შენ რთული რიცხვები წარმოიქმნება გადაჭრის საჭიროებიდან განტოლებები რომელსაც აქვს უარყოფითი რიცხვის ფუძე, რისი მოგვარებაც მანამდე შეუძლებელი იყო რეალურ ციფრებთან მუშაობით. რთული რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი გზით: ა ალგებრული ფორმა (z = a + bi), შედგება რეალური ნაწილისგან და წარმოსახვითი ნაწილი ბ; გეომეტრიული ფორმა, წარმოდგენილია რთულ თვითმფრინავში, რომელიც ასევე ცნობილია როგორც არგანდ-გაუსის თვითმფრინავი; და შენი ტრიგონომეტრიული ფორმა, ასევე ცნობილია როგორც პოლარული ფორმა. მათი წარმოდგენის საფუძველზე, რადგან ჩვენ ვმუშაობთ რიცხვით სიმრავლესთან, რთულ რიცხვებს აქვთ კარგად განსაზღვრული მოქმედებები: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა და გაძლიერება.
რთულ სიბრტყეში გეომეტრიული წარმოდგენის საშუალებით, ჩვენ ასევე განვსაზღვრავთ მოდულს (რომელსაც წარმოადგენს |ზ|) რთული რიცხვის - რაც არის მანძილი რთული რიცხვის წერტილიდან წარმოშობის წერტილამდე - და რა არის არგუმენტი რთული რიცხვი - ეს არის ჰორიზონტალური ღერძისა და ტრასის შორის წარმოქმნილი კუთხე, რომელიც აკავშირებს წარმოშობას ციფრის წარმომდგენ წერტილთან რთული
რთული რიცხვების საჭიროება
მათემატიკაში, მთელი ისტორიის განმავლობაში, რიცხვითი სიმრავლის ახალი სიმრავლის გაფართოება საკმაოდ ჩვეულებრივი რამ იყო. გამოდის, რომ ამ პროცესში მათემატიკა განვითარდა, შემდეგ კი დროის მოთხოვნილებების დაკმაყოფილება, შეინიშნა, რომ არსებობდა რიცხვები, რომლებიც არ მიეკუთვნებოდნენ იმ რიცხვით სიმრავლეს, რომელსაც ის ეხებოდა. ასე იყო გაჩენისთანავე რიცხვითი სიმრავლეები მთელი რიცხვები, რაციონალები, ირაციონალები და რეალები და სხვა არაფერი იყო, როდესაც საჭირო იყო რეალური რიცხვების სიმრავლის რთული რიცხვების გაფართოება.
როდესაც გადაჭრას ვცდილობთ კვადრატული განტოლებები, საკმაოდ გავრცელებულია, რომ ჩვენ ვხვდებით უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი, რომლის ამოხსნა შეუძლებელია ნამდვილი რიცხვების სიმრავლეში, აქედან გამომდინარეობს რთული რიცხვების საჭიროება. ამ რიცხვების შესწავლის დასაწყისში მონაწილეობდნენ მნიშვნელოვანი მათემატიკოსები, მაგალითად Giralmo Cardono, მაგრამ მათი ნაკრები გაუსმა და არგანდმა დააფორმალეს.
წაიკითხეთ ასევე: რთული რიცხვების ჯამის გეომეტრიული გამოსახვა
რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა
კვადრატული განტოლების ამოხსნისას, როგორიცაა x² = –25, ხშირად ამბობდნენ, რომ ეს არ იყო გადაუჭრელი. ამასთან, ალგებრის გაცემის მცდელობისას, ალგებრული წარმოდგენა, რაც შესაძლებელს ხდის ამ რიცხვებით ოპერაციების შესრულებას, მიუხედავად იმისა, რომ ვერ გამოთვლით უარყოფითი რიცხვის კვადრატულ ფესვს.
ხელი შეუწყოს სიტუაციების მოგვარებას, რომელშიც თქვენ მუშაობთ კვადრატული ფესვი უარყოფითი რიცხვის, წარმოსახვითი ერთეული.
X² = -25 წარმოდგენილი განტოლების გაანალიზებით, გვაქვს:
ამრიგად, განტოლების ამონახსნებია -5მე e5მე.
ალგებრული ფორმის დასადგენად, წერილი მე, ცნობილი როგორც რთული რიცხვის წარმოსახვითი ერთეული. რთული რიცხვი წარმოდგენილია:
z = + ბმე
რაზე და ბ ნამდვილი ციფრებია.
საქართველოს: რეალური ნაწილი, მითითებულია a = Re (z);
ბ: წარმოსახვითი ნაწილი, რომელსაც მიუთითებს Im (z);
მე: წარმოსახვითი ერთეული.
მაგალითები
) 2 + 3მე
ბ) -1 + 4მე
ჩ) 5 – 0,2მე
დ) -1 – 3მე
როდესაც რეალური ნაწილი ნულოვანია, ნომერი ცნობილია როგორც სუფთა წარმოსახვითი, მაგალითად, -5მე და 5მე ისინი სუფთა წარმოსახვები არიან, რადგან მათ რეალური ნაწილი არ აქვთ.
როდესაც წარმოსახვითი ნაწილი ნულოვანია, რთული რიცხვი ასევე რეალური რიცხვია.
ოპერაციები რთული რიცხვებით
ნებისმიერი ციფრული სიმრავლის მსგავსად, ოპერაციებიც უნდა იყოს კარგად განსაზღვრული, შესაბამისად, შესაძლებელია კომპლექსური რიცხვების ოთხი ძირითადი მოქმედების შესრულება წარმოდგენილი ალგებრული ფორმის გათვალისწინებით.
ორი რთული რიცხვის დამატება
განახორციელოს დამატება ორი რთული რიცხვის z1 ე.წ.2, ჩვენ დავამატებთ z- ის რეალურ ნაწილს1 ე.წ.2 შესაბამისად, წარმოსახვითი ნაწილის ჯამი.
იყავი:
ზ1 = ა + ბმე
ზ2 = გ + დმე
ზ1 +ზ2 = (a + c) + (b + d)მე
მაგალითი 1
Z- ის ჯამის რეალიზება1 და ზ2.
ზ1 = 2 + 3მე
ზ2 = 1 + 2მე
ზ1 +ზ2= (2 + 1) + (3 + 2)მე
ზ1 +ზ2= 3 + 5მე
მაგალითი 2
Z- ის ჯამის რეალიზება1 და ზ2.
ზ1 = 5 – 2მე
ზ2 = – 3 + 2მე
ზ1+ზ2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)მე
ზ1+ზ2 = (5 – 3) + 0მე
ზ1 +ზ2= 3 + 0მე = 3
იხილეთ აგრეთვე: რთული რიცხვების ჯამის გეომეტრიული გამოსახვა
ორი რთული რიცხვის გამოკლება
სანამ ვისაუბრებთ გამოკლება, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ რა არის რთული რიცხვის შებრუნებული, ანუ z = a + bმე. Z- ს ინვერსია, წარმოდგენილია –z, არის რთული რიცხვი –z = –a –bმე.
ზ-ს შორის გამოკლების შესრულება1და -ზ2გარდა ამისა, ჩვენ გავაკეთებთ გამოყოფა რეალურ ნაწილებსა და წარმოსახვით ნაწილებს შორის ცალკე, მაგრამ აუცილებელია იმის გაგება, რომ -z2 ეს არის რთული რიცხვის ინვერსია, რის გამოც აუცილებელია ნიშანი თამაშების თამაში.
მაგალითი 1
ზ-ს გამოკლების შესრულება1 და ზ2.
ზ1 = 2 + 3მე
ზ2 = 1 + 2მე
ზ1–ზ2 = (2 – 1) + (3 – 2)მე
ზ1–ზ2= 1 + 1მე = 1+ მე
მაგალითი 2
ზ-ს გამოკლების შესრულება1 და ზ2.
ზ1= 5 – 2მე
ზ2 = – 3 + 2მე
ზ1–ზ2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)მე
ზ1–ზ2= (5 + 3) + (–4)მე
ზ1 –ზ2= 8 + (–4)მე
ზ1 –ზ2= 8 –4მე
წარმოსახვითი ერთეულის უფლებამოსილებები
სანამ გამრავლებაზე ვისაუბრებთ, უნდა გვესმოდეს წარმოსახვითი ერთეულის ძალა. ძალის გამოთვლის მეთოდის ძიებაში მეარა, აუცილებელია გააცნობიეროს, რომ ეს უფლებამოსილებები ციკლურად იქცევიან. ამისათვის მოდით გამოვთვალოთ რამდენიმე პოტენციალი წელს მე.
გამოდის, რომ შემდეგი უფლებამოსილებები სხვა არაფერია, თუ არა მისი გამეორება, გაითვალისწინეთ, რომ:
მე 4 = მე 2 · მე 2 = (–1) (–1) = 1
მე 5 = მე 2 · მე 3 = (–1) (–მე) = მე
როდესაც ჩვენ ვაგრძელებთ ძალების გამოთვლას, პასუხები ყოველთვის იქნება {1, i, –1, - სიმრავლის ელემენტები.მე}, შემდეგ კი ერთეულის სიმძლავრე მეარა, ჩვენ n (ექსპონატს) გავყოფთ 4-ზე და დაისვენეამ განყოფილების (რ = {0, 1, 2, 3}) იქნება ახალი ექსპონენტი მე.
მაგალითი1
გაანგარიშება ი25
როდესაც 25-ს გავყოფთ 4-ზე, კოეფიციენტი იქნება 6, ხოლო დარჩენილი ტოლია 1-ის. ასე რომ, ჩვენ უნდა:
მე 25 = მე1 = მე
მაგალითი 2
გაანგარიშება მე 403
როდესაც 403 – ს გავყოფთ 4 – ზე, კოეფიციენტი იქნება 100, რადგან 100 · 4 = 400, ხოლო დანარჩენი იქნება 3, ამიტომ ჩვენ უნდა:
მე 403 =მე 3 = -მე
რთული რიცხვების გამრავლება
ორი რთული რიცხვის გამრავლების შესასრულებლად გამოვიყენოთ განაწილების თვისება. იყავი:
ზ1= ა + ბმე
ზ2= გ + დმეშემდეგ პროდუქტი:
ზ1 · ზ2 = (a + bმე) (c + dმე), განაწილების თვისების გამოყენებით,
ზ1 · ზ2 = ac + რეკლამამე + კბმე + ბდმე 2, მაგრამ როგორც ვნახეთ, მე ² = -1
ზ1 · ზ2 = ac + რეკლამამე + კბმე - ბდ
ზ1 · ზ2= (აქ – ბ.დ) + (რეკლამა + კბ)მე
ამ ფორმულის გამოყენებით შესაძლებელია ნებისმიერი ორი რთული რიცხვის პროდუქტის პოვნა, მაგრამ ა ზოგადად, მას დეკორაცია არ სჭირდება, ვინაიდან, მოცემული გაანგარიშებისთვის, ჩვენ უბრალოდ ვიყენებთ ქონებას გამანაწილებელი.
მაგალითი
(2 + 3-ის პროდუქტის გაანგარიშებამე) (1 – 4მე):
(2+3მე) (1 – 4მე) = 2 – 8მე + 3მე– 12მე ², ამის გახსენება მე = -1:
(2 + 3მე) (1 – 4მე) = 2 – 8მე + 3მე+ 12
(2 + 3მე) (1 – 4მე) = (2 + 12) + (– 8 + 3)მე
(2+3მე) (1 – 4მე) = 14 – 5მე
აგრეთვე წვდომა: რთული რიცხვის შეკრება, გამოკლება და გამრავლება
რთული რიცხვის კონიუგატი
სანამ დაყოფაზე ვისაუბრებთ, უნდა გვესმოდეს, რა არის რთული რიცხვის კონიუგატი. კონცეფცია მარტივია, რთული რიცხვის კონიუგატის მოძებნა გაცვლამოს წარმოსახვითი ნაწილის ნიშანი.
ორი რთული რიცხვის დაყოფა
განახორციელოს ორი რთული რიცხვის დაყოფა, ჩვენ უნდა გავამრავლოთ წილადი მნიშვნელის კონიუგატზე ისე, რომ კარგად განისაზღვროს რა არის რეალური და რა არის წარმოსახვითი.
მაგალითი
გაყოფის გაანგარიშება (6 - 4)მე): (4 + 2მე)
იხილეთ აგრეთვე: რთული რიცხვების საპირისპირო, შერწყმული და თანასწორობა
რთული თვითმფრინავი ან არგანტ-გაუსის თვითმფრინავი
ცნობილია როგორც კომპლექსური გეგმა ან Გეგმარგანდ-გაუსიის საშუალებას იძლევა წარმოდგენა გეომეტრიული ფორმით რთული რიცხვის, ეს გეგმა ადაპტაციაა კარტესიანული თვითმფრინავი რთული რიცხვების გამოსახვა. ჰორიზონტალური ღერძი ცნობილია როგორც რეალური ნაწილის ღერძი Re (z), და ვერტიკალური ღერძი ცნობილია როგორც წარმოსახვითი ნაწილის ღერძი Im (z). ასე რომ, რთული რიცხვი, რომელსაც წარმოადგენს a + bმე წარმოქმნის წერტილებს კომპლექსურ სიბრტყეში, რომელიც ჩამოყალიბებულია შეკვეთილი წყვილის მიერ (a, b).
მაგალითი
რიცხვი 3 + 2მე გეომეტრიული ფორმით Z (3,2).
რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი
რთული რიცხვის მოდული, გეომეტრიულად, არის მანძილი (a, b) წერტილიდან რომელიც წარმოადგენს ამ რიცხვს რთულ სიბრტყეში წარმოშობისკენ, ანუ წერტილი (0,0).
როგორც ვხედავთ, | z | არის ჰიპოტენუზა მართკუთხა სამკუთხედი, ამიტომ, მისი გამოანგარიშება შესაძლებელია პითაგორას თეორემა, ასე რომ, ჩვენ უნდა:
მაგალითი:
Z = 1 + 3 მოდულის გაანგარიშებამე
ო არგუმენტი რთული რიცხვის, გეომეტრიულად, არის კუთხე ჩამოყალიბებულია ჰორიზონტალური ღერძით და | z |
კუთხის მნიშვნელობის მოსაძებნად, ჩვენ უნდა:
მიზანი არის θ = arg z კუთხის მოძებნა.
მაგალითი:
იპოვნეთ რთული რიცხვის არგუმენტი: z = 2 + 2მე:
რადგან a და b დადებითია, ვიცით რომ ეს კუთხე პირველ მეოთხედშია, მოდით გამოვთვალოთ | z |.
იცის | z |, შესაძლებელია გამოვანგარიშოთ სინუსი და კოსინუსი.
ვინაიდან, ამ შემთხვევაში, a და b უდრის 2-ს, მაშინ, როდესაც სინთს გამოვთვლით, კოსინუსისთვის იგივე გამოსავალი ვიპოვით.
ცოდნისა და cosθ- ის მნიშვნელობების ცოდნა, მნიშვნელოვანი კუთხეების ცხრილის კონსულტაციით და ამის ცოდნით θ პირველ მეოთხედს მიეკუთვნება, ამიტომ θ გვხვდება გრადუსებში ან რადიანებში, ასე რომ, ჩვენ ვასკვნით რა:
ტრიგონომეტრიული ან პოლარული ფორმა
რთული რიცხვის გამოსახულება ტრიგონომეტრიული ფორმა ეს შესაძლებელია მხოლოდ მას შემდეგ, რაც გავიგებთ მოდულისა და არგუმენტის კონცეფციას. ამ წარმოდგენის საფუძველზე მუშავდება მნიშვნელოვანი ცნებები რთული რიცხვების უფრო მოწინავე დონეზე შესასწავლად. ტრიგონომეტრიული წარმოდგენის შესასრულებლად, ჩვენ გვახსოვს მისი ალგებრული ფორმა z = a + bi, თუმცა, რთული სიბრტყის ანალიზისას, ჩვენ უნდა:
ალგებრული ფორმით a = | z |. მნიშვნელობების ჩანაცვლებით cos θ და b = | z | sen θ, ჩვენ უნდა:
z = a + bმე
Z = | z | cos θ + | z | სენთ მე, აყენებს | z | მტკიცებულებებში მივაღწიეთ ტრიგონომეტრიული ფორმის ფორმულას:
z = | z | (cos θ + მე · ცოდვა θ) |
მაგალითი: ტრიგონომეტრიული ფორმით დაწერე რიცხვი
ტრიგონომეტრიული ფორმით დასაწერად გვჭირდება არგუმენტი და მოდული z.
1-ლი ნაბიჯი - გაანგარიშება | z |
ვიცით | z |, შესაძლებელია θ – ის მნიშვნელობის პოვნა მნიშვნელოვანი კუთხეების ცხრილის კონსულტაციით.
ახლა შესაძლებელია z რიცხვის დაწერა მისი ტრიგონომეტრიული ფორმით კუთხით გრადუსით ან რადიანში გაზომული კუთხით.
წაიკითხეთ ასევე: რთული რიცხვების გამოსხივება ტრიგონომეტრიული ფორმით
სავარჯიშოები მოგვარებულია
Კითხვა 1 - (UFRGS) z კომპლექსური რიცხვების გათვალისწინებით1 = (2, –1) და ზ2 = (3, x), ცნობილია, რომ პროდუქტი z- ს შორის1 და ზ2 ნამდვილი რიცხვია. ასე რომ x უდრის:
ა) -6
ბ) -3/2
გ) 0
დ) 3/2
ე) 6
რეზოლუცია
ალტერნატივა დ.
პროდუქტის ნამდვილი რიცხვი რომ იყოს, მაშინ წარმოსახვითი ნაწილი ნულის ტოლია.
ამ რიცხვების ალგებრული ფორმით დაწერით, ჩვენ უნდა:
ზ1 = 2 – 1მე და ზ2 = 3 + xმე
ზ1 · ზ2 = (2 – 1მე) (3 + xმე)
ზ1 · ზ2 = 6 + 2xმე –3მე - xმე ²
ზ1 · ზ2 = 6 + 2xმე –3მე + x
ზ1 · ზ2 = 6+ x + (2x - 3)მე
რადგან ჩვენი ინტერესი ის არის, რომ წარმოსახვითი ნაწილი ნულის ტოლია, მაშინ ჩვენ ამოვხსნით 2x - 3 = 0
კითხვა 2 - (UECE) თუ i არის რთული რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის -1-ს, მაშინ 5-ის მნიშვნელობამე 227 + მე 6 – მე 13 ეს იგივეა, რაც:
) მე + 1
ბ) 4მე –1
გ) -6მე –1
დ) -6მე
რეზოლუცია
ალტერნატიული C.
ამ გამონათქვამის გადასაჭრელად აუცილებელია თითოეული რიცხვის დარჩენილი ნაწილის პოვნა 4-ზე გაყოფილი.
227: 4 – ის შედეგია 56 – ის კოეფიციენტი, ხოლო დანარჩენი 3 – ით.
მე 227 = მე 3 = –მე
6: 4 შედეგია კოეფიციენტი 1 და დარჩენილი 2.
მე 6 = მე 2 = –1
13: 4 შედეგია კოეფიციენტი 3 და დარჩენილი 1.
მე 13 = მე1 = მე
ასე რომ, ჩვენ უნდა:
5მე 227 + მე 6 – მე 13
5 (–მე) + (–1) – მე
–5მე –1 – მე
–6მე – 1
რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm