სტანდარტული გადახრა: რა არის ეს, როგორ გამოვთვალოთ იგი, მაგალითები

ო სტანდარტული გადახრა არის დისპერსიის საზომი, ისევე როგორც ვარიაცია და ვარიაციის კოეფიციენტი. სტანდარტული გადახრის დადგენისას, ჩვენ შეგვიძლია დავადგინოთ დიაპაზონი საშუალო არითმეტიკულის გარშემო (დაყოფა სიაში რიცხვთა ჯამს და დამატებულ რიცხვებს შორის) სადაც კონცენტრირებულია მონაცემთა უმეტესობა. რაც უფრო დიდია სტანდარტული გადახრის მნიშვნელობა, მით მეტია მონაცემების ცვალებადობა, ანუ მით მეტია გადახრა საშუალო არითმეტიკულიდან.

წაიკითხეთ ასევე: რეჟიმი, საშუალო და მედიანა - ცენტრალური ტენდენციების ძირითადი ზომები

სტანდარტული გადახრის შეჯამება

• სტანდარტული გადახრა არის ცვალებადობის საზომი.
• სტანდარტული გადახრის აღნიშვნა არის პატარა ბერძნული ასო სიგმა (σ) ან ასო s.
• სტანდარტული გადახრა გამოიყენება საშუალოზე მონაცემების ცვალებადობის შესამოწმებლად.
• სტანდარტული გადახრა განსაზღვრავს დიაპაზონს \(\მარცხნივ[\mu-\sigma,\mu+\sigma\right]\), სადაც განთავსებულია მონაცემების უმეტესობა.
• სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ დისპერსიის კვადრატული ფესვი:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\მარცხნივ (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

რა არის სტანდარტული გადახრა?

სტანდარტული გადახრა არის ა სტატისტიკაში მიღებული დისპერსიული ღონისძიება. მისი გამოყენება დაკავშირებულია ვარიაციის ინტერპრეტაცია, რომელიც ასევე დისპერსიის საზომია.

პრაქტიკაში, სტანდარტული გადახრა განსაზღვრავს არითმეტიკულ საშუალოზე ორიენტირებულ ინტერვალს, რომელშიც კონცენტრირებულია მონაცემთა უმეტესობა. ამრიგად, რაც უფრო დიდია სტანდარტული გადახრის მნიშვნელობა, მით მეტია მონაცემების არარეგულარულობა (მეტი ინფორმაცია ჰეტეროგენული), და რაც უფრო მცირეა სტანდარტული გადახრის მნიშვნელობა, მით უფრო მცირეა მონაცემების არარეგულარულობა (მეტი ინფორმაცია ერთგვაროვანი).

როგორ გამოვთვალოთ სტანდარტული გადახრა?

მონაცემთა ნაკრების სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად, უნდა ვიპოვოთ დისპერსიის კვადრატული ფესვი. ასე რომ, სტანდარტული გადახრის გამოთვლის ფორმულა არის

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\მარცხნივ (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

• \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → ჩართული მონაცემები.
• μ → მონაცემების საშუალო არითმეტიკული.
• N → მონაცემთა რაოდენობა.
• \( \sum_{i=1}^{N}\მარცხნივ (x_i-\mu\right)^2\ =\ \მარცხნივ (x_1-\mu\right)^2+\მარცხნივ (x_2-\mu\მარჯვნივ )^2+\მარცხნივ (x_3-\mu\right)^2+...+\მარცხნივ (x_N-\mu\right)^2 \)

ბოლო პუნქტი, რომელიც მიუთითებს რადიკანდის მრიცხველზე, მიუთითებს თითოეულ მონაცემთა წერტილსა და არითმეტიკულ საშუალოს შორის სხვაობის კვადრატების ჯამს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ სტანდარტული გადახრის საზომი ერთეული არის იგივე გაზომვის ერთეული, როგორც მონაცემები x₁,x₂,x₃,…,x_არა.

მიუხედავად იმისა, რომ ამ ფორმულის დაწერა ცოტა რთულია, მისი გამოყენება უფრო მარტივი და პირდაპირია. ქვემოთ მოცემულია მაგალითი იმისა, თუ როგორ გამოვიყენოთ ეს გამოხატულება სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად.

• მაგალითი:

ორი კვირის განმავლობაში ქალაქში შემდეგი ტემპერატურა დაფიქსირდა:

კვირა/დღე	კვირა	მეორე	მესამე	მეოთხე	მეხუთე	პარასკევი	შაბათი
კვირა 1	29°C	30°C	31°C	31.5°C	28°C	28.5°C	29°C
კვირა 2	28.5°C	27°C	28°C	29°C	30°C	28°C	29°C

რომელ ორ კვირაში შენარჩუნდა ტემპერატურა ამ ქალაქში უფრო რეგულარული?

რეზოლუცია:

ტემპერატურის კანონზომიერების გასაანალიზებლად, ჩვენ უნდა შევადაროთ 1 და 2 კვირაში დაფიქსირებული ტემპერატურის სტანდარტული გადახრები.

• მოდით ჯერ შევხედოთ სტანდარტულ გადახრას 1 კვირისთვის:

გაითვალისწინეთ, რომ საშუალო μ₁ Ეს არის არა₁ ისინი არიან

\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\დაახლოებით 29.57\)

\(N_1=7 \) (კვირაში 7 დღე)

ასევე, უნდა გამოვთვალოთ თითოეულ ტემპერატურასა და საშუალო ტემპერატურას შორის სხვაობის კვადრატი.

\(\მარცხნივ (29-29.57\მარჯვნივ)^2=0.3249\)

\(\მარცხნივ (30-29.57\მარჯვნივ)^2=0.1849\)

\(\მარცხნივ (31-29.57\მარჯვნივ)^2=2.0449\)

\(\მარცხნივ (31.5-29.57\მარჯვნივ)^2=3.7249\)

\(\მარცხნივ (28-29.57\მარჯვნივ)^2=2.4649\)

\(\მარცხნივ (28.5-29.57\მარჯვნივ)^2=1.1449\)

\(\მარცხნივ (29-29.57\მარჯვნივ)^2=0.3249\)

შედეგების დამატებისას მივიღებთ, რომ რადიკანდის მრიცხველი სტანდარტული გადახრის ფორმულაში არის

\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)

ასე რომ, კვირაში 1 სტანდარტული გადახრა არის

\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \დაახლოებით 1.208\ °C\)

შენიშვნა: ეს შედეგი ნიშნავს, რომ 1 კვირის უმეტესი ნაწილი ტემპერატურაა [28.36 °C, 30.77 °C] ინტერვალში, ანუ ინტერვალში. \(\მარცხნივ[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\მარჯვნივ]\).

• ახლა მოდით შევხედოთ მე-2 კვირის სტანდარტულ გადახრას:

იგივე მსჯელობის შემდეგ გვაქვს

\(\mu_2=\frac{28.5+27+28+29+30+28+29}{7}=28.5\)

\(N_2=7\)

\(\მარცხნივ (28.5-28.5\მარჯვნივ)^2=0\)

\(\მარცხნივ (27-28.5\მარჯვნივ)^2=2.25\)

\(\მარცხნივ (28-28.5\მარჯვნივ)^2=0.25\)

\(\მარცხნივ (29-28.5\მარჯვნივ)^2=0.25\)

\(\მარცხნივ (30-28.5\მარჯვნივ)^2=2.25\)

\(\მარცხნივ (28-28.5\მარჯვნივ)^2=0.25\)

\(\მარცხნივ (29-28.5\მარჯვნივ)^2=0.25\)

\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)

ასე რომ, მე-2 კვირის სტანდარტული გადახრა არის

\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \დაახლოებით 0,89\ °C\)

ეს შედეგი ნიშნავს, რომ 2 კვირის ტემპერატურის უმეტესობა დიაპაზონშია \(\მარცხნივ[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\მარჯვნივ]\), ანუ დიაპაზონი \(\მარცხნივ[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\მარჯვნივ]\).

გააცნობიეროს, რომ \(\sigma_2, ანუ მე-2 კვირის სტანდარტული გადახრა ნაკლებია 1 კვირის სტანდარტულ გადახრაზე. ამიტომ, მე-2 კვირამ წარმოადგინა უფრო რეგულარული ტემპერატურა, ვიდრე 1 კვირა.

რა არის სტანდარტული გადახრის ტიპები?

სტანდარტული გადახრის ტიპები დაკავშირებულია მონაცემთა ორგანიზაციის ტიპთან. წინა მაგალითში ჩვენ ვიმუშავეთ დაუჯგუფებელი მონაცემების სტანდარტული გადახრით. სხვაგვარად ორგანიზებული მონაცემების ნაკრების სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად (მაგალითად, დაჯგუფებული მონაცემები), თქვენ დაგჭირდებათ ფორმულის კორექტირება.

რა განსხვავებაა სტანდარტულ გადახრასა და დისპერსიას შორის?

სტანდარტული გადახრა არის კვადრატული ფესვი განსხვავება:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\მარცხნივ (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\მარცხნივ (x_i-\mu\მარჯვნივ)^2}{N}\)

მონაცემთა ნაკრების ცვალებადობის დასადგენად დისპერსიის გამოყენებისას, შედეგს აქვს მონაცემთა ერთეულის კვადრატი, რაც ართულებს მის ანალიზს. ამრიგად, სტანდარტული გადახრა, რომელსაც აქვს იგივე ერთეული, როგორც მონაცემები, არის შესაძლო ინსტრუმენტი დისპერსიის შედეგის ინტერპრეტაციისთვის.

გაიგე მეტი:აბსოლუტური სიხშირე — რამდენჯერ გამოჩნდა ერთი და იგივე პასუხი მონაცემთა შეგროვების დროს

ამოხსნილი სავარჯიშოები სტანდარტულ გადახრაზე

კითხვა 1

(FGV) 10 მოსწავლისგან შემდგარ კლასში, სტუდენტების შეფასებები იყო:

6

7

7

8

8

8

8

9

9

10

ამ სიის სტანდარტული გადახრა არის დაახლოებით

ა) 0.8.

ბ) 0.9.

გ) 1.1.

დ) 1.3.

ე) 1.5.

რეზოლუცია:

ალტერნატივა C.

განცხადების მიხედვით, N = 10. ამ სიის საშუალო არის

\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)

გარდა ამისა,

\(\მარცხნივ (6-8\მარჯვნივ)^2=4\)

\(\მარცხნივ (7-8\მარჯვნივ)^2=1\)

\(\მარცხნივ (8-8\მარჯვნივ)^2=0\)

\(\მარცხნივ (9-8\მარჯვნივ)^2=1\)

\(\მარცხნივ (10-8\მარჯვნივ)^2=4\)

\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)

ასე რომ, ამ სიის სტანდარტული გადახრა არის

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\დაახლოებით 1.1\)

კითხვა 2

განიხილეთ ქვემოთ მოცემული განცხადებები და შეაფასეთ თითოეული, როგორც T (მართალი) ან F (მცდარი).

მე. დისპერსიის კვადრატული ფესვი არის სტანდარტული გადახრა.

II. სტანდარტულ გადახრას არ აქვს კავშირი საშუალო არითმეტიკასთან.

III. დისპერსიის ზომების მაგალითებია ვარიაცია და სტანდარტული გადახრა.

სწორი თანმიმდევრობა, ზემოდან ქვემოდან, არის

ა) V-V-F

ბ) F-F-V

გ) F-V-F

დ) F-F-F

ე) V-F-V

რეზოლუცია:

E ალტერნატივა.

მე. დისპერსიის კვადრატული ფესვი არის სტანდარტული გადახრა. (მართალია)

II. სტანდარტულ გადახრას არ აქვს კავშირი საშუალო არითმეტიკასთან. (ცრუ)
სტანდარტული გადახრა მიუთითებს არითმეტიკული საშუალოს გარშემო არსებულ ინტერვალზე, რომელშიც მონაცემების უმეტესობა მოდის.

III. დისპერსიის ზომების მაგალითებია ვარიაცია და სტანდარტული გადახრა. (მართალია)

მარია ლუიზა ალვეს რიზო
Მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm