რიცხვითი თანმიმდევრობა: კლასიფიკაციები, მაგალითები

ა რიცხვების თანმიმდევრობა არის რიგით ორგანიზებული რიცხვების ნაკრები. რიცხვითი თანმიმდევრობა შეიძლება შეიკრიბოს სხვადასხვა კრიტერიუმების გამოყენებით - მაგალითად, ლუწი რიცხვების მიმდევრობა ან 3-ის ჯერადების მიმდევრობა. როდესაც ჩვენ შეგვიძლია აღვწეროთ ეს კრიტერიუმი ფორმულით, ამ ფორმულას ვუწოდებთ რიცხვითი მიმდევრობის ფორმირების კანონს.

წაიკითხეთ ასევე: განსხვავება რიცხვს, ციფრსა და ციფრს შორის

შეჯამება რიცხვითი მიმდევრობის შესახებ

• რიცხვების თანმიმდევრობა არის რიგით დალაგებული რიცხვების სია.

• რიცხვითი თანმიმდევრობა შეიძლება დაიცვას სხვადასხვა კრიტერიუმები.

• რიცხვითი მიმდევრობის გაჩენის კანონი არის ელემენტების სია, რომლებიც არსებობს თანმიმდევრობაში.

• თანმიმდევრობა შეიძლება დაიყოს ორი გზით. ერთი ითვალისწინებს ელემენტების რაოდენობას, ხოლო მეორე ითვალისწინებს ქცევას.

• რაც შეეხება ელემენტების რაოდენობას, თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო.

• რაც შეეხება ქცევას, თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს მზარდი, მუდმივი, კლებადი ან რხევადი.

• როდესაც რიცხვითი მიმდევრობა შეიძლება აღწერილი იყოს განტოლებით, ეს განტოლება ცნობილია, როგორც რიცხვითი მიმდევრობის ფორმირების კანონი.

რა არის თანმიმდევრობა?

თანმიმდევრობა არის გარკვეული თანმიმდევრობით მოწყობილი ელემენტების ნაკრები. ჩვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში, ჩვენ შეგვიძლია აღვიქვათ რამდენიმე სიტუაცია, რომელიც მოიცავს თანმიმდევრობას:

• თვეების თანმიმდევრობა: იანვარი, თებერვალი, მარტი, აპრილი,..., დეკემბერი.

• 21-ე საუკუნის პირველი 5 მსოფლიო ჩემპიონატის წლების თანმიმდევრობა: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.

არსებობს რამდენიმე სხვა შესაძლო თანმიმდევრობა, როგორიცაა სახელის თანმიმდევრობა ან ასაკობრივი თანმიმდევრობა. როდესაც არის დადგენილი წესრიგი, არის თანმიმდევრობა.

მიმდევრობის თითოეული ელემენტი ცნობილია, როგორც მიმდევრობის ტერმინი, ამიტომ მიმდევრობაში არის პირველი წევრი, მეორე წევრი და ა.შ. საერთოდ, თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს წარმოდგენილი:

\((a_1,a_2,a_3,…,a_n)\)

• \(1-მდე\) → პირველი ტერმინი.

• \(a_2\) → მეორე ტერმინი.

• \(a_3\) → მესამე ვადა.

• \(a_n\) → ნებისმიერი ტერმინი.

რიცხვითი მიმდევრობის გაჩენის კანონი

ჩვენ შეგვიძლია გვქონდეს სხვადასხვა ელემენტების თანმიმდევრობა, როგორიცაა თვეები, სახელები, კვირის დღეები და სხვა. ათანმიმდევრობა არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, როდესაც ის მოიცავს რიცხვებს. ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ ლუწი რიცხვების მიმდევრობა, კენტი, მარტივი რიცხვები, 5-ის ჯერადი და ა.შ.

თანმიმდევრობა წარმოდგენილია მოვლენის კანონის გამოყენებით. კლების კანონი სხვა არაფერია, თუ არა რიცხვითი მიმდევრობის ელემენტების ჩამონათვალი.

მაგალითები:

• (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → კენტი რიცხვების თანმიმდევრობა 1-დან 15-მდე.

• (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → რიცხვების თანმიმდევრობა, რომლებიც 5-ის ჯერადი არიან.

• (-1, 1, -1, 1, -1, 1) → მონაცვლეობითი მიმდევრობა 1-სა და -1-ს შორის.

რა არის რიცხვითი მიმდევრობის კლასიფიკაცია?

ჩვენ შეგვიძლია დავახარისხოთ მიმდევრობები ორი განსხვავებული გზით. ერთი მათგანი ითვალისწინებს ელემენტების რაოდენობას, ხოლო მეორე ითვალისწინებს ამ ელემენტების ქცევას.

→ რიცხვითი მიმდევრობის კლასიფიკაცია ელემენტების რაოდენობის მიხედვით

როდესაც ჩვენ ვახარისხებთ მიმდევრობას ელემენტების რაოდენობის მიხედვით, არსებობს ორი შესაძლო კლასიფიკაცია: სასრული და უსასრულო მიმდევრობა.

◦ სასრული რიცხვების მიმდევრობა

მიმდევრობა სასრულია, თუ მას აქვს ელემენტების შეზღუდული რაოდენობა.

მაგალითები:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

• (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

• (-4, -6, -8, -10, -12)

◦ უსასრულო რიცხვთა თანმიმდევრობა

თანმიმდევრობა უსასრულოა, თუ მას აქვს შეუზღუდავი რაოდენობის ელემენტები.

მაგალითები:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)

• (3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)

• ( -1, 2, -4, 8, -16, ...)

→ რიცხვითი მიმდევრობის კლასიფიკაცია მიმდევრობის ქცევის მიხედვით

კლასიფიკაციის სხვა გზა არის თანმიმდევრობის ქცევა. ამ შემთხვევაში, თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს მზარდი, მუდმივი, რხევადი ან კლებადი.

◦ რიცხვთა თანმიმდევრობის გაზრდა

თანმიმდევრობა იზრდება, თუ ტერმინი ყოველთვის აღემატება მის წინამორბედს.

მაგალითები:

• (1, 5, 9, 13, 17, ...)

• (10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)

◦ მუდმივი რიცხვების თანმიმდევრობა

თანმიმდევრობა მუდმივია, როდესაც ყველა ტერმინს აქვს იგივე მნიშვნელობა.

მაგალითები:

• (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

• (-1, -1, -1, -1, -1, ...)

◦ რიცხვების კლებადი თანმიმდევრობა

თანმიმდევრობა მცირდება, თუ თანმიმდევრობის ტერმინები ყოველთვის უფრო მცირეა ვიდრე მათი წინამორბედები.

მაგალითები:

• (-1, -2, -3, -4, -5, ...)

• (19, 16, 13, 10, 8, ...)

◦ რხევითი რიცხვების თანმიმდევრობა

თანმიმდევრობა მერყევია, თუ მონაცვლეობით არის წინამორბედებზე დიდი ტერმინები და წინამორბედებზე მცირე ტერმინები.

მაგალითები:

• (1, -3, 9, -27, 81, ...)

• (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)

რიცხვითი მიმდევრობის ფორმირების კანონი

ზოგიერთ შემთხვევაში, შესაძლებელია თანმიმდევრობის აღწერა ფორმულის გამოყენებითთუმცა ეს ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. მაგალითად, მარტივი რიცხვების თანმიმდევრობა არის კარგად განსაზღვრული მიმდევრობა, თუმცა ფორმულის გამოყენებით მას ვერ აღვწერთ. ფორმულის ცოდნით, ჩვენ შევძელით რიცხვითი მიმდევრობის კლების კანონის აგება.

• მაგალითი 1:

ნულზე მეტი ლუწი რიცხვების მიმდევრობა.

\(a_n=2n\)

გაითვალისწინეთ, რომ შეცვლისას ნ ერთისთვის ბუნებრივი რიცხვი (1, 2, 3, 4, ...), ჩვენ ვიპოვით ლუწი რიცხვს:

\(a_1=2⋅1=2\)

\(a_2=2⋅2=4\)

\(a_3=2⋅3=6\)

\(a_4=2⋅4=8\)

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ფორმულა, რომელიც გამოიმუშავებს ნულზე მეტი ლუწი რიცხვებით ჩამოყალიბებულ მიმდევრობის პირობებს:

(2, 4, 6, 8, ...)

• მაგალითი 2:

4-ზე მეტი ნატურალური რიცხვების მიმდევრობა.

\(a_n=4+n\)

თანმიმდევრობის პირობების გამოანგარიშებით, ჩვენ გვაქვს:

\(a_1=4+1=5\)

\(a_2=4+2=6\)

\(a_3=4+3=7\)

\(a_4=4+4=8\)

შემთხვევის კანონის დაწერა:

(5, 6, 7, 8,…)

იხილეთ ასევე: არითმეტიკული პროგრესია — რიცხვითი მიმდევრობის განსაკუთრებული შემთხვევა

ამოხსნილი სავარჯიშოები რიცხვითი მიმდევრობით

კითხვა 1

ციფრულ მიმდევრობას აქვს ფორმირების კანონი ტოლი \(a_n=n^2+1\). ამ თანმიმდევრობის გაანალიზებისას შეგვიძლია განვაცხადოთ, რომ მიმდევრობის მე-5 წევრის მნიშვნელობა იქნება:

ა) 6

ბ) 10

გ) 11

დ) 25

ე) 26

რეზოლუცია:

ალტერნატივა ე

მიმდევრობის მე-5 წევრის მნიშვნელობის გამოანგარიშებით გვაქვს:

\(a_5=5^2+1\)

\(a_5=25+1\)

\(a_5=26\)

კითხვა 2

გააანალიზეთ შემდეგი რიცხვითი თანმიმდევრობა:

ᲛᲔ. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)

III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ I, II და III მიმდევრობები კლასიფიცირდება შესაბამისად:

ა) მზარდი, რხევადი და კლებადი.

ბ) კლებადი, მზარდი და რხევადი.

გ) რხევადი, მუდმივი და მზარდი.

დ) კლებადი, რხევადი და მუდმივი.

ე) რხევადი, კლებადი და მზარდი.

რეზოლუცია:

ალტერნატივა C

თანმიმდევრობის გაანალიზებისას შეგვიძლია ვთქვათ, რომ:

ᲛᲔ. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

ის რხევადია, რადგან არის ტერმინები, რომლებიც უფრო დიდია, ვიდრე მათი წინამორბედები და ტერმინები, რომლებიც უფრო მცირეა, ვიდრე მათი წინამორბედები.

II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)

ის მუდმივია, რადგან თანმიმდევრობის პირობები ყოველთვის ერთი და იგივეა.

III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

ის იზრდება, რადგან პირობები ყოველთვის უფრო დიდია ვიდრე მათი წინამორბედები.