გამოთვალეთ ფაქტორული რიცხვს მხოლოდ მაშინ აქვს აზრი, როდესაც ბუნებრივ რიცხვებთან ვმუშაობთ. ეს ოპერაცია საკმაოდ ხშირია კომბინატორული ანალიზიღონისძიებების, პერმუტაციების, კომბინაციების და თვლასთან დაკავშირებული სხვა პრობლემების გაანგარიშების ხელშეწყობა. ფაქტორიალია წარმოდგენილია სიმბოლოთი "!". ჩვენ მას განვსაზღვრავთ, როგორც n! (n ფაქტორული) to n- ის გამრავლება ყველა მისი წინამორბედით სანამ 1-ს მიაღწევ. არა! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
წაიკითხეთ ასევე: დათვლის ფუნდამენტური პრინციპი - კომბინატორული ანალიზის ძირითადი კონცეფცია
რა არის ფაქტორიალური?
ფაქტორიალი არის ძალიან მნიშვნელოვანი ოპერაცია კომბინატორული ანალიზის შესწავლისა და განვითარებისათვის. მათემატიკაში რიცხვი მოყვება ძახილის სიმბოლო (!) ცნობილია როგორც ფაქტორიალური, მაგალითად x! (x ფაქტორიალური).
ჩვენ ვიცით, როგორც a ფაქტორი ბუნებრივი რიცხვი ამ რიცხვის გამრავლება მის წინამორბედებზე, ნულის გარდა, ანუ:
არა! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
აღსანიშნავია, რომ ამ ოპერაციის აზრი, n არის ბუნებრივი რიცხვი, ანუ, ჩვენ არ გამოვთვლით უარყოფითი რიცხვის, ან თუნდაც ათობითი რიცხვის ან წილადების ფაქტორიალს.
ფაქტორული გაანგარიშება
რიცხვის ფაქტორიალის მოსაძებნად, გამოთვალეთ პროდუქტი. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ფაქტორიალი არის ოპერაცია, რომელიც როდის გაზრდის n მნიშვნელობას, შედეგი ასევე მნიშვნელოვნად გაიზრდება.
მაგალითები:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
განმარტებით, ჩვენ გვაქვს:
0! = 1
1! = 1
ფაქტორული ოპერაციები
ფაქტორული ოპერაციების გადასაჭრელად მნიშვნელოვანია ფრთხილად იყოთ, რომ არ დაუშვათ შეცდომები. როდესაც ორი ფაქტორის დამატება, გამოკლება ან გამრავლება ვაპირებთ, აუცილებელია თითოეული მათგანის ცალკე გამოთვლა. მხოლოდ განყოფილებას აქვს გამარტივების განხორციელების კონკრეტული გზები. არ დაუშვათ შეცდომა ოპერაციის შესრულებისას და ფაქტორიანის შენარჩუნება, ან შეკრებისა და გამოკლებისთვის ან გამრავლებისთვის.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
ამ ოპერაციების გადაჭრისას უნდა გამოვთვალოთ თითოეული ფაქტორი.
მაგალითები:
ა) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
ბ) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
გ) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
იხილეთ აგრეთვე: როგორ ამოვხსნათ განტოლება ფაქტორიალთან?
ფაქტორული გამარტივება
დაყოფა საკმაოდ განმეორებადია. ფორმულებში კომბინაცია, განლაგება და განმეორებით განმეორება, ჩვენ ყოველთვის მივმართავთ გამარტივებას ფაქტორული პრობლემების გადასაჭრელად. ამისათვის მოდით რამდენიმე ნაბიჯს გაჰყვეთ.
მაგალითი:
პირველი ნაბიჯი: განვსაზღვროთ ყველაზე დიდი ფაქტორიალები - ამ შემთხვევაში, ეს არის 8! ახლა, მნიშვნელის ანალიზით, რომელიც არის 5!, მოდით დავწეროთ 8-ის გამრავლება მისი წინამორბედებით, სანამ 5-ზე არ მივალთ !.
N რიცხვის ფაქტორიალი, ანუ n!, შეიძლება დაიწეროს, როგორც n- ის k გამრავლება!. ამრიგად,
არა! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, მოდით გადავწეროთ 8! როგორც გამრავლება 8-დან 5-მდე !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
მოდით, გადავწეროთ მიზეზი, როგორც:
მე -2 ნაბიჯი: გადატვირთვის შემდეგ მიზეზი, შესაძლებელია მრიცხველის გამარტივება მნიშვნელთან, 5 – დან! ის არის მრიცხველშიც და მნიშვნელობაშიც. გამარტივების შემდეგ უბრალოდ განახორციელეთ გამრავლება.
მაგალითი 2:
კომბინატორიული და ფაქტორული ანალიზი
შესრულებისას კომბინატორული ანალიზის შემდგომი შესწავლა, ყოველთვის გამოჩნდება რიცხვის ფაქტორი. კომბინატორული ანალიზის ძირითადი ჯგუფები, რომლებიც არის პერმუტაცია, კომბინაცია და განლაგება, იყენებენ რიცხვის ფაქტორიალს თავიანთ ფორმულებში.
პერმუტაცია
ჩანაცვლება და სიმრავლის ყველა ელემენტის გადალაგება. პერმუტაციის გამოსათვლელად მივმართავთ ფაქტორიალს, რადგან n ელემენტის პერმუტაცია გამოითვლება:
პარა = ნ!
მაგალითი:
Რამდენი ანაგრამები შეგვიძლია ავაშენოთ სახელით HEITOR?
ეს არის ტიპიური პერმუტაციის პრობლემა. ვინაიდან სახელში არის 6 ასო, შესაძლო ანაგრამების რაოდენობის გამოსათვლელად, უბრალოდ გამოთვალეთ P6.
პ6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
აგრეთვე წვდომა: პერმუტაცია განმეორებითი ელემენტებით: როგორ გადავჭრათ იგი?
შეთანხმებები
გამოთვალეთ შეთანხმებები იგი ასევე მოითხოვს რიცხვის ფაქტორიალის ათვისებას. განლაგება, ისევე როგორც პერმუტაცია, წარმოადგენს შეცვლის ფორმირებას. განსხვავება ისაა, არანჟირებაში, ჩვენ ვდგენთ რიგის ნაწილს, ეს არის ის, რომ ჩვენ გვინდა ვიცოდეთ, რამდენი შესაძლო განლაგების შეგვიძლია შევქმნათ k ერთეულის რაოდენობის არჩევით დადგენილი n ელემენტებით.
მაგალითი:
კომპანიაში დაწესებულების მართვის 6 კანდიდატია, ხოლო ორი შეირჩევა დირექტორისა და დირექტორის მოადგილის თანამდებობებზე. იმის ცოდნა, რომ ისინი აირჩევიან ხმის მიცემით, რამდენი შესაძლო შედეგია?
ამ შემთხვევაში, ჩვენ გამოვთვლით 2 – დან 2 – ზე აყვანილი 6 – ის მოწყობას, რადგან ორი ვაკანსიაზე 6 კანდიდატია.
კომბინაცია
კომბინაციაში, ისევე როგორც სხვაში, საჭიროა რიცხვის ფაქტორიალის ათვისება. ჩვენ განვსაზღვრავთ, როგორც კომბინაცია შენ ნაკრების ქვეჯგუფები. განსხვავება იმაშია, რომ კომბინაციაში არ ხდება შეცვლა, რადგან შეკვეთა არ არის მნიშვნელოვანი. ასე რომ, ჩვენ გამოვთვლით, თუ რამდენი ქვეჯგუფი k ელემენტებით შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ n ელემენტების ნაკრებში.
მაგალითი:
აირჩევა 3 სტუდენტისგან შემდგარი კომიტეტი, რომელიც წარმოადგენს კლასს. იმის ცოდნა, რომ 5 კანდიდატია, რამდენი კომისია შეიძლება შეიქმნას?
წაიკითხეთ ასევე: არანჟირება თუ კომბინაცია?
სავარჯიშოები მოგვარებულია
Კითხვა 1 - რიცხვის ფაქტორიალის შესახებ, განსაჯეთ შემდეგი დებულებები.
ᲛᲔ). 0! + 1! = 2
II) 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
ა) მხოლოდ მე ვარ მართალი.
ბ) მხოლოდ II არის მართალი.
გ) მხოლოდ III არის მართალი.
დ) მხოლოდ I და II არის მართალი.
ე) მხოლოდ II და II არის მართალი.
რეზოლუცია
ალტერნატივა ა.
I) მართალია.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) ცრუ.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) ცრუ.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
კითხვა 2 - (UFF) პროდუქტი 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 ექვივალენტურია?
ა) 20: 2
ბ) 2 · 10!
გ) 20: 210
დ) 210· 10!
ე) 20!: 10!
რეზოლუცია
ალტერნატივა დ.
2-დან 20-მდე ყველა ლუწი რიცხვის პროდუქტის გადახედვისას ვიცით, რომ:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გადავწეროთ როგორც 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი