სიმეტრიული მატრიცა: რა არის ეს, მაგალითები, თვისებები

სიმეტრიული მატრიცა არის სათაო ოფისი რომელშიც თითოეული ელემენტი \(a_{ij}\) ელემენტის ტოლია \(a_{ji}\) i და j-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. შესაბამისად, ყოველი სიმეტრიული მატრიცა მისი ტრანსპოზის ტოლია. ასევე აღსანიშნავია, რომ ყველა სიმეტრიული მატრიცა არის კვადრატული და რომ მთავარი დიაგონალი მოქმედებს როგორც სიმეტრიის ღერძი.

წაიკითხეთ ასევე:მატრიცის შეკრება და გამოკლება - როგორ გამოვთვალოთ?

ამ სტატიის თემები

• 1 - შეჯამება სიმეტრიულ მატრიცაზე
• 2 - რა არის სიმეტრიული მატრიცა?
• 3 - რა თვისებები აქვს სიმეტრიულ მატრიცას?
• 4 - რა განსხვავებაა სიმეტრიულ მატრიცასა და ანტისიმეტრიულ მატრიცას შორის?
• 5 - ამოხსნილი სავარჯიშოები სიმეტრიულ მატრიცაზე

რეზიუმე სიმეტრიული მატრიცის შესახებ

• სიმეტრიულ მატრიცაში, \(a_{ij}=a_{ji}\) ყველა მე და ჯ.

• ყოველი სიმეტრიული მატრიცა კვადრატულია.

• ყოველი სიმეტრიული მატრიცა მისი ტრანსპოზის ტოლია.

• სიმეტრიული მატრიცის ელემენტები სიმეტრიულია მთავარი დიაგონალის მიმართ.

• სიმეტრიულ მატრიცაში ყოფნისას \(a_{ij}=a_{ji}\) ყველასთვის i და j; ანტისიმეტრიულ მატრიცაში, \(a_{ij}=-a_{ji}\) ყველა მე და ჯ.

რა არის სიმეტრიული მატრიცა?

სიმეტრიული მატრიცა არის კვადრატული მატრიცა, სადაც \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) ყოველი მე და ყოველი ჯ. Ეს ნიშნავს რომ \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)და ასე შემდეგ, i და j-ის ყველა შესაძლო მნიშვნელობებისთვის. გახსოვდეთ, რომ i-ს შესაძლო მნიშვნელობები შეესაბამება მატრიცის სტრიქონებს, ხოლო j-ის შესაძლო მნიშვნელობები შეესაბამება მატრიცის სვეტებს.

• სიმეტრიული მატრიცების მაგალითები

\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

• არასიმეტრიული მატრიცების მაგალითები (განიხილეთ \(\mathbf{b≠g}\))

\(\ დასაწყისი{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Მნიშვნელოვანი: იმის თქმა, რომ მატრიცა არ არის სიმეტრიული, ნიშნავს ამის ჩვენებას \(a_{ij}≠a_{ji}\) სულ მცირე ზოგიერთი i და j (რაც ჩვენ შეგვიძლია დავინახოთ წინა მაგალითების შედარებით). ეს განსხვავდება ანტისიმეტრიული მატრიცის კონცეფციისგან, რომელსაც მოგვიანებით ვიხილავთ.

არ გაჩერდე ახლა... საჯაროობის შემდეგ კიდევ არის ;)

რა თვისებები აქვს სიმეტრიულ მატრიცას?

• ყოველი სიმეტრიული მატრიცა კვადრატულია

გაითვალისწინეთ, რომ სიმეტრიული მატრიცის განმარტება ეფუძნება კვადრატულ მატრიცებს. ამრიგად, ყველა სიმეტრიულ მატრიცას აქვს მწკრივების იგივე რაოდენობა, როგორც სვეტების რაოდენობა.

• ყოველი სიმეტრიული მატრიცა მისი ტრანსპოზის ტოლია

თუ A არის მატრიცა, ის გადატანილი (\(A^T\)) განისაზღვრება, როგორც მატრიცა, რომლის რიგები არის A-ს სვეტები და რომლის სვეტები არის A-ს რიგები. ასე რომ, თუ A არის სიმეტრიული მატრიცა, გვაქვს \(A=A^T\).

• სიმეტრიულ მატრიცაში ელემენტები "ასახულია" მთავარ დიაგონალთან მიმართებაში

როგორც \(a_{ij}=a_{ji}\) სიმეტრიულ მატრიცაში, ძირითადი დიაგონალის ზემოთ ელემენტები არის ქვემოთ მოცემული ელემენტების "არეკვლა". დიაგონალის (ან პირიქით) დიაგონალთან მიმართებაში, ისე რომ მთავარი დიაგონალი მოქმედებს როგორც ღერძი სიმეტრია.

რა განსხვავებაა სიმეტრიულ მატრიცასა და ანტისიმეტრიულ მატრიცას შორის?

თუ A არის სიმეტრიული მატრიცა, მაშინ \(a_{ij}=a_{ji}\) ყველა მე და ყველა j, როგორც ჩვენ შევისწავლეთ. ანტისიმეტრიული მატრიცის შემთხვევაში სიტუაცია განსხვავებულია. თუ B არის ანტისიმეტრიული მატრიცა, მაშინ \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) ყოველი მე და ყოველი ჯ.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს იწვევს \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), ანუ ძირითადი დიაგონალური ელემენტები ნულია. ამის შედეგია ის, რომ ანტისიმეტრიული მატრიცის ტრანსპოზა უდრის მის საპირისპიროს, ანუ თუ B არის ანტისიმეტრიული მატრიცა, მაშინ \(B^T=-B\).

• ანტისიმეტრიული მატრიცების მაგალითები

\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)

იხილეთ ასევე: იდენტურობის მატრიცა - მატრიცა, რომელშიც ძირითადი დიაგონალური ელემენტები უდრის 1-ს, ხოლო დანარჩენი ელემენტები უდრის 0-ს

ამოხსნილი სავარჯიშოები სიმეტრიულ მატრიცაზე

კითხვა 1

(უნიცენტრო)

თუ მატრიცა \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) არის სიმეტრიული, ამიტომ xy-ის მნიშვნელობა არის:

ა) 6

ბ) 4

გ) 2

დ) 1

ე) -6

რეზოლუცია:

ალტერნატივა ა

თუ მოცემული მატრიცა სიმეტრიულია, მაშინ სიმეტრიულ პოზიციებზე ელემენტები ტოლია (\(a_{ij}=a_{ji}\)). ამიტომ, ჩვენ უნდა:

\(x = y - 1\)

\(x + 5 = 7\)

პირველის ჩანაცვლება განტოლება მეორეში დავასკვნით, რომ \(y=3\), მალე:

\(x=2\) Ეს არის \(xy=6\)

კითხვა 2

(UFSM) იმის ცოდნა, რომ მატრიცა \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) უდრის მის ტრანსპოზს, მნიშვნელობას \(2x+y\) é:

ა) -23

ბ) -11

გ) -1

დ) 11

ე) 23

რეზოლუცია:

ალტერნატივა C

ვინაიდან მოცემული მატრიცა მისი ტრანსპოზის ტოლია, ეს არის სიმეტრიული მატრიცა. ამრიგად, ელემენტები სიმეტრიულ პოზიციებში ტოლია (\(a_{ij}=a_{ji}\)), ანუ:

\(x^2=36\)

\(4-y=-7\)

\(-30=5x\)

პირველი განტოლებით, x=-6 ან x=6. მესამე განტოლებით მივიღებთ სწორ პასუხს: x= -6. მეორე განტოლებით, y=11.

მალე:

\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)

მარია ლუიზა ალვეს რიზო
Მათემატიკის მასწავლებელი

გსურთ ამ ტექსტის მითითება სასკოლო ან აკადემიურ ნაშრომში? შეხედე:

RIZZO, მარია ლუიზა ალვესი. "სიმეტრიული მატრიცა"; ბრაზილიის სკოლა. Ხელმისაწვდომია: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. წვდომა 2023 წლის 18 ივლისს.

აქ გაიგეთ მატრიცის სტრუქტურის განმარტებები და ფორმალიზაციები. აგრეთვე იხილეთ მისი ელემენტების და სხვადასხვა ტიპის მატრიცების ფუნქციონირება.

დააწკაპუნეთ აქ და გაიგეთ იდენტურობის მატრიცის, მატრიცის გამრავლების ნეიტრალური ელემენტის შესახებ. ასევე ისწავლეთ ამ სპეციალური ტიპის მატრიცის აგება.

გაიგეთ რა არის ტრანსპოზის მატრიცა. იცოდე ტრანსპონირებული მატრიცის თვისებები. ისწავლეთ როგორ იპოვოთ მოცემული მატრიცის ტრანსპონირებული მატრიცა.

გაიგეთ რა არის სიმეტრია და გაიგეთ მისი ტიპები. ასევე იხილეთ მაგალითები და ამ ფენომენის მნიშვნელობა.

მატრიცა, მატრიცების ტიპი, მატრიცების რიგი, მწკრივის მატრიცა, სვეტის მატრიცა, ნულოვანი მატრიცა, მატრიცა კვადრატი, დიაგონალური მატრიცა, იდენტურობის მატრიცა, საპირისპირო მატრიცა, მატრიცა, ტოლი მატრიცა, ტოლობა მატრიცები.

კრინგი

ინგლისურიდან ადაპტირებული ჟარგონი გამოიყენება იმ ადამიანების აღსანიშნავად, რომლებიც განიხილება როგორც დაბნეული, სამარცხვინო, მოძველებული და მოდური.

ნეირომრავალფეროვნება

ჯუდი სინგერის მიერ შემუშავებული ტერმინი გამოიყენება ადამიანის გონების ქცევის მრავალფეროვნების აღსაწერად.

ყალბი ამბების PL

ასევე ცნობილია როგორც PL2660, ეს არის კანონპროექტი, რომელიც ადგენს მექანიზმებს სოციალური ქსელების რეგულირებისთვის ბრაზილიაში.