველაშენძირითადი დიაგონალის ელემენტები ტოლია 1-ის და სხვა ელემენტები 0-ის ტოლი, მისი ფორმირების კანონია:

ჩვენ აღვნიშნავთ ამ მატრიცას I- ით, სადაც n არის კვადრატული მატრიცის თანმიმდევრობა, იხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

• ერთეულის მატრიცა

ეს არის ერთი შეკვეთის კვადრატული მატრიცა, ანუ მას აქვს მწკრივი და სვეტი და, შესაბამისად, მხოლოდ ერთი ელემენტი.

A = [-1]_1x1, B = მე₁ = (1)_1x1 და C = || 5 ||_1x1

ეს არის ერთეული მატრიცების მაგალითები, აქცენტი გაკეთებულია B მატრიცაზე, რომელიც არის a ერთეულის პირადობის მატრიცა.

• ნულოვანი მატრიცა

მასივი ნულოვანია, თუ მისი ყველა ელემენტი ნულის ტოლია. ჩვენ წარმოვადგენთ m ბრძანების null მატრიცას n– ით O– ით_mxn.

მატრიცა O ნულოვანია 4 რიგისა.

• საპირისპირო მატრიცა

განვიხილოთ ორი თანაბარი რიგის მატრიცა: A = [a_ე.ი.]_mxn და B = [ბ_ე.ი.]_mxn. ამ მატრიცებს ეწოდება საპირისპირო, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ_ე.ი. = -ბ_ე.ი.. ამრიგად, შესაბამისი ელემენტები უნდა იყოს საპირისპირო რიცხვები.

ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ მატრიცა B = -A.

• გადატანილი მატრიცა

ორი მატრიცა A = [a_ე.ი.]_mxn და B = [ბ_ე.ი.]_nxm ისინი არიან გადატანილი თუ და მხოლოდ მაშინ,_ე.ი. = ბ_ჯი , ანუ მოცემულია A მატრიცა, მისი ტრანსპოზიციის მოსაძებნად, უბრალოდ მიიღეთ სტრიქონები სვეტებად.

A მატრიცის ტრანსპოზიცია აღინიშნება A- ით^თ. იხილეთ მაგალითი:

Მეტის ნახვა: შებრუნებული მატრიცა: რა არის ეს და როგორ უნდა გადამოწმდეს

მატრიცული ოპერაციები

N x m მატრიცის ზოგადი წარმოდგენა.

მატრიცების სიმრავლეს აქვს aძალიან კარგად განსაზღვრული შეკრება და გამრავლება, ანუ, როდესაც ჩვენ ვმოქმედებთ ორ ან მეტ მატრიცს, ოპერაციის შედეგი მაინც ეკუთვნის მატრიცების სიმრავლეს. ამასთან, რაც შეეხება გამოკლების ოპერაციას? ჩვენ გვესმის, რომ ეს ოპერაცია არის დამატების საპირისპირო (საპირისპირო მატრიცა), რომელიც ასევე ძალიან კარგად არის განსაზღვრული.

ოპერაციების განსაზღვრის წინ მოდით გავიგოთ იდეები შესაბამისი ელემენტი და მატრიცების თანასწორობა. შესაბამისი ელემენტებია ისეთები, რომლებიც ერთსა და იმავე პოზიციას იკავებენ სხვადასხვა მატრიცებში, ანუ ისინი განლაგებულია იმავე მწკრივსა და სვეტში. ცხადია, მასივები უნდა იყოს ერთი და იგივე რიგის შესატყვისი ელემენტების არსებობისათვის. შეხედე:

14 და -14 ელემენტები არის A და B საპირისპირო მატრიცების შესაბამისი ელემენტები, რადგან ისინი ერთსა და იმავე პოზიციას იკავებენ (იგივე მწკრივი და სვეტი).

ორი მატრიცა თანაბარია, თუ მხოლოდ და მხოლოდ შესაბამისი ელემენტების ტოლია. ამრიგად, მოცემულია მატრიცები A = [a_ე.ი.]_mxn და B = [ბ_ე.ი.]_mxn, ეს იგივე იქნება, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ_ე.ი. = ბ_ე.ი. ნებისმიერი ი ჯ.

• მაგალითი

იმის ცოდნა, რომ A და B მატრიკები ტოლია, განსაზღვრეთ x და t მნიშვნელობები.

მას შემდეგ, რაც მატრიცა A და B ტოლია, შესაბამისად, შესაბამისი ელემენტები უნდა იყოს ტოლი, ამიტომ:

x = -1 და t = 1

• მატრიცების შეკრება და გამოკლება

ოპერაციები მატრიცებს შორის შეკრება და გამოკლება ისინი საკმაოდ ინტუიციურია, მაგრამ ჯერ პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს. ამ ოპერაციების შესასრულებლად, პირველ რიგში, საჭიროა იმის შემოწმება, რომ მასივის ბრძანებები ტოლია.

ამ პირობის შემოწმების შემდეგ მატრიცის შეკრება და გამოკლება ხდება მატრიცების შესაბამისი ელემენტების დამატებით ან გამოკლებით. განვიხილოთ მატრიცა A = [a_ე.ი.]_mxn და B = [ბ_ე.ი.]_mxnშემდეგ:

A + B = [ა_ე.ი. + ბ_ე.ი.] _mxn

A - B = [ა_ე.ი. - ბ_ე.ი.] _mxn

• მაგალითი

განვიხილოთ A და B მატრიზები ქვემოთ, განვსაზღვროთ A + B და A - B.

წაიკითხე შენც: მთელი რიგი ოპერაციები

• რეალური რიცხვის გამრავლება მატრიცაზე

მატრიცაში რეალური რიცხვის გამრავლება (აგრეთვე ცნობილი როგორც მატრიცის გამრავლება) სკალარზე მოცემულია მატრიცის თითოეული ელემენტის სკალარზე გამრავლებით.

მოდით A = [a_ე.ი.]_mxn მატრიცა და t რეალური რიცხვი, ასე რომ:

t · A = [t · a_ე.ი.]_mxn

იხილეთ მაგალითი:

• მატრიცის გამრავლება

მატრიცების გამრავლება ისეთივე ტრივიალური არ არის, როგორც მათი შეკრება და გამოკლება. გამრავლების შესრულებამდე უნდა დაკმაყოფილდეს პირობა მატრიცების თანმიმდევრობასთან დაკავშირებით. განვიხილოთ მატრიცა A_mxn და ბ_nxr

გამრავლების შესასრულებლად, პირველ მატრიცაში სვეტების რაოდენობა უნდა ტოლი იყოს რიგების მეორეში. პროდუქტის მატრიცას (რომელიც მოდის გამრავლებით) აქვს თანმიმდევრობა მოცემულია რიგების რიგში პირველში და სვეტების რიცხვში მეორეში.

A და B მატრიცებს შორის გამრავლების შესასრულებლად, თითოეული მწკრივი უნდა გავამრავლოთ ყველა სვეტზე შემდეგნაირად: პირველი ელემენტი A გამრავლებულია B პირველ ელემენტზე და შემდეგ დაემატება A მეორე ელემენტს და გამრავლებულია B მეორე ელემენტზე და ა.შ. თანმიმდევრულად. იხილეთ მაგალითი:

წაიკითხე შენც: ლაპლასის თეორემა: იცოდეთ როგორ და როდის გამოიყენოთ

სავარჯიშოები მოგვარებულია

კითხვა 1 - (უ. და. ლონდრინა - PR) A და B მატრიზები, შესაბამისად, 3 x 4 და p x q, და თუ A · B მატრიცას აქვს 3 x 5, მაშინ მართალია, რომ:

ა) p = 5 და q = 5

ბ) p = 4 და q = 5

გ) p = 3 და q = 5

დ) p = 3 და q = 4

ე) p = 3 და q = 3

გამოსავალი

ჩვენ გვაქვს განცხადება, რომ:

_3x4 · ბ_pxq = გ_3x5

ორი მატრიცის გამრავლების პირობადან გამომდინარე, გვაქვს პროდუქტი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სვეტების რაოდენობა პირველში ტოლია რიგების რიგის მეორეში, ასე რომ p = 4. და ჩვენ ასევე ვიცით, რომ პროდუქტის მატრიცა მოცემულია რიგების რიცხოვნობით პირველში, სვეტების რაოდენობით მეორეში, ასე რომ q = 5.

ამიტომ, p = 4 და q = 5.

ა: ალტერნატივა ბ

კითხვა 2 - (Vunesp) განსაზღვრეთ x, y და z მნიშვნელობები შემდეგ თანასწორობაზე, რომელშიც ჩართულია 2 x 2 რეალური მატრიცა.

გამოსავალი

მოდით, შევასრულოთ ოპერაციები მასივებს შორის და შემდეგ მათ შორის თანასწორობა.

X, y და z მნიშვნელობების დასადგენად, ჩვენ ამოვხსნით წრფივ სისტემას. თავდაპირველად, დავამატოთ განტოლებები (1) და (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

(3) განტოლებაში ნაპოვნი x მნიშვნელობის ჩანაცვლება, ჩვენ გვაქვს:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

დაბოლოს, x და z მნიშვნელობების ჩანაცვლება (1) ან (2) განტოლებაში, ჩვენ გვაქვს:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

ამიტომ, პრობლემის გადაწყვეტა მოცემულია S = {(2, 0, 2)} - ით.

რობსონ ლუიზის მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი