სფერული ქუდი: რა არის ეს, ელემენტები, ფართობი, მოცულობა

ა სფერული ქუდი და გეომეტრიული მყარი მიიღება, როდესაც სფეროს კვეთს თვითმფრინავი, ყოფს მას ორ გეომეტრიულ მყარად. სფერული ქუდი ითვლება მრგვალ სხეულად, რადგან სფეროს მსგავსად მას აქვს მომრგვალებული ფორმა. სფერული ქუდის ფართობისა და მოცულობის გამოსათვლელად ვიყენებთ კონკრეტულ ფორმულებს.

წაიკითხეთ ასევე: კონუსის ღერო - გეომეტრიული მყარი ნაწილი, რომელიც წარმოიქმნება კონუსის ფსკერის მიერ, როდესაც კეთდება ფუძის პარალელურად მონაკვეთი.

რეზიუმე სფერული ქუდის შესახებ

• სფერული ქუდი არის გეომეტრიული მყარი, რომელიც მიიღება, როდესაც სფერო იყოფა სიბრტყეზე.
• სფერული ქუდის ძირითადი ელემენტებია სფეროს რადიუსი, სფერული ქუდის რადიუსი და სფერული ქუდის სიმაღლე.
• სფერული ქუდი არ არის პოლიედონი, არამედ მრგვალი სხეული.
• თუ თვითმფრინავი ყოფს სფეროს შუაზე, სფერული ქუდი ქმნის ნახევარსფეროს.
• შესაძლებელია სფერული ქუდის რადიუსის გამოთვლა პითაგორას თეორემის გამოყენებით, რომელიც ორგანიზებულია შემდეგნაირად:

\(\მარცხნივ (R-h\მარჯვნივ)^2+r^2=R^2\)

• სფერული ქუდის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

\(A=2\pi rh\\)

• სფერული ქუდის მოცულობა შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\მარცხნივ (3r-h\მარჯვნივ)\)

რა არის სფერული ქუდი?

სფერული ქუდი არის გეომეტრიული მყარი მიღებული, როდესაც მონაკვეთი ბურთი საერთო ბინა. როდესაც სფეროს სიბრტყით ვჭრით, ამ სფეროს ვყოფთ ორ სფერულ თავსახურად. როდესაც სფეროს შუაზე ვყოფთ, სფერულ თავსახურს ეწოდება ნახევარსფერო.

სფერული ქუდის ელემენტები

სფერულ თავსახურში ძირითადი ელემენტებია სფეროს რადიუსი, სფერული ქუდის რადიუსი და სფერული ქუდის სიმაღლე.

• R → სფეროს რადიუსი.
• r → სფერული ქუდის რადიუსი.
• თ → სფერული ქუდის სიმაღლე.

სფერული ქუდი პოლიედონია თუ მრგვალი სხეული?

ჩვენ ვხედავთ, რომ ქუდი არის გეომეტრიული მყარი. რადგან მას აქვს წრიული ბაზა და მომრგვალებული ზედაპირი, სფერული ქუდი ითვლება ა მრგვალი სხეული, რომელიც ასევე ცნობილია როგორც რევოლუციის მყარი. აღსანიშნავია, რომ მრავალწახნაგოვანი აქვს ჩამოყალიბებული სახეები მრავალკუთხედები, რაც არ არის სფერული ქუდის შემთხვევაში, რომელსაც აქვს ფუძე ჩამოყალიბებული ა წრე.

როგორ გამოვთვალოთ სფერული ქუდის რადიუსი?

სფერული ქუდის რადიუსის სიგრძის გამოსათვლელად, აუცილებელია ვიცოდეთ სფერული ქუდის h სიმაღლის სიგრძე და სფეროს R რადიუსის სიგრძე., რადგან, როგორც შემდეგ სურათზე ვხედავთ, არსებობს პითაგორას ურთიერთობა.

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ გვაქვს ა მართკუთხა სამკუთხედი, სამკუთხედი OO'B, ჰიპოტენუზით, რომელიც ზომავს R-ს და ფეხები - R - h და r. გამოყენება პითაგორას თეორემა, Ჩვენ უნდა:

\(\მარცხნივ (R-h\მარჯვნივ)^2+r^2=R^2\)

მაგალითი:

რა არის სფერული ქუდის რადიუსი, რომელსაც აქვს 2 სმ სიმაღლე, იმის გათვალისწინებით, რომ სფეროს რადიუსი არის 5 სმ?

რეზოლუცია:

პითაგორას მიმართების გამოყენება:

\(\მარცხნივ (R-h\მარჯვნივ)^2+r^2=R^2\)

\(\მარცხნივ (5-2\მარჯვნივ)^2+r^2=5^2\)

\(3^2+r^2=25\)

\(9+r^2=25\)

\(r^2=25-9\)

\(r^2=16\)

\(r=\sqrt{16}\)

\(r=4\)

როგორ გამოვთვალოთ სფერული ქუდის ფართობი?

სფერული ქუდის ფართობის გამოსათვლელად, აუცილებელია ვიცოდეთ სფეროს R რადიუსის სიგრძისა და ქუდის h სიმაღლის გაზომვა.. ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად გამოყენებული ფორმულა არის:

\(A=2\pi Rh\)

• R → სფეროს რადიუსი.
• თ → სფერული ქუდის სიმაღლე.

მაგალითი:

სფერული ქუდი მიიღეს სფეროდან, რომელსაც აქვს რადიუსი 6 სმ და სიმაღლე 4 სმ. რა არის ამ სფერული ქუდის ზედაპირის ფართობი?

რეზოლუცია:

სფერული ქუდის ფართობის გამოანგარიშებით, ჩვენ გვაქვს:

\(A=2\pi Rh\)

\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)

\(A=48\pi\ სმ^2\)

როგორ გამოვთვალოთ სფერული ქუდის მოცულობა?

სფერული ქუდის მოცულობა შეიძლება გამოითვალოს ორი გზით. პირველი ფორმულა დამოკიდებულია სფეროს R რადიუსზე და სიმაღლეზე h:

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\მარცხნივ (3 R-h\მარჯვნივ)\)

მაგალითი:

რამდენია 8 სმ რადიუსის სფეროდან მიღებული სფერული ქუდის მოცულობა, რომლის სფერული ქუდის სიმაღლე 6 სმ-ია?

რეზოლუცია:

რადგან ჩვენ ვიცით R და h-ის მნიშვნელობა, გამოვიყენებთ პირველ ფორმულას.

R = 8

სთ = 6

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\მარცხნივ (3 R-h\მარჯვნივ)\)

\(V=\frac{\pi6^2}{3}\მარცხნივ (3\cdot8-6\მარჯვნივ)\)

\(V=\frac{36\pi}{3}\მარცხნივ (24-6\მარჯვნივ)\)

\(V=12\pi\მარცხნივ (18\მარჯვნივ)\)

\(V=216\pi\ სმ^3\)

სხვა სფერული ქუდის მოცულობის ფორმულა ითვალისწინებს სფერული თავსახურის რადიუსს r და ქუდის სიმაღლეს h:

\(V=\frac{\pi h}{6}\მარცხნივ (3r^2+h^2\მარჯვნივ)\)

მაგალითი:

რა არის სფერული ქუდის მოცულობა, რომლის რადიუსია 10 სმ და სიმაღლე 4 სმ?

რეზოლუცია:

ამ შემთხვევაში გვაქვს r = 10 სმ და h = 4 სმ. როგორც ვიცით სფერული ქუდის რადიუსისა და სიმაღლის მნიშვნელობა, გამოვიყენებთ მეორე ფორმულას:

\(V=\frac{\pi h}{6}\მარცხნივ (3r^2+h^2\მარჯვნივ)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\მარცხნივ (3{\cdot10}^2+4^2\მარჯვნივ)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\მარცხნივ (3\cdot100+16\მარჯვნივ)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\მარცხნივ (300+16\მარჯვნივ)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\მარცხნივ (316\მარჯვნივ)\)

\(V=\frac{1264\pi}{6}\)

\(V\დაახლოებით 210.7\\pi\ სმ³\)

იხილეთ ასევე: პირამიდის ღერო - გეომეტრიული მყარი, რომელიც წარმოიქმნება პირამიდის ფსკერის მიერ, როდესაც კვეთს კვეთს

ამოჭრილი სავარჯიშოები სფერულ ქუდზე

კითხვა 1

(Enem) საბავშვო წვეულების მაგიდის გასაფორმებლად შეფ-მზარეული გამოიყენებს 10 სმ დიამეტრის სფერულ ნესვს, რომელიც საყრდენი იქნება სხვადასხვა ტკბილეულის შამფურში. ის ნესვიდან ამოიღებს სფერულ თავსახურს, როგორც ეს ფიგურაშია ნაჩვენები და ამ საყრდენის სტაბილურობის გარანტიას, რაც ართულებს ნესვს მაგიდაზე გადახვევას, შეფ-მზარეული დაჭრის ისე, რომ წრიული ჭრის მონაკვეთის r რადიუსი იყოს მინიმუმ მინუს 3 სმ. მეორეს მხრივ, უფროსს სურს ჰქონდეს რაც შეიძლება მეტი ტერიტორია რეგიონში, სადაც განთავსდება ტკბილეული.

იმისათვის, რომ მიაღწიოს ყველა მიზანს, შეფმა უნდა მოაჭრას ნესვის ზედა ნაწილი h სიმაღლეზე, სანტიმეტრებში, ტოლი

ა) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)

ბ)\(10-\sqrt{91}\)

გ) 1

დ) 4

ე) 5

რეზოლუცია:

ალტერნატივა C

ჩვენ ვიცით, რომ სფეროს დიამეტრი 10 სმ-ია, ამიტომ მისი რადიუსი არის 5 სმ, ანუ OB = 5 სმ.

თუ მონაკვეთის რადიუსი არის ზუსტად 3 სმ, გვაქვს:

AO² +AB² = OB²

AO² + 3² = 5²

AO² + 9 = 25

AO² = 25 - 9

AO² = 16

AO = \(\sqrt{16}\)

AO = 4 სმ

ამიტომ:

სთ + 4 = 5

სთ = 5 – 4

სთ = 1

კითხვა 2

სფერულ თავსახურს აქვს 144π სმ² ფართობი. იმის ცოდნა, რომ მას აქვს 9 სმ რადიუსი, ამ სფერული ქუდის სიმაღლეა:

ა) 8 სმ

ბ) 10 სმ

გ) 14 სმ

დ) 16 სმ

ე) 22 სმ

რეზოლუცია:

ალტერნატივა ა

ჩვენ ვიცით, რომ:

\(A=2\pi Rh\)

\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)

\(144\pi=18\pi h\)

\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)

\(8=სთ\)

სიმაღლე 8 სმ.

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm