ტანგენტი: რა არის ეს, როგორ გამოვთვალოთ იგი, მაგალითები

ა ტანგენსი (შემოკლებით tg ან tan) არის ა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია. კუთხის ტანგენტის დასადგენად შეგვიძლია გამოვიყენოთ სხვადასხვა სტრატეგია: გამოვთვალოთ თანაფარდობა კუთხის სინუსსა და კოსინუსს შორის, თუ ისინი ცნობილია; გამოიყენეთ ტანგენტის ცხრილი ან კალკულატორი; გამოთვალეთ თანაფარდობა მოპირდაპირე ფეხსა და მიმდებარე ფეხს შორის, თუ მოცემული კუთხე არის მართკუთხა სამკუთხედის შიდა (მწვავე), სხვათა შორის.

წაიკითხეთ ასევე: რისთვის გამოიყენება ტრიგონომეტრიული წრე?

ამ სტატიის თემები

• 1 - რეზიუმე ტანგენტის შესახებ
• 2 - კუთხის ტანგენტი
• 3 - შესამჩნევი კუთხეების ტანგენტი
• 4 - როგორ გამოვთვალოთ ტანგენსი?
  • → ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი
• 5 - ტანგენტების კანონი
• 6 - ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები
• 7 - ამოხსნილი სავარჯიშოები ტანგენტზე

შეჯამება ტანგენტის შესახებ

• ტანგენტი არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

• შიდა კუთხის ტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედთან არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან.

• ნებისმიერი კუთხის ტანგენსი არის ამ კუთხის სინუსისა და კოსინუსის თანაფარდობა.

• Ფუნქცია \(f (x)=tg\ x\) განისაზღვრება კუთხეებისთვის x გამოხატული რადიანებით, ისეთი, რომ cos \(cos\ x≠0\).

• ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი აჩვენებს ვერტიკალურ ასიმპტოტებს მნიშვნელობებისთვის, სადაც \(x= \frac{π}2+kπ\), თან კ მთლიანი, მსგავსი \(x=-\frac{π}2\).

• ტანგენტების კანონი არის გამოხატულება, რომელიც აკავშირებს, ნებისმიერ სამკუთხედში, ორი კუთხის ტანგენტსა და ამ კუთხის მოპირდაპირე გვერდებს.

კუთხის ტანგენტი

თუ α არის ერთი კუთხე შიდა ა მართკუთხა სამკუთხედი, α-ს ტანგენსი არის თანაფარდობა მოპირდაპირე ფეხის სიგრძესა და მიმდებარე ფეხის სიგრძეს შორის:

ნებისმიერი α კუთხისთვის ტანგენსი არის თანაფარდობა sin α-სა და α-ს კოსინუსს შორის, სადაც \(cos\ α≠0\):

\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)

უნდა აღინიშნოს, რომ თუ α არის კუთხე 1 ან მე-3 კვადრატში, ტანგენტს ექნება დადებითი ნიშანი; მაგრამ თუ α არის მე-2 ან მე-4 კვადრატის კუთხე, ტანგენტს ექნება უარყოფითი ნიშანი. ეს კავშირი პირდაპირ გამომდინარეობს ნიშნის წესიდან სინუსსა და კოსინუსს შორის თითოეული α-სთვის.

Მნიშვნელოვანი: გაითვალისწინეთ, რომ ტანგენსი არ არსებობს α-ს მნიშვნელობებისთვის, სადაც \(cos\ α=0\). ეს ხდება 90°, 270°, 450°, 630° და ა.შ კუთხეებისთვის. ამ კუთხეების ზოგადი სახით წარმოსადგენად, ჩვენ ვიყენებთ რადიანის აღნიშვნას: \(\frac{ π}2+kπ\), თან კ მთლიანი.

არ გაჩერდე ახლა... საჯაროობის შემდეგ კიდევ არის ;)

შესამჩნევი კუთხეების ტანგენტი

გამოხატვის გამოყენება \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ტანგენტები ღირსშესანიშნავი კუთხეები, რომელიც არის 30°, 45° და 60° კუთხეები:

\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1 }{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)

\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)

\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)

საინტერესოა: გარდა ამისა, ჩვენ შეგვიძლია გავაანალიზოთ ტანგენტების მნიშვნელობები 0° და 90° კუთხეებისთვის, რომლებიც ასევე ფართოდ გამოიყენება. ვინაიდან ცოდვა 0° = 0, დავასკვნით, რომ 0° = 0. 90° კუთხისთვის, რადგან cos90° = 0, ტანგენსი არ არსებობს.

როგორ გამოვთვალოთ ტანგენსი?

ტანგენტის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას tg α=sin αcos α, რომელიც გამოიყენება ნებისმიერი კუთხის ტანგენტის გამოსათვლელად. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს ქვემოთ.

• მაგალითი 1

იპოვეთ α კუთხის ტანგენსი ქვემოთ მოცემულ მართკუთხა სამკუთხედში.

რეზოლუცია:

რაც შეეხება α კუთხეს, მე-6 ზომის გვერდი არის მოპირდაპირე მხარე, ხოლო 8 ზომის გვერდი არის მიმდებარე მხარე. Ამგვარად:

\(tg\ α=\frac{6}8=0.75\)

• მაგალითი 2

იმის ცოდნა \(ცოდვა\ 35°≈0.573\) და cos\(35°≈0,819\)იპოვეთ 35° ტანგენტის სავარაუდო მნიშვნელობა.

რეზოლუცია:

ვინაიდან კუთხის ტანგენსი არის თანაფარდობა ამ კუთხის სინუსსა და კოსინუსს შორის, გვაქვს:

\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)

\(tg\ 35°≈0.700\)

ტანგენტის ფუნქცია

ფუნქცია fx=tg x განისაზღვრება კუთხეებისთვის x გამოხატული რადიანებით, ისე რომ \(cos\ x≠0\). ეს ნიშნავს, რომ ტანგენტის ფუნქციის დომენი გამოიხატება:

\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)

გარდა ამისა, ყველა რეალური რიცხვები არის ტანგენტის ფუნქციის გამოსახულება.

→ ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი

გაითვალისწინეთ, რომ ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკს აქვს ვერტიკალური ასიმპტოტები იმ მნიშვნელობებისთვის, სადაც \(x= \frac{π}2+kπ\), თან კ მთლიანი, მსგავსი \( x=-\frac{π}2\). ამ ღირებულებებისთვის x, ტანგენსი არ არის განსაზღვრული (ანუ ტანგენსი არ არსებობს).

იხილეთ ასევე: რა არის დომენი, დიაპაზონი და სურათი?

ტანგენტების კანონი

ტანგენტების კანონი არის ა გამოხატულება, რომელიც ასოცირდება, ა სამკუთხედი ნებისმიერი, ორი კუთხის ტანგენტები და ამ კუთხის მოპირდაპირე გვერდები. მაგალითად, განიხილეთ ქვემოთ ABC სამკუთხედის α და β კუთხეები. გაითვალისწინეთ, რომ გვერდი CB = a არის α კუთხის საპირისპირო და რომ გვერდი AC = b არის β კუთხის საპირისპირო.

ტანგენტების კანონი ამბობს, რომ:

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\ )

ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები

რომ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები არის მართკუთხა სამკუთხედზე დამუშავებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ჩვენ განვმარტავთ ამ თანაფარდობებს, როგორც ურთიერთობებს ამ ტიპის სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის.

ამოხსნილი სავარჯიშოები ტანგენტზე

კითხვა 1

ვთქვათ θ არის მეორე კვადრატის ისეთი კუთხე, რომ ცოდვა\(sin\ θ≈0.978\)ასე რომ, tgθ არის დაახლოებით:

ა) -4688

ბ) 4688

გ) 0.2086

დ) -0.2086

ე) 1

რეზოლუცია

ალტერნატივა ა

თუ \(sin\ θ≈0.978\)შემდეგ, ტრიგონომეტრიის ფუნდამენტური იდენტურობის გამოყენებით:

\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)

\(0.978^2+cos^2 θ=1\)

\(cos^2 θ=1-0.956484\)

\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)

ვინაიდან θ არის მეორე კვადრატის კუთხე, მაშინ cosθ უარყოფითია, შესაბამისად:

\(cos\ θ≈- 0.2086\)

მალე:

\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0.978}{-0.2086}=-4.688\)

კითხვა 2

განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC, რომლის ფეხები AB = 3 სმ და AC = 4 სმ. B კუთხის ტანგენსი არის:

ა) \(\frac{3}4\)

ბ) \(\frac{3}5\)

ვ) \(\frac{4}3\)

დ) \(\frac{4}5\)

და) \(\frac{5}3\)

რეზოლუცია:

ალტერნატივა C

განცხადების მიხედვით, ფეხი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს \(\ქუდი{B}\) არის AC საზომი 4 სმ და ფეხი კუთხის მიმდებარედ \(\ქუდი{B}\) არის AB ზომით 3 სმ. Ამგვარად:

\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)

მარია ლუიზა ალვეს რიზო
Მათემატიკის მასწავლებელი

ისწავლეთ როგორ ააგოთ ტრიგონომეტრიული წრე, გარდა იმისა, რომ გაიგოთ, როგორ მუშაობს პირველ კვადრატამდე შემცირება და როგორ შეისწავლოთ ტრიგონომეტრია მისი მეშვეობით.

იცოდე ტრიგონომეტრიული ფუნქციები სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი. თითოეული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გრაფიკის გაგება. იხილეთ ამ ფუნქციების მახასიათებლები.

რადიანი, კუთხე, ხარისხი, წრეწირი, რკალი, წრეწირის რკალი, ხარისხი რადიანის ტრანსფორმაციამდე, განსაზღვრება რადიანი, კუთხის საზომი, რკალის საზომი, წრეწირის სიგრძე რადიანში, სიგრძე გარშემოწერილობა.

ნახეთ, როგორ გამოვთვალოთ კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის მნიშვნელობა და გაიგეთ, რომელი თანაფარდობა გამოიყენოთ პრობლემურ სიტუაციაში.

შეიტყვეთ რას სწავლობს ტრიგონომეტრია. იცოდე რა არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები და ფუნქციები და იცოდე როგორ გამოიყენო ტრიგონომეტრია.

იცოდე რა თავისებურებები აქვს მართკუთხა სამკუთხედს და ისწავლე მისი ფართობისა და პერიმეტრის გამოთვლა. აგრეთვე იხილეთ, როგორ შეიძლება მასზე ტრიგონომეტრიის გამოყენება.

დააწკაპუნეთ და გაიგეთ რა არის ტრიგონომეტრიისთვის მნიშვნელოვანი კუთხეები და გაარკვიეთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ მათი სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი.