აპოთემა: რა არის ეს, მაგალითები, როგორ გამოვთვალოთ

ო აპოთემა მრავალკუთხედის არის სეგმენტი ბოლო წერტილებით მრავალკუთხედის ცენტრში და ერთ-ერთი გვერდის შუა წერტილში. ეს სეგმენტი ქმნის 90° კუთხეს მრავალკუთხედის შესაბამის მხარესთან.

აპოთემის საზომის გამოსათვლელად აუცილებელია განხილული მრავალკუთხედის მახასიათებლები. გეომეტრიული ფორმის მიხედვით, შესაძლებელია ფორმულის აგება ამ ზომის მისაღებად. მნიშვნელოვანი დაკვირვება არის ის, რომ რეგულარული მრავალკუთხედის აპოთემის ზომა უდრის მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრეწირის რადიუსის ზომას.

წაიკითხეთ ასევე: რა არის ბისექტორი?

ამ სტატიის თემები

• 1 - რეზიუმე აპოთემის შესახებ
• 2 - აპოთემის მაგალითები
• 3 - როგორია აპოთემის ფორმულები?
  • ტოლგვერდა სამკუთხედის აპოთემის ფორმულა
  • კვადრატული ფორმულის აპოთემა
  • რეგულარული ექვსკუთხა აპოთემის ფორმულა
  • პირამიდის აპოთემის ფორმულა
• 4 - როგორ გამოითვლება აპოთემა?
• 5 - ამოხსნილი სავარჯიშოები აპოთემაზე

რეზიუმე აპოთემის შესახებ

• აპოთემა არის მრავალკუთხედის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ცენტრს (პერპენდიკულარული ბისექტორების შეხვედრის წერტილი) ერთ-ერთი გვერდის შუა წერტილთან.

• კუთხე აპოთემსა და მრავალკუთხედის შესაბამის მხარეს შორის არის 90°.

• რეგულარული მრავალკუთხედის აპოთემის ზომა უდრის მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსის ზომას.

• გვერდის ტოლგვერდა სამკუთხედის აპოთემა OM ლ მოცემულია ფორმულით

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

• გვერდის კვადრატის აპოთემა OM ლ მოცემულია ფორმულით

\(OM = \frac{l}2\)

• რეგულარული ექვსკუთხედის აპოთემა OM ერთ მხარეს ლ მოცემულია ფორმულით

\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)

• პირამიდის აპოთემა არის სეგმენტი, რომელიც უერთდება წვეროს ფუძის ერთ-ერთი კიდეების შუა წერტილს და მისი ზომა შეიძლება მივიღოთ პითაგორას თეორემით.

არ გაჩერდე ახლა... საჯაროობის შემდეგ კიდევ არის ;)

აპოთემის მაგალითები

მრავალკუთხედის აპოთემის საპოვნელად, ჩვენ უნდა ავაშენოთ ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მრავალკუთხედის ცენტრს ერთ-ერთი გვერდის შუა წერტილთან. გახსოვდეთ, რომ მრავალკუთხედის ცენტრი არის ბისექტორები.

ტოლგვერდა სამკუთხედის, კვადრატის, წესიერი ხუთკუთხედის და წესიერი ექვსკუთხედის აპოთემა, შესაბამისად.

ამ მაგალითებში აპოთემა განიხილებოდა სიბრტყის მრავალკუთხედებში. თუმცა, არის კოსმოსური ობიექტი, რომელსაც აქვს სხვა სახის აპოთემა: პირამიდა.

პირამიდაში ორი სახის აპთემაა: ფუძის აპოთემა, რომელიც არის მრავალკუთხედის აპოთემა, რომელიც ქმნის პირამიდის ფუძეს, და პირამიდის აპოთემა, რომელიც არის სეგმენტი, რომელიც აერთებს წვეროს ფუძის კიდის შუა წერტილთან (ანუ ის არის ფუძის გვერდითი სახის სიმაღლე). პირამიდა).

ქვემოთ მოყვანილი კვადრატული ფუძის მაგალითში, სეგმენტი OM არის ფუძის აპოთემა, ხოლო სეგმენტი VM არის პირამიდის აპოთემა, სადაც M არის BC-ის შუა წერტილი.

კვადრატული ბაზის პირამიდა

რა არის აპოთემის ფორმულები?

მრავალკუთხედის, განსაკუთრებით რეგულარული მრავალკუთხედის მახასიათებლების გაცნობით, ჩვენ შეგვიძლია შევიმუშავოთ ფორმულები აპოთემის ზომის გამოსათვლელად. ვნახოთ, რა არის ეს ფორმულები ძირითადი რეგულარული მრავალკუთხედებისთვის.

• ტოლგვერდა სამკუთხედის აპოთემის ფორმულა

ზე ტოლგვერდა სამკუთხედის შემთხვევა, სიმაღლე და მედიანა მოცემულ მხარესთან შედარებით იგივეა. ეს ნიშნავს, რომ მრავალკუთხედის ცენტრი ემთხვევა ბარიცენტრი სამკუთხედის. ამრიგად, წერტილი O ყოფს AM სიმაღლეს შემდეგნაირად:

\(AO = \frac{2}3 AM\) Ეს არის \(OM=\frac{1}3 AM\)

გახსოვდეთ, რომ საზომი ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე ლ მოცემულია:

\(სიმაღლე\ სამკუთხედი\ ტოლგვერდა=\frac{l\sqrt3}2\)

მაშასადამე, რადგან AM არის ABC ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე და OM სეგმენტი არის სამკუთხედის აპოთემა, შეგვიძლია განვავითაროთ შემდეგი გამოთქმა OM-ის საზომისთვის, იმის გათვალისწინებით, რომ სამკუთხედის გვერდი ზომავს. ლ:

\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

• კვადრატული ფორმულის აპოთემა

მოედნის შემთხვევაში, აპოთემის ზომა შეესაბამება მხარის სიგრძის ნახევარს. ამრიგად, თუ O არის კვადრატის ცენტრი, M არის ერთ-ერთი გვერდის შუა წერტილი და ლ არის კვადრატის გვერდის სიგრძე, ამიტომ OM აპოთემის ფორმულა არის

\(OM=\frac{l}2\)

• რეგულარული ექვსკუთხა აპოთემის ფორმულა

რეგულარულ ექვსკუთხედში აპოთემა შეესაბამება ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლეს, რომელსაც აქვს წვეროები ერთ-ერთი გვერდის ორ ბოლოზე და მრავალკუთხედის ცენტრში. ქვემოთ მოცემულ მაგალითში, რეგულარული ექვსკუთხედის OM აპოთემა არის OCD ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე, სადაც M არის CD-ის შუა წერტილი.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ცნობილია ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე. ამრიგად, თუ რეგულარული ექვსკუთხედის მხარე ზომავს ლ, მაშინ OM აპოთემის ფორმულა არის

\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)

• პირამიდის აპოთემის ფორმულა

პირამიდის აპოთემის ზომა შეიძლება მივიღოთ პითაგორას თეორემის დახმარება. ქვემოთ მოცემულ მაგალითში, კვადრატულ პირამიდაში, სამკუთხედი VOM არის მართკუთხედი, ფეხებით VO და OM და ჰიპოტენუზა VM. გაითვალისწინეთ, რომ VO არის პირამიდის სიმაღლე, OM არის ფუძის აპოთემა და VM არის პირამიდის აპოთემა.

კვადრატული ბაზის პირამიდა

ამრიგად, პირამიდის აპოთემის ზომის დასადგენად, უნდა გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა:

\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)

ფრთხილად! VM არის ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე და არა ტოლგვერდა სამკუთხედის. ასე რომ, ამ შემთხვევაში, ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლის ფორმულა.

როგორ გამოითვლება აპოთემა?

მრავალკუთხედის ან პირამიდის აპოთემის გამოსათვლელად შეგვიძლია გამოვიყენოთ აგებული ფორმულები ან დავაკავშიროთ აპოთემა ჩაწერილი წრის რადიუსთან.

• მაგალითი 1: დავუშვათ, რომ 3 სმ რადიუსის წრე ჩაწერილია ტოლგვერდა სამკუთხედში. რა არის ამ სამკუთხედის აპოთემის ზომა?

ვინაიდან მრავალკუთხედის აპოთემას აქვს იგივე ზომა, რაც ჩაწერილი წრის რადიუსი, სამკუთხედის აპოთემა არის 3 სმ.

• მაგალითი 2: რა არის 4 სმ გვერდის მქონე რეგულარული ექვსკუთხედის აპოთემის ზომა?

რეგულარული ექვსკუთხედის აპოთემის ფორმულის გამოყენებით \(l=4\) სმ, ჩვენ უნდა

\(გაზომვა\\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ სმ\)

წაიკითხეთ ასევე: ყველაფერი სამკუთხედის შესამჩნევი წერტილების შესახებ

ამოხსნილი სავარჯიშოები აპოთემაზე

კითხვა 1

თუ 4 სმ სიმაღლის პირამიდას აქვს ბაზის აპოთემა 3 სმ, მაშინ პირამიდის აპოთემის გაზომვა არის

ა) 5 სმ

ბ) 6 სმ

გ) 7 სმ

დ) 8 სმ

ე) 9 სმ

რეზოლუცია:

პირამიდაში შეგვიძლია ავაშენოთ მართკუთხა სამკუთხედი, რომელშიც ერთი ფეხი არის ფუძის აპოთემა, მეორე ფეხი არის პირამიდის სიმაღლე და ჰიპოტენუზა არის პირამიდის აპოთემა. ამრიგად, პითაგორას თეორემის გამოყენება x ზომის ჰიპოტენუზაზე,

\(x^2=3^2+4^2\)

\(x = 5\ სმ\)

ალტერნატივა ა.

კითხვა 2

თუ კვადრატის აპოთემა არის y სმ, მაშინ კვადრატის გვერდი არის

) \(\frac{1}3წ \) სმ

ბ) \(\frac{1}2y \) სმ

გ) y სმ

დ) 2წ სმ

ე) 3წ სმ

რეზოლუცია

კვადრატის აპოთემა არის კვადრატის გვერდის სიგრძის ნახევარი. ამიტომ, თუ აპოთემა ზომავს y სმ, კვადრატი ზომავს 2y სმ.

ალტერნატივა D.

მარია ლუიზა ალვეს რიზო
Მათემატიკის მასწავლებელი

გსურთ ამ ტექსტის მითითება სასკოლო ან აკადემიურ ნაშრომში? შეხედე:

RIZZO, მარია ლუიზა ალვესი. "აპოთემა"; ბრაზილიის სკოლა. Ხელმისაწვდომია: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/apotema.htm. წვდომა 2023 წლის 16 მაისს.

გაიგეთ რა არის სამკუთხედის ბარიცენტრი და როგორ გამოვთვალოთ იგი დეკარტის სიბრტყეში, გარდა მისი თვისებების შესამოწმებლად.

დააწკაპუნეთ და ისწავლეთ შემოხაზული მრავალკუთხედების აგება და შეიტყვეთ მეტი წრეწირთან ამ ურთიერთობის შესახებ.

გაიგე რა არის ექვსკუთხედი და იცოდე მისი კლასიფიკაცია, მახასიათებლები და თვისებები. ასევე ისწავლეთ ფორმულები მისი ფართობისა და პერიმეტრის გამოსათვლელად.

დააწკაპუნეთ აქ, გაარკვიეთ რა არის პერპენდიკულარული ბისექტორი და გაიგეთ როგორ ავაშენოთ იგი. ასევე ისწავლეთ განსხვავება პერპენდიკულარულ ბისექტორს, მედიანას, ბისექტარს და სამკუთხედის სიმაღლეს შორის.

გაიგე რა არის პირამიდა და ნახე მისი ძირითადი ელემენტები. შეამოწმეთ სხვადასხვა ტიპის პირამიდები და როგორ გამოვთვალოთ მათი მოცულობა და ფართობი.

შეიტყვეთ რა არის რეგულარული მრავალკუთხედი და განასხვავეთ რეგულარული მრავალკუთხედები არარეგულარული მრავალკუთხედებისგან. ასევე გამოთვალეთ რეგულარული მრავალკუთხედის ფართობი და პერიმეტრი.

ისწავლეთ როგორ გამოვთვალოთ ხაზის სეგმენტის შუა წერტილი ანალიტიკური გეომეტრიის გამოყენებით!

იხილეთ აქ სამკუთხედის მნიშვნელოვანი წერტილები და შეიტყვეთ მისი ძირითადი თვისებები. აგრეთვე იხილეთ, როგორ შეუძლია ამ პუნქტებს ხელი შეუწყოს ზოგიერთი პრობლემის გადაჭრას.

დააწკაპუნეთ იმის გასარკვევად, თუ რა არის კვადრატები, მათი მახასიათებლები საერთო სხვა გეომეტრიული ფიგურებისთვის და მათი სპეციფიკური თვისებები.

პითაგორას თეორემა ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტია სამკუთხედების შესწავლაში. დააწკაპუნეთ აქ, გაეცანით მის ფორმულას და გაიგეთ როგორ გამოიყენოთ იგი!