ბისექტორი: რა არის, როგორ ავაშენოთ იგი, განტოლება

ბისექტორი და პერპენდიკულარული ხაზი სეგმენტზე, რომელიც კვეთს მის შუა წერტილს. ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ სეგმენტის პერპენდიკულარული ბისექტორი ხაზისა და კომპასის გამოყენებით. Ზე სამკუთხედიპერპენდიკულარული ბისექტრები არის ხაზები, რომლებიც პერპენდიკულარულია გვერდებზე, რომლებიც შეიცავს მათ შუა წერტილებს. ამრიგად, სამკუთხედს აქვს სამი პერპენდიკულარული ბისექტორი. წერტილს, სადაც ეს ბისექტრები ხვდებიან, ეწოდება წრეცენტრი და წარმოადგენს სამკუთხედზე შემოხაზული წრის ცენტრს.

წაიკითხეთ ასევე: მანძილი ორ წერტილს შორის — უმოკლესი გზა ორ წერტილს შორის დეკარტის სიბრტყეში

ამ სტატიის თემები

• 1 - რეზიუმე ბისექტრის შესახებ
• 2 - რა არის ბისექტორი?
• 3 - როგორ ავაშენოთ პერპენდიკულარული ბისექტორი?
• 4 - როგორ მოვძებნოთ ბისექტრის განტოლება?
• 5 - სამკუთხედის ბისექტორი
• 6 - განსხვავებები ბისექტრს, მედიანას, ბისექტარს და სამკუთხედის სიმაღლეს შორის
• 7 - ამოხსნილი სავარჯიშოები ბისექტორზე

• ბისექტორი არის სწორი შუა წერტილში გამავალი სეგმენტის პერპენდიკულარული.

• პერპენდიკულარული ბისექტრის წერტილები თანაბრად არის დაშორებული სეგმენტის ბოლო წერტილებიდან.

• პერპენდიკულარული ბისექტორი შეიძლება აშენდეს მმართველით და კომპასით.

• პერპენდიკულარული ბისექტრის განტოლება შეიძლება განისაზღვროს სეგმენტის ბოლო წერტილების კოორდინატებზე დაყრდნობით.

• სამკუთხედს აქვს სამი პერპენდიკულარული ბისექტორი, ერთი თითოეული მხარის მიმართ.

• სამკუთხედის ბისექტორების გადაკვეთის წერტილს წრე ცენტრი ეწოდება. ეს წერტილი არის სამკუთხედის შემოხაზული წრის ცენტრი.

• სამკუთხედის ბისექტრი განსხვავდება მედიანისგან, ბისექტრისა და სამკუთხედის სიმაღლისგან.

არ გაჩერდე ახლა... საჯაროობის შემდეგ კიდევ არის ;)

სეგმენტის გათვალისწინებით, პერპენდიკულარული ბისექტორი არის ხაზის პერპენდიკულარული სეგმენტი რომ წყვეტს თქვენს შუა წერტილი.

პერპენდიკულარული ბისექტორი m კვეთს AB მონაკვეთს M შუა წერტილში.

ამ განმარტების მნიშვნელოვანი შედეგია ის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე ყველა წერტილი ერთნაირი მანძილია სეგმენტის ბოლო წერტილებიდან. მათემატიკური სიმბოლიკაში, თუ AB არის სეგმენტი და წერტილი P ეკუთვნის ბისექტორს, მაშინ PA = PB.

m პერპენდიკულარული ბისექტრის P წერტილები თანაბრად არის დაშორებული AB სეგმენტის ბოლო წერტილებიდან.

სეგმენტის პერპენდიკულარული ბისექტრის ასაგებად, ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ მმართველი და კომპასი. მშენებლობის ეტაპები შემდეგია:

• Ნაბიჯი 1: AB სეგმენტის გათვალისწინებით, გახსენით კომპასი სეგმენტის ნახევარზე მეტი სიგრძით. მინიშნება: ერთი შესაძლებლობა არის თავად სეგმენტის სიგრძის გამოყენება.

ჩვენ შევარჩიეთ CB ზომა კომპასის გასახსნელად.

• ნაბიჯი 2: დახატე ერთი გარშემოწერილობა ცენტრით სეგმენტის ერთ ბოლოში და რადიუსით 1-ელ საფეხურზე არჩეული ზომით.

წრე B ცენტრით და CB რადიუსით

• ნაბიჯი 3: გაიმეორეთ ნაბიჯი 2 სეგმენტის მეორე ბოლოსთვის.

 ახალი წრე A ცენტრით და CB რადიუსით.

• ნაბიჯი 4: შეუერთეთ წრეების გადაკვეთის წერტილები მმართველთან.

ბოლო საფეხურზე ჩამოყალიბებული ხაზი არის სეგმენტის ბისექტორი.

ვინაიდან პერპენდიკულარული ბისექტორი სწორი ხაზია, შეგვიძლია განვსაზღვროთ a განტოლება რომელიც აღწერს თქვენს ქულებს, ყოფნას რ ხაზი, რომელიც შეიცავს სეგმენტს AB გაცემული, ს ამ სეგმენტის ბისექტრი და პ (x, y) ნებისმიერი წერტილი პერპენდიკულარულ ბისექტორზე.

ვივარაუდოთ, რომ წერტილების კოორდინატები ა Ეს არის ბ ცნობილია, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ კუთხოვანი კოეფიციენტი ნ სწორის რ. როგორც რ Ეს არის ს არიან პერპენდიკულარული, ფერდობზე მ სწორის ს (პერპენდიკულარული ბისექტორი) ასევე შეიძლება მოიძებნოს, რადგან ის არის მრავლობითი ინვერსიის საპირისპირო. ნ. წრფის ფუნდამენტური განტოლებისთვის გამოხატვის გამოყენება, \(y-y_0=m (x-x_0)\), რაზე \(M(x\_0,y\_0)\) არის შუა წერტილი AB, ჩვენ დავასრულეთ ბისექტრის განტოლება.

• მაგალითი:

განსაზღვრეთ A(1,2) და B(3,6) წერტილებით განსაზღვრული მონაკვეთის ბისექტრული განტოლება.

რეზოლუცია:

პირველი, მოდით მივიღოთ ფერდობზე ნ სწორის რ რომელიც შეიცავს სეგმენტს AB:

\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)

ახლა ჩვენ ვეძებთ სეგმენტის შუა წერტილს M AB:

\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)

გახსოვდეთ, რომ პერპენდიკულარული ბისექტორი ს სასურველი არის ხაზის პერპენდიკულარული რ (რომელიც შეიცავს სეგმენტს AB). შემდეგ, კუთხოვანი კოეფიციენტი მ სწორის ს და კუთხოვანი კოეფიციენტი ნ სწორის რ დაკავშირებულია შემდეგნაირად:

\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)

ამიტომ, \( m_s=\frac{-1}2\).

და ბოლოს, ჩვენ ვიყენებთ წრფის ფუნდამენტურ განტოლებას, რათა განვსაზღვროთ ბისექტორი s, წრფე, რომელსაც აქვს დახრილობა ტოლი \(-\frac{1}2\) და გადის წერტილში (2,4):

\(y-y_0=m\cdot (x-x_0)\)

\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)

\(y=-\frac{1}2 x+5\)

სამკუთხედის სამი გვერდი არის ხაზის სეგმენტები. ამრიგად, ტერმინი "სამკუთხედის ბისექტორი" აღნიშნავს ამ გეომეტრიული ფიგურის ერთ-ერთი მხარის ბისექტორს. ამიტომ, სამკუთხედიაქვს სამი ბისექტორი. Იხილეთ ქვემოთ:

 სწორი \(მ_1\), \(მ_2\) Ეს არის \(მ_3\) არის სამკუთხედის ბისექტრები.

წერტილს, სადაც სამკუთხედის ბისექტრები ხვდებიან, წრეცენტრი ეწოდება., რადგან ის არის სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი (ანუ წრე, რომელიც გადის სამკუთხედის სამ წვეროზე).

D წერტილს წრეცენტრი ეწოდება.

Მნიშვნელოვანი:რადგან წრეცენტრი არის სამი პერპენდიკულარული ბისექტორის საერთო წერტილი, მისი მანძილი თითოეული წვეროდან ერთნაირია. მათემატიკურ სიმბოლიკაში თუ დ არის სამკუთხედის წრეცენტრი ABC, მაშინ \(AD=BD=CD\).

ბისექტორი, მედიანა, ბისექტორი და სამკუთხედის სიმაღლე სხვადასხვა ცნებებია. მოდით შევხედოთ თითოეულს ცალკე და შემდეგ ერთად.

• სამკუთხედის ბისექტორი: არის ერთ-ერთი მხარის პერპენდიკულარული ხაზი, რომელიც კვეთს მის შუა წერტილს.

სამკუთხედის ბისექტორი.

• სამკუთხედის მედიანა: არის სეგმენტი ბოლო წერტილებით სამკუთხედის წვეროსთან და წვეროს მოპირდაპირე მხარის შუა წერტილში.

 სამკუთხედის მედიანა.

• სამკუთხედის ბისექტორი: არის სეგმენტი, რომელიც იყოფა ერთ-ერთ ნახევრად კუთხეები სამკუთხედის გვერდები, ბოლო წერტილებით ერთ-ერთ წვეროზე და მოპირდაპირე მხარეს.

სამკუთხედის ბისექტორი.

• სამკუთხედის სიმაღლე: არის ერთ-ერთი მხარის პერპენდიკულარული სეგმენტი, რომელსაც ბოლო აქვს მხარის მოპირდაპირე კუთხით.

სამკუთხედის სიმაღლე

შემდეგ სურათზე ჩვენ გამოვყოფთ სამკუთხედის BC სეგმენტთან მიმართებაში სიმაღლეს (წერტილი ტირე ნარინჯისფერში), ბისექტორი (დაწყვეტილი ხაზი მეწამულში), მედიანა (წერტილი ხაზი მწვანეში) და პერპენდიკულარული ბისექტორი (მყარი ხაზი წითელი).

სამკუთხედის სიმაღლის, ბისექტრის, შუასა და ბისექტრის შედარება.

Მნიშვნელოვანი: Ზე ტოლგვერდა სამკუთხედიანუ, რომელსაც აქვს სამი გვერდი და სამი კუთხე ტოლი, ბისექტრები, მედიანები, ბისექტრები და სიმაღლეები ემთხვევა ერთმანეთს. შესაბამისად, სამკუთხედის შესამჩნევი წერტილები (წრიული ცენტრი, ბარიცენტრი, ცენტრი და ორთოცენტრი) ასევე ემთხვევა. ქვემოთ მოყვანილ სურათზე ჩვენ გამოვყოფთ BC სეგმენტთან მიმართებაში, ბისექტრი, მედიანა, ბისექტორი და სიმაღლე უწყვეტი შავი ხაზით. ხაზგასმული წერტილი E არის ABC სამკუთხედის წრე, ბარიცენტრი, ცენტრი და ორთოცენტრი.

იხილეთ ასევე: მეტრულ მიმართებები ჩაწერილ ტოლგვერდა სამკუთხედში - რა არის ისინი?

კითხვა 1

განვიხილოთ ქვემოთ მოცემული განცხადებები.

მე. სამკუთხედის ბისექტორი არის სეგმენტი, რომელიც იწყება წვეროდან და კვეთს მოპირდაპირე მხარის შუა წერტილს.

II. წერტილს, სადაც სამკუთხედის ბისექტრები ხვდებიან, წრეცენტრი ეწოდება. ეს წერტილი არის წრის ცენტრი, რომელიც შემოიფარგლება სამკუთხედით და თანაბრად არის დაშორებული წვეროებიდან.

III. სეგმენტის ბისექტორი არის პერპენდიკულარული ხაზი, რომელიც კვეთს სეგმენტს შუა წერტილში.

რომელი ალტერნატივა შეიცავს სწორს?

ა) მხოლოდ მე.

ბ) II, მხოლოდ.

გ) III, მხოლოდ.

დ) I და II.

ე) II და III.

რეზოლუცია:

ალტერნატივა ე

დებულება I ერთადერთი არასწორია, რადგან ის აღწერს სამკუთხედის მედიანას.

კითხვა 2

(Enem — ადაპტირებული) ბოლო წლებში ტელევიზიამ განიცადა ნამდვილი რევოლუცია გამოსახულების ხარისხის, ხმის და მაყურებელთან ინტერაქტიულობის თვალსაზრისით. ეს ტრანსფორმაცია განპირობებულია ანალოგური სიგნალის ციფრულ სიგნალად გადაქცევით. თუმცა, ბევრ ქალაქს ჯერ კიდევ არ აქვს ეს ახალი ტექნოლოგია. ამ სარგებლის მიტანის მიზნით, ტელევიზია აპირებს ააშენოს ახალი გადამცემი კოშკი, რომელიც აგზავნის სიგნალს ამ ქალაქებში უკვე არსებულ A, B და C ანტენებზე. ანტენის ადგილები წარმოდგენილია კარტეზიულ სიბრტყეში:

კოშკი უნდა განთავსდეს სამი ანტენისგან თანაბარ მანძილზე. ამ კოშკის ასაგებად შესაფერისი ადგილი შეესაბამება კოორდინატების წერტილს

ა) (65, 35).

ბ) (53, 30).

გ) (45, 35).

დ) (50, 20).

ე) (50, 30).

რეზოლუცია:

ალტერნატივა ე

გაითვალისწინეთ, რომ კოშკის მდებარეობა უნდა იყოს A, B და C წერტილებით წარმოქმნილი სამკუთხედის წრე, რადგან ეს არის სამი ანტენის თანაბარი მანძილი.

T კოშკის კოორდინატებია\( (x_t, y_t )\). ვინაიდან T ეკუთვნის AB-ის ბისექტორს (მოცემულია x = 50 ხაზით), კოშკის ჰორიზონტალური მდებარეობა უნდა იყოს \(x_t=50\).

ჰორიზონტალური კოორდინატის დასადგენად \(y_t\) კოშკის, ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთქმა შეგვიძლია გამოვიყენოთ ორჯერ. ვინაიდან კოშკი თანაბრად არის დაშორებული, მაგალითად, A და C წვეროებიდან (AT = CT), გვაქვს:

\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)

გამარტივება, ჩვენ ვიღებთ \(y_t=30\).

მარია ლუიზა ალვეს რიზო
Მათემატიკის მასწავლებელი

გაარკვიეთ რა არის მრავალკუთხედის აპოთემა და როგორ გამოვთვალოთ მისი ზომა. ასევე იცოდეთ ამ გაანგარიშების ძირითადი ფორმულები.

იხილეთ აქ გარშემოწერილობის ძირითადი მახასიათებლები და ისწავლეთ როგორ გამოვთვალოთ მისი ფართობი და სიგრძე. აგრეთვე იხილეთ წრის განტოლების დაწერა.

წრფის დახრის კუთხის ტანგენტის განსაზღვრა.

უმოკლეს მანძილი ნებისმიერ ორ წერტილს შორის არის სწორი ხაზი. ნახეთ, როგორ გამოვთვალოთ ეს მანძილი და ისწავლეთ როგორ დაამყაროთ მათემატიკური ურთიერთობა მის დასადგენად

გაარკვიეთ რა არის წრფის ზოგადი განტოლება და როგორ უნდა იპოვოთ იგი, გარდა ამისა, შეამოწმეთ წრფის გრაფიკული გამოსახულება მისი განტოლებიდან.

ისწავლეთ როგორ გამოვთვალოთ ხაზის სეგმენტის შუა წერტილი ანალიტიკური გეომეტრიის გამოყენებით!

იხილეთ აქ სამკუთხედის მნიშვნელოვანი წერტილები და შეიტყვეთ მისი ძირითადი თვისებები. აგრეთვე იხილეთ, როგორ შეუძლია ამ პუნქტებს ხელი შეუწყოს ზოგიერთი პრობლემის გადაჭრას.

გაიგე რა არის პერპენდიკულური წრფეები და გაიგე რა პირობაა დეკარტის სიბრტყეში წარმოდგენილი ორი წრფე იყოს პერპენდიკულარული თუ არა.