ტანგენტი: რა არის ეს, როგორ გამოვთვალოთ იგი, მაგალითები

ა ტანგენსი (შემოკლებით tg ან tan) არის ა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია. კუთხის ტანგენტის დასადგენად შეგვიძლია გამოვიყენოთ სხვადასხვა სტრატეგია: გამოვთვალოთ თანაფარდობა კუთხის სინუსსა და კოსინუსს შორის, თუ ისინი ცნობილია; გამოიყენეთ ტანგენტის ცხრილი ან კალკულატორი; გამოთვალეთ თანაფარდობა მოპირდაპირე ფეხსა და მიმდებარე ფეხს შორის, თუ მოცემული კუთხე არის მართკუთხა სამკუთხედის შიდა (მწვავე), სხვათა შორის.

წაიკითხეთ ასევე: რისთვის გამოიყენება ტრიგონომეტრიული წრე?

რეზიუმე ტანგენტის შესახებ

• ტანგენტი არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

• შიდა კუთხის ტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედთან არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან.

• ნებისმიერი კუთხის ტანგენსი არის ამ კუთხის სინუსისა და კოსინუსის თანაფარდობა.

• Ფუნქცია \(f (x)=tg\ x\) განისაზღვრება კუთხეებისთვის x გამოხატული რადიანებით, ისეთი, რომ cos \(cos\ x≠0\).

• ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი აჩვენებს ვერტიკალურ ასიმპტოტებს მნიშვნელობებისთვის, სადაც \(x= \frac{π}2+kπ\), თან კ მთლიანი, მსგავსი \(x=-\frac{π}2\).

• ტანგენტების კანონი არის გამოხატულება, რომელიც აკავშირებს, ნებისმიერ სამკუთხედში, ორი კუთხის ტანგენტსა და ამ კუთხის მოპირდაპირე გვერდებს.

კუთხის ტანგენტი

თუ α არის ერთი კუთხე შიდა ა მართკუთხა სამკუთხედი, α-ს ტანგენსი არის თანაფარდობა მოპირდაპირე ფეხის სიგრძესა და მიმდებარე ფეხის სიგრძეს შორის:

ნებისმიერი α კუთხისთვის ტანგენსი არის თანაფარდობა sin α-სა და α-ს კოსინუსს შორის, სადაც \(cos\ α≠0\):

\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)

უნდა აღინიშნოს, რომ თუ α არის კუთხე 1 ან მე-3 კვადრატში, ტანგენტს ექნება დადებითი ნიშანი; მაგრამ თუ α არის მე-2 ან მე-4 კვადრატის კუთხე, ტანგენტს ექნება უარყოფითი ნიშანი. ეს კავშირი პირდაპირ გამომდინარეობს ნიშნის წესიდან სინუსსა და კოსინუსს შორის თითოეული α-სთვის.

Მნიშვნელოვანი: გაითვალისწინეთ, რომ ტანგენსი არ არსებობს α-ს მნიშვნელობებისთვის, სადაც \(cos\ α=0\). ეს ხდება 90°, 270°, 450°, 630° და ა.შ კუთხეებისთვის. ამ კუთხეების ზოგადი სახით წარმოსადგენად, ჩვენ ვიყენებთ რადიანის აღნიშვნას: \(\frac{ π}2+kπ\), თან კ მთლიანი.

შესამჩნევი კუთხეების ტანგენტი

გამოხატვის გამოყენება \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ტანგენტები ღირსშესანიშნავი კუთხეები, რომელიც არის 30°, 45° და 60° კუთხეები:

\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)

\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)

\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)

საინტერესოა: გარდა ამისა, ჩვენ შეგვიძლია გავაანალიზოთ ტანგენტების მნიშვნელობები 0° და 90° კუთხეებისთვის, რომლებიც ასევე ფართოდ გამოიყენება. ვინაიდან ცოდვა 0° = 0, დავასკვნით, რომ 0° = 0. 90° კუთხისთვის, რადგან cos90° = 0, ტანგენსი არ არსებობს.

როგორ გამოვთვალოთ ტანგენსი?

ტანგენტის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას tg α=sin αcos α, რომელიც გამოიყენება ნებისმიერი კუთხის ტანგენტის გამოსათვლელად. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს ქვემოთ.

• მაგალითი 1

იპოვეთ α კუთხის ტანგენსი ქვემოთ მოცემულ მართკუთხა სამკუთხედში.

რეზოლუცია:

რაც შეეხება α კუთხეს, მე-6 ზომის გვერდი არის მოპირდაპირე მხარე, ხოლო 8 ზომის გვერდი არის მიმდებარე მხარე. Ამგვარად:

\(tg\ α=\frac{6}8=0.75\)

• მაგალითი 2

იმის ცოდნა \(ცოდვა\ 35°≈0.573\) და cos\(35°≈0,819\)იპოვეთ 35° ტანგენტის სავარაუდო მნიშვნელობა.

რეზოლუცია:

ვინაიდან კუთხის ტანგენსი არის თანაფარდობა ამ კუთხის სინუსსა და კოსინუსს შორის, გვაქვს:

\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)

\(tg\ 35°≈0.700\)

ტანგენტის ფუნქცია

ფუნქცია fx=tg x განისაზღვრება კუთხეებისთვის x გამოხატული რადიანებით, ისე რომ \(cos\ x≠0\). ეს ნიშნავს, რომ ტანგენტის ფუნქციის დომენი გამოიხატება:

\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)

გარდა ამისა, ყველა რეალური რიცხვები არის ტანგენტის ფუნქციის გამოსახულება.

→ ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი

გაითვალისწინეთ, რომ ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკს აქვს ვერტიკალური ასიმპტოტები იმ მნიშვნელობებისთვის, სადაც \(x= \frac{π}2+kπ\), თან კ მთლიანი, მსგავსი \( x=-\frac{π}2\). ამ ღირებულებებისთვის x, ტანგენსი არ არის განსაზღვრული (ანუ ტანგენსი არ არსებობს).

იხილეთ ასევე: რა არის დომენი, დიაპაზონი და სურათი?

ტანგენტების კანონი

ტანგენტების კანონი არის ა გამოხატულება, რომელიც ასოცირდება, ა სამკუთხედი ნებისმიერი, ორი კუთხის ტანგენტები და ამ კუთხის მოპირდაპირე გვერდები. მაგალითად, განიხილეთ ქვემოთ ABC სამკუთხედის α და β კუთხეები. გაითვალისწინეთ, რომ გვერდი CB = a არის α კუთხის საპირისპირო და რომ გვერდი AC = b არის β კუთხის საპირისპირო.

ტანგენტების კანონი ამბობს, რომ:

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)

ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები

რომ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები არის მართკუთხა სამკუთხედზე დამუშავებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ჩვენ განვმარტავთ ამ თანაფარდობებს, როგორც ურთიერთობებს ამ ტიპის სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის.

ამოხსნილი სავარჯიშოები ტანგენტზე

კითხვა 1

ვთქვათ θ არის მეორე კვადრატის ისეთი კუთხე, რომ ცოდვა\(sin\ θ≈0.978\)ასე რომ, tgθ არის დაახლოებით:

ა) -4688

ბ) 4688

გ) 0.2086

დ) -0,2086

ე) 1

რეზოლუცია

ალტერნატივა ა

თუ \(sin\ θ≈0.978\)შემდეგ, ტრიგონომეტრიის ფუნდამენტური იდენტურობის გამოყენებით:

\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)

\(0.978^2+cos^2 θ=1\)

\(cos^2 θ=1-0.956484\)

\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)

ვინაიდან θ არის მეორე კვადრატის კუთხე, მაშინ cosθ უარყოფითია, შესაბამისად:

\(cos\ θ≈- 0.2086\)

მალე:

\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0.978}{-0.2086}=-4.688\)

კითხვა 2

განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC, რომლის ფეხები AB = 3 სმ და AC = 4 სმ. B კუთხის ტანგენსი არის:

ა) \(\frac{3}4\)

ბ) \(\frac{3}5\)

ვ) \(\frac{4}3\)

დ) \(\frac{4}5\)

და) \(\frac{5}3\)

რეზოლუცია:

ალტერნატივა C

განცხადების მიხედვით, ფეხი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს \(\ქუდი{B}\) არის AC საზომი 4 სმ და ფეხი კუთხის მიმდებარედ \(\ქუდი{B}\) არის AB ზომით 3 სმ. Ამგვარად:

\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)

მარია ლუიზა ალვეს რიზო
Მათემატიკის მასწავლებელი