ა პროპორცია ოქროსფერი ან ღვთაებრივი პროპორცია არის თანასწორობა, რომელიც ასოცირდება ჰარმონიის, სილამაზისა და სრულყოფილების იდეებთან. ევკლიდე ალექსანდრიელი, ბერძენი მათემატიკოსი, რომელიც ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 300 წელს. C., იყო ერთ-ერთი პირველი მოაზროვნე, რომელმაც გააფორმა ეს კონცეფცია, რომელიც დღემდე აინტრიგებს სხვადასხვა სფეროს მკვლევარებს.
ამ ინტერესის მიზეზი ის არის, რომ ოქროს თანაფარდობა მიახლოებით შეიძლება შეინიშნოს ბუნებაში, მათ შორის მცენარეების თესლსა და ფოთლებში და ადამიანის სხეულში. შესაბამისად, ოქროს თანაფარდობა არის სხვადასხვა პროფესიონალების შესწავლის საგანი, როგორიცაა ბიოლოგები, არქიტექტორები, მხატვრები და დიზაინერები.
წაიკითხეთ ასევე: რიცხვი pi - ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მუდმივი მათემატიკაში
შეჯამება ოქროს თანაფარდობის შესახებ
ოქროს თანაფარდობა არის თანაფარდობა \(a>b>0\) ისეთივე როგორც
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
ამ პირობებში, მიზეზი Theბ ოქროს თანაფარდობა ეწოდება.
ოქროს თანაფარდობა დაკავშირებულია წონასწორობის, სიწმინდისა და სრულყოფილების კონცეფციებთან.
ბერძნული ასო ϕ (წაიკითხეთ: fi) წარმოადგენს ოქროს რიცხვს, რომელიც არის ოქროს თანაფარდობიდან მიღებული მუდმივი.
ფიბონაჩის მიმდევრობაში, კოეფიციენტები თითოეულ წევრსა და მის წინამორბედს შორის ოქროს რიცხვს უახლოვდება.
ოქროს მართკუთხედი არის მართკუთხედი, რომლის გვერდები ოქროს თანაფარდობაშია.
რა არის ოქროს თანაფარდობა?
განვიხილოთ ხაზის სეგმენტი, რომელიც იყოფა ორ ნაწილად: უფრო დიდი ზომის The და ყველაზე პატარა ბ. გააცნობიეროს, რომ a+b არის მთელი სეგმენტის საზომი.
ოქროს თანაფარდობა არის თანასწორობა მიზეზებს შორის\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Ეს არის \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), ე.ი
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
ამ კონტექსტში ჩვენ ამას ვამბობთ The Ეს არის ბ ოქროს პროპორციაშია.
მაგრამ რა ღირებულებებისთვის The Ეს არის ბ გვაქვს ოქროს თანაფარდობა? სწორედ ამას ვნახავთ შემდეგში.
როგორ გამოვთვალოთ ოქროს რიცხვი?
Მიზეზი \(\ფრაკ{ა}ბ\)(ან, ანალოგიურად, მიზეზი \(\frac{a+b}a\)) იწვევს მუდმივას, რომელსაც ოქროს რიცხვი ეწოდება და წარმოდგენილია ბერძნული ასო ϕ. ამრიგად, ჩვეულებრივია წერა
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
ოქროს რიცხვის გამოსათვლელად განვიხილოთ ოქროს თანაფარდობა b = 1-ისთვის. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ადვილად ვიპოვოთ მნიშვნელობა The და მიიღეთ ϕ თანასწორობიდან \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ოქროს თანაფარდობა შემდეგნაირად, ჯვარედინი გამრავლების თვისების გამოყენებით:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
ჩანაცვლებით b = 1, გვაქვს
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
ბჰასკარას ფორმულის გამოყენება ამ კვადრატული განტოლებისთვის დავასკვნით, რომ დადებითი ამონახსნები The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
როგორც The არის სეგმენტის საზომი, ჩვენ უგულებელყოფთ უარყოფით გადაწყვეტას.
ისე როგორ \(\frac{a}b=ϕ\), ოქროს რიცხვის ზუსტი მნიშვნელობა არის:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
კოეფიციენტის გამოანგარიშებით ვიღებთ ოქროს რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობა:
\(ϕ≈1,618033989\)
იხილეთ ასევე: როგორ ამოხსნათ მათემატიკური მოქმედებები წილადებით?
ოქროს თანაფარდობა და ფიბონაჩის მიმდევრობა
ა ფიბონაჩის მიმდევრობა არის რიცხვების სია სადაც ყოველი წევრი, მესამედან დაწყებული, უდრის ორი წინამორბედის ჯამს. მოდით შევხედოთ ამ თანმიმდევრობის პირველ ათეულს:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
როგორც ჩვენ ვიანგარიშებთ კოეფიციენტს თითოეულ ტერმინსა და მის წინამორბედს შორის ფიბონაჩის მიმდევრობაში, ჩვენ ვუახლოვდებით ოქროს რიცხვს ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1.5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1.6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1.6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1.625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1.6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1.61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1.61764…\)
ოქროს თანაფარდობა და ოქროს მართკუთხედი
ერთი მართკუთხედი სადაც ყველაზე გრძელი მხარე The და პატარა მხარე ბ ოქროს პროპორციაშია მას ოქროს მართკუთხედი ჰქვია. ოქროს მართკუთხედის მაგალითია მართკუთხედი, რომლის გვერდების ზომაა 1 სმ და \(\frac{1+\sqrt5}2\) სმ.
გაიგე მეტი: რა არის პირდაპირპროპორციული სიდიდეები?
ოქროს თანაფარდობის აპლიკაციები
გაითვალისწინეთ, რომ აქამდე ოქროს თანაფარდობა მხოლოდ აბსტრაქტულ მათემატიკურ კონტექსტში შევისწავლეთ. შემდეგი, ჩვენ ვნახავთ რამდენიმე გამოყენებულ მაგალითს, მაგრამ სიფრთხილეა საჭირო: ოქროს თანაფარდობა არცერთ ამ შემთხვევაში არ არის წარმოდგენილი ზუსტად. რაც არსებობს არის სხვადასხვა კონტექსტის ანალიზი, რომელშიც ოქროს რიცხვი ასე ჩანსმიახლოებითი.
ოქროს თანაფარდობა არქიტექტურაში
ზოგიერთი კვლევა ამტკიცებს, რომ ოქროს რაოდენობის შეფასებები შეინიშნება ეგვიპტეში კეოპსის პირამიდის და ნიუ-იორკში გაეროს შტაბ-ბინის შენობის ზომების გარკვეულ თანაფარდობებში.
ოქროს თანაფარდობა ადამიანის სხეულში
ადამიანის სხეულის ზომები განსხვავდება ერთი ადამიანიდან მეორეზე და არ არსებობს სრულყოფილი სხეულის ტიპი. თუმცა, სულ მცირე, ძველი საბერძნეთიდან მოყოლებული, იყო დებატები მათემატიკურად იდეალურ სხეულზე (და სრულიად მიუწვდომელ სხეულზე), ოქროს თანაფარდობასთან დაკავშირებული ზომებით. ამ თეორიულ კონტექსტში, მაგალითად, ადამიანის სიმაღლის შეფარდება ჭიპსა და მიწას შორის მანძილს იქნება ოქროს რიცხვი.
ოქროს თანაფარდობა ხელოვნებაში
არსებობს კვლევა იტალიელი ლეონარდო და ვინჩის ნამუშევრებზე "ვიტრუვიელი კაცი" და "მონა ლიზა", რომლებიც ვარაუდობენ. ოქროს მართკუთხედების გამოყენება.
ოქროს თანაფარდობა ბუნებაში
არის კვლევები, რომლებიც მიუთითებენ ა კავშირი ოქროს თანაფარდობასა და გარკვეული მცენარის ფოთლების განაწილების გზას შორის ღეროზე. ფოთლების ამ განლაგებას ფილოტაქსია ეწოდება.
ოქროს თანაფარდობა დიზაინში
ოქროს თანაფარდობა ასევე შესწავლილია და გამოიყენება დიზაინის სფეროში, როგორც ა პროექტის შემადგენლობის ინსტრუმენტი.
ამოხსნილი სავარჯიშოები ოქროს კვეთაზე
კითხვა 1
(Enem) ხაზის სეგმენტი იყოფა ორ ნაწილად ოქროს თანაფარდობით, როდესაც მთელი არის ერთ ნაწილთან იმავე თანაფარდობით, რაც არის ეს ნაწილი მეორესთან. პროპორციულობის ეს მუდმივი ჩვეულებრივ წარმოდგენილია ბერძნული ასო ϕ და მისი მნიშვნელობა მოცემულია ϕ2 = ϕ+1 განტოლების დადებითი ამონახსნით.
ისევე როგორც ძალა \(ϕ^2\)ϕ-ის უმაღლესი ძალები შეიძლება გამოიხატოს ფორმით \(aϕ+b\), სადაც a და b არის დადებითი მთელი რიცხვები, როგორც ნაჩვენებია ცხრილში.
პოტენცია \(ϕ^7\), დაწერილი aϕ+b (a და b დადებითი მთელი რიცხვებია), არის
ა) 5ϕ+3
ბ) 7ϕ+2
გ) 9ϕ+6
დ) 11ϕ+7
ე) 13ϕ+8
რეზოლუცია
როგორც \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Ჩვენ უნდა
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
დისტრიბუციის გამოყენება,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
როგორც \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E ალტერნატივა.
კითხვა 2
შეაფასეთ ქვემოთ მოცემული თითოეული განცხადება ოქროს რიცხვის შესახებ, როგორც T (მართალი) ან F (მცდარი).
მე. ოქროს რიცხვი ϕ ირაციონალურია.
II. კოეფიციენტები თითოეულ წევრსა და მის წინამორბედს შორის ფიბონაჩის მიმდევრობაში უახლოვდება ϕ მნიშვნელობას.
III. 1.618 არის ოქროს რიცხვის ϕ დამრგვალება სამ ათწილადამდე.
სწორი თანმიმდევრობა, ზემოდან ქვემოდან, არის
ა) V-V-V
ბ) ფ-ვ-ფ
გ) V-F-V
დ) ფ-ფ-ფ
ე) F-V-V
რეზოლუცია
მე. მართალია.
II. მართალია.
III. მართალია.
ალტერნატივა ა.
წყაროები
ფრანცისკო, ს.ვ. ლ. მომხიბვლელობასა და ოქროს კვეთის რეალობას შორის. დისერტაცია (პროფესიული მაგისტრის ხარისხი მათემატიკაში ეროვნულ ქსელში) – ბიომეცნიერებათა, წერილებისა და ზუსტი მეცნიერებების ინსტიტუტი, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. სან პაულო, 2017 წელი. Ხელმისაწვდომია: http://hdl.handle.net/11449/148903.
გაყიდვები, ჯ. ს-დან ბუნებაში არსებული ოქროს თანაფარდობა. კურსის დასრულება (მათემატიკის ხარისხი), პიაუს განათლების, მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების ფედერალური ინსტიტუტი. პიაუი, 2022 წ. Ხელმისაწვდომია http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
მარია ლუიზა ალვეს რიზო
Მათემატიკის მასწავლებელი
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
