ჰიპერბოლა. ჰიპერბოლის განმარტება

რა არის ჰიპერბოლა?
განმარტება: მოდით F1 და F2 იყოს ორი წერტილი სიბრტყეზე და 2c იყოს მანძილი მათ შორის, ჰიპერბოლა არის სიმრავლე სიბრტყის წერტილებისა, რომელთა განსხვავება (მოდულში) მანძილზე F1 და F2 არის მუდმივი 2a (0 <2a <2c).
ჰიპერბოლის ელემენტები:

F1 და F2 → ჰიპერბოლას კერებია
→ ჰიპერბოლის ცენტრია
2 გ → ფოკუსური მანძილი
მე -2 → რეალური ან განივი ღერძის გაზომვა
2b → წარმოსახვითი ღერძის გაზომვა
გ / ა → ექსცენტრიულობა
A, b და c → c შორის არის კავშირი² =² + ბ²

შემცირებული ჰიპერბოლის განტოლება
პირველი შემთხვევა: ჰიპერბოლა ფოკუსირებულია x ღერძზე.

აშკარაა, რომ ამ შემთხვევაში კერას ექნება კოორდინატები F1 (-c, 0) და F2 (c, 0).
ამრიგად, ელიფსის შემცირებული განტოლება კარტეზიული თვითმფრინავის წარმოშობის ცენტრში და ფოკუსირებულია x ღერძზე, იქნება:

მე -2 შემთხვევა: ჰიპერბოლა ფოკუსირებულია y ღერძზე.

ამ შემთხვევაში, კერას ექნება კოორდინატები F1 (0, -c) და F2 (0, c).
ამრიგად, ელიფსის შემცირებული განტოლება კარტესიანული სიბრტყის წარმოშობის ცენტრთან და y ღერძზე ფოკუსირებული იქნება:

მაგალითი 1. იპოვნეთ ჰიპერბოლას შემცირებული განტოლება რეალური ღერძი 6-ით, F1 კერები (-5, 0) და F2 (5, 0).

გამოსავალი: ჩვენ უნდა
2a = 6 → a = 3
F1 (-5, 0) და F2 (5, 0) → c = 5
შესანიშნავი ურთიერთობიდან ვიღებთ:
ჩ² =² + ბ^2 → 5² = 3² + ბ² ბ² = 25 - 9 → ბ² = 16 → ბ = 4
ამრიგად, შემცირებულ განტოლებას მივცემთ:

მაგალითი 2. იპოვნეთ შემცირებული ჰიპერბოლის განტოლება, რომელსაც აქვს ორი კერა F2 კოორდინატებით (0, 10) და წარმოსახვითი ღერძი 12 ზომით.
გამოსავალი: ჩვენ უნდა
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
შესანიშნავი ურთიერთობის გამოყენებით ვიღებთ:
10² =² + 6² 100 → = ა² + 36 ა² = 100 - 36 ა² = 64 → a = 8.
ამრიგად, შემცირებული ჰიპერბოლის განტოლებას მივცემთ:

მაგალითი 3. განისაზღვრება ჰიპერბოლას ფოკუსური მანძილი განტოლებით
ამოხსნა: ვინაიდან ჰიპერბოლის განტოლება არის ტიპის  Ჩვენ უნდა
² = 16 და ბ² =9
შესანიშნავი ურთიერთობიდან ვიღებთ
ჩ² = 16 + 9 → გ² = 25 → c = 5
ფოკუსური მანძილი მოცემულია 2 გ-ით. ამრიგად,
2 გ = 2 * 5 = 10
ასე რომ, ფოკალური მანძილია 10.

მარსელო რიგონატოს მიერ
სტატისტიკისა და მათემატიკური მოდელირების სპეციალისტი
ბრაზილიის სკოლის გუნდი

ანალიტიკური გეომეტრია - Მათემატიკა - ბრაზილიის სკოლა