რაციონალური რიცხვები: რა არის ისინი, თვისებები, მაგალითები

იგი ცნობილია, როგორც ა რაციონალური რიცხვი ყველა ნომერი რომ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შეუქცევადი წილადები. კაცობრიობის ისტორიის განმავლობაში, რიცხვის იდეა თანდათან ვითარდებოდა ადამიანის საჭიროებების შესაბამისად. რიცხვების წარმოდგენამ წილადებში, მაგალითად, ამოხსნა ის პრობლემები, რომლებიც გადაჭრილ იქნა მხოლოდ მთელი რიცხვები.

რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადისგან, ამიტომ არსებობს მთლიანი რიცხვების გარდაქმნის მეთოდები, ათობითი რიცხვები წილადებში ზუსტი და პერიოდული ათწილადი.

წაიკითხეთ ასევე: ოპერაციები ფრაქციებით - როგორ ამოვხსნათ?

რა არის რაციონალური რიცხვები?

რაციონალური რიცხვებია მთლიანი რიცხვების სიმრავლის გაფართოება, შემდეგ, მთლიანი რიცხვების გარდა, დაემატა ყველა წილადები. ო დადგენილი რაციონალური რიცხვები წარმოდგენილია:

ამ წარმომადგენლობაში ნათქვამია, რომ რიცხვი რაციონალურია, თუ ის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც წილადი დაახლოებით ბ, ისეთივე როგორც მთელი რიცხვია და ბ არის ნულოვანი მთელი რიცხვი. თუ რაციონალური რიცხვები ნაკლებად მკაცრად უნდა განვსაზღვროთ, შეგვიძლია ვთქვათ შემდეგი:

რაციონალური რიცხვები არის ყველა რიცხვი, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით.

შეხვდით ამ განმარტებას:

• შენ მთელი რიცხვებიs, მაგალითად: -10, 7, 0;

• შენ ზუსტი ათობითი რიცხვები, მაგალითად: 1.25; 0,1; 3,1415;

• საათზე მარტივი პერიოდული მეათედი, მაგალითად: 1.424242;

• საათზე რთული პერიოდული მეათე, მაგალითად: 1.0288888

არა რაციონალური რიცხვებია:

• საათზე არა პერიოდული მეათედი, მაგალითად: 4,1239489201;

• საათზე ფესვებიარ არის ზუსტი, მაგალითად: ;

• ბაყაყიმეზ კვადრატი უარყოფითი რიცხვები, მაგალითად: .

დაკვირვება: არარაციონალური რიცხვების არსებობა იწვევს სხვა სიმრავლეების წარმოქმნას, მაგალითად, ირაციონალური რიცხვები და რთული რიცხვები.

რაციონალური რიცხვების წარმოდგენა

იმის გაგება, რომ წილადი არის a დაყოფა ორი მთლიანი რიცხვისგან, იყოს რაციონალური რიცხვი, თქვენ შეგიძლიათ წარმოადგინოთ ეს რიცხვი, როგორც წილადი. ამიტომ, ზემოთ ჩამოთვლილი თითოეული შემთხვევა, როგორც რაციონალური რიცხვები (მთლიანი რიცხვები, ზუსტი ათწილადები და პერიოდული ათწილადები), შეიძლება წილის სახით იყოს წარმოდგენილი.

• მთელი რიცხვები

არსებობს უსასრულო შესაძლებლობები მთელი რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენისთვის, რადგან ფრაქცია შეიძლება წარმოდგენილ იქნას შეუმცირებელი ფორმით თუ არა.

მაგალითები:

• ზუსტი ათწილადი

ზუსტი ათობითი რიცხვის გადაქცევა წილადი, ჩვენ ჩავთვლით მის ათობითი ნაწილში რიცხვების რაოდენობას, ანუ ათობითი წერტილის შემდეგ. თუ მძიმის შემდეგ არის რიცხვი, ჩვენ დავწერთ მთელ ნაწილს პლუს ათობითი ნაწილისა, 10-ზე მეტი მძიმის გარეშე. თუ ათობითი ნაწილში არის 100 რიცხვიდან მეტი ორი რიცხვი, პრაქტიკაში, ათობითი ნაწილის რიცხვი იქნება ნულის რაოდენობა, რომელიც ჩვენ გვაქვს მნიშვნელში. იხილეთ მაგალითი:

• პერიოდული მეათედი

მეათედის წილადური წარმოდგენის პოვნა ყოველთვის ადვილი საქმე არ არის, რასაც ჩვენ ვუწოდებთ წარმოქმნის წილადს. ამ სამუშაოს ხელშესაწყობად დაფიქსირდა, რომ განტოლებაში, რომელსაც გამოვყოფდით წარმომქმნელ წილადს, არის ისეთი კანონზომიერებები, რაც პრაქტიკული მეთოდის შემუშავების საშუალებას იძლევა.

პირველ რიგში, უნდა გვესმოდეს, რომ არსებობს პერიოდული მეათედის ორი ტიპი, მარტივი და რთული. ერთი მეათედი მარტივია თუ მის ათობითი ნაწილში არის მხოლოდ ის ნაწილი, რომელიც მეორდება, ანუ პერიოდი. ერთი მეათედი რთული თუ მის ათობითი ნაწილში არის არა პერიოდული ნაწილი.

მაგალითი:

9,323232… → მარტივი პერიოდული ათობითი
მთელი ნაწილი უდრის 9-ს.
პერიოდი 32-ის ტოლია.

8,7151515… → რთული პერიოდული მეათედი
მთელი ნაწილი უდრის 8-ს.
არა პერიოდული ათობითი ნაწილი ტოლია 7.
პერიოდი უდრის 15-ს.

იხილეთ აგრეთვე: ეკვივალენტური წილადები - წილადები, რომლებიც ერთნაირ რაოდენობას წარმოადგენს

→ 1-ლი შემთხვევა: მარტივი პერიოდული ათობითი ნაწილის წარმოქმნა

პირველ შემთხვევაში, რომ გადააქციე უბრალო პერიოდული ათწილადი წილადებად პრაქტიკული მეთოდით, უბრალოდ დაწერეთ მთლიანი ნაწილი პლუს პერიოდი მძიმის გარეშე მრიცხველში. მნიშვნელში, პერიოდული ნაწილის თითოეული ელემენტისთვის, ვამატებთ 9-ს.

მაგალითი:

9.323232 The -ის წარმომქმნელ წილადს, როგორც ვნახეთ, 32-ის ტოლი პერიოდი აქვს, ანუ თავის პერიოდში ორი რიცხვია, ამიტომ მნიშვნელი არის 99. მთელი ნაწილი პლუს პერიოდული ნაწილი მძიმის გარეშე არის 932, რაც მრიცხველია. ამ მეათედის წარმომქმნელი ფრაქციაა:

→ მე -2 შემთხვევა: კომპოზიტური პერიოდული ათობითი ნაწილის წარმოქმნა

პერიოდული კომპოზიტური მეათედი ოდნავ შრომატევადია. მოდით, მაგალითში ვიპოვოთ მეათედის გამომუშავების წილი.

8,7151515… → რთული პერიოდული ათობითი.

მთელი ნაწილი უდრის 8-ს.

არა პერიოდული ათობითი ნაწილი ტოლია 7.

პერიოდის ათობითი ნაწილი უდრის 15-ს.

მრიცხველი იქნება გამოკლება 8715 - 87, ანუ სხვაობა იმ რიცხვს შორის, რომელიც გადადის მე -10 ნაწილის მთლიანი ნაწილიდან პერიოდულ ნაწილთან.

მრიცხველი უდრის 8715 - 87 = 8628.

მნიშვნელის მოსაძებნად მოდით, გავაანალიზოთ ათობითი ნაწილი. პირველ რიგში ვნახოთ არა პერიოდული და პერიოდული ათობითი ნაწილი. ამ შემთხვევაში, რიცხვის ათობითი ნაწილია 715. პერიოდულ ნაწილში მყოფი თითოეული რიცხვისთვის დავამატოთ a 9 მნიშვნელის დასაწყისში. რადგან ამ შემთხვევაში პერიოდულ ნაწილს ორი რიცხვი აქვს (15), მნიშვნელში ორი 9 იქნება. ათობითი ნაწილის თითოეული რიცხვისთვის, რომელიც არ არის პერიოდული, ჩვენ დავამატებთ a 0 მნიშვნელის ბოლოს, რომელიც იქნება 990.

მალე, წარმოქმნის წილადს მეათედი იქნება:

რაციონალური რიცხვები არის ყველა ის რიცხვი, რომელთა გამოსახვა შესაძლებელია წილადით.

რაციონალური რიცხვების თვისებები

• ორ რაციონალურ რიცხვს შორის ყოველთვის იქნება სხვა რაციონალური რიცხვი

საინტერესოა ვიფიქროთ ამ საკუთრებაზე, რომელზეც ბევრს განიხილავდნენ ძველი ხალხი, გახდა პარადოქსი. ორი რაციონალური რიცხვის არჩევით, მათ შორის ყოველთვის იქნება რიცხვი.

მაგალითი:

1-დან 2-ს შორის არის 1,5; 1-დან 1.5-მდე, არის 1.25; 1-სა და 1.25-ს შორის არის 1.125 და ა.შ. რამდენადაც მე ვირჩევთ ორ რაციონალურ რიცხვს, რომელთა შორის ძალიან მცირე განსხვავებაა, მათ შორის ყოველთვის შესაძლებელია რაციონალური რიცხვის პოვნა. ეს თვისება ქმნის შეუძლებელია რაციონალური რიცხვებით განისაზღვროს მემკვიდრე და წინამორბედი.

• რაციონალური რიცხვების სიმრავლეზე ოთხი ოპერაცია დახურულია

ჩვენ ვამბობთ, რომ კომპლექტი დახურულია ჯამიმაგალითად, თუ ორი რაციონალური რიცხვის ჯამი ყოველთვის წარმოშობს სხვა რაციონალურ რიცხვს, როგორც პასუხი. ეს ხდება Q– ზე ჩატარებული ოთხი ოპერაციის დროს.

შეკრება, გამოკლება, გაყოფა და გამრავლება ორ რაციონალურ რიცხვს შორის ყოველთვის გამოიწვევს რაციონალურ რიცხვს. სინამდვილეში, თუნდაც პოტენციალიზაცია რაციონალური რიცხვი ყოველთვის გამოიმუშავებს რაციონალურ რიცხვს საპასუხოდ.

რაციონალური რიცხვების სიმრავლე არ არის დახურული გამოსხივება. ამრიგად, მრადგან 2 რაციონალური რიცხვია, 2 – ის კვადრატული ფესვი არის a ირაციონალური ნომერი.

იხილეთ აგრეთვე: ეკვივალენტური წილადები - წილადები, რომლებიც ერთნაირ რაოდენობას წარმოადგენს

რაციონალური რიცხვების ქვეჯგუფები

ჩვენ ვიცით როგორ ქვეჯგუფები ან ინკლუზიის მიმართებაა ელემენტებით ჩამოყალიბებული სიმრავლეები, რომლებიც მიეკუთვნებიან რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს. არსებობს რამდენიმე შესაძლო ქვეჯგუფი, როგორც მთელი რიცხვების სიმრავლე ან ბუნებრივი, რადგან ყველა მთელი რიცხვი რაციონალურია, ისევე როგორც ყოველი ბუნებრივი რიცხვი რაციონალურია.

მთელი და ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლეები შეიცავს რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს.

მაგალითი:

მთელი რიცხვების სიმრავლე: Z = {… -3, -2, -1, 0.1, 2, 3,}.

როდესაც ეს მოხდება, ჩვენ ამას ვამბობთ Z ⸦ Q (მასში ნათქვამია: Z შეიცავს Q- ს ან მთელი რიცხვების სიმრავლე შეიცავს რაციონალურ რიცხვებს.)

არსებობს რამოდენიმე სიმბოლო, რომელიც არსებითია Q- ს ქვეგანყოფილების შესაქმნელად, ესენია: +, - და *, რაც ნიშნავს, შესაბამისად, დადებითს, უარყოფითს და არა-ნულს.

მაგალითები:

Q * → (ნათქვამია: არა ნულოვანი რაციონალური რიცხვების ნაკრები.)

Q₊ → (ნათქვამია: პოზიტიური რაციონალური რიცხვების ნაკრები.)

Q_- → (ნათქვამია: უარყოფითი რაციონალური რიცხვების ნაკრები.)

Q^*₊ → (ნათქვამია: პოზიტიური და არა ნულოვანი რაციონალური რიცხვების ნაკრები.)

Q^*_- → (ნათქვამია: უარყოფითი და არა ნულოვანი რაციონალური რიცხვების ნაკრები.)

გაითვალისწინეთ, რომ ყველა ეს სიმრავლე წარმოადგენს Q ქვეჯგუფს, რადგან ყველა ელემენტი ეკუთვნის რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს. წარმოდგენილი სიმრავლეების გარდა, ჩვენ შეგვიძლია ვიმუშაოთ Q– ს რამდენიმე ქვეჯგუფთან, მაგალითად, კენტი რიცხვებით ჩამოყალიბებული სიმრავლე, ან ბიძაშვილები, ან წყვილები, საბოლოოდ, არსებობს ქვეჯგუფების რამდენიმე და რამდენიმე შესაძლებლობა.

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm