ექვსკუთხედი ეს არის მრავალკუთხედი რომელსაც აქვს 6 მხარე. რეგულარულია, როდესაც ყველა გვერდი და შიდა კუთხე ერთმანეთს შეესაბამება. ის არარეგულარულია, როდესაც მას არ აქვს ეს მახასიათებლები. პირველი შემთხვევა ყველაზე ფართოდ არის შესწავლილი, რადგან როდესაც ექვსკუთხედი რეგულარულია, მას აქვს სპეციფიკური თვისებები და ფორმულები, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ მისი ფართობი, პერიმეტრი და აპოთემა.
წაიკითხეთ ასევე: რა არის losangle?
რეზიუმე ექვსკუთხედის შესახებ
ექვსკუთხედი არის 6 გვერდიანი მრავალკუთხედი.
რეგულარულია, როდესაც ყველა მხარე თანაბარია.
ის არარეგულარულია, როდესაც ყველა მხარე არ არის თანმიმდევრული.
ჩვეულებრივ ექვსკუთხედში, თითოეული შიდა კუთხე ზომავს 120°.
Ჯამი კუთხეები რეგულარული ექვსკუთხედის გარე კიდეები ყოველთვის არის 360°.
რეგულარული ექვსკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
ო პერიმეტრი ექვსკუთხედი არის მისი გვერდების ჯამი. როდესაც ის რეგულარულია, გვაქვს:
P = 6ლ
რეგულარული ექვსკუთხედის აპოთემა გამოითვლება ფორმულით:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
რა არის ექვსკუთხედი?
ექვსკუთხედი არის ნებისმიერი მრავალკუთხედი, რომელიც აქვს 6 გვერდი, შესაბამისად 6 წვერო და 6 კუთხე. რამდენადაც ის მრავალკუთხედია, ეს არის დახურული ბრტყელი ფიგურა გვერდებით, რომლებიც არ იკვეთება. ექვსკუთხედი ბუნებაში განმეორებადი ფორმაა, როგორც თაფლის საჭეებში, სტრუქტურებში ორგანული ქიმია, გარკვეული კუს ჭურვებში და ფიფქებში.
ვიდეო გაკვეთილი მრავალკუთხედების შესახებ
ექვსკუთხა ელემენტები
ექვსკუთხედი შედგება 6 გვერდის, 6 წვერისა და 6 შიდა კუთხისგან.
ვერტიკები: წერტილები A, B, C, D, E, F.
მხარეები: სეგმენტები \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
შიდა კუთხეები: კუთხეები a, b, c, d, f.
ექვსკუთხედების კლასიფიკაცია
ექვსკუთხედები, ისევე როგორც სხვა მრავალკუთხედები, შეიძლება დაიყოს ორი გზით.
რეგულარული ექვსკუთხედი
ექვსკუთხედი რეგულარულია, როცა აქვს მისი ყველა კონგრუენტული მხარე — შესაბამისად, მათი კუთხეებიც კონგრუენტული იქნება. რეგულარული ექვსკუთხედი ყველაზე მნიშვნელოვანია ყველაფერზე, ის არის ყველაზე ფართოდ შესწავლილი. შესაძლებელია მისი რამდენიმე ასპექტის გამოთვლა, როგორიცაა ფართობი, კონკრეტული ფორმულებით.
დაკვირვება: რეგულარული ექვსკუთხედი შეიძლება დაიყოს 6-ად ტოლგვერდა სამკუთხედები, ანუ სამკუთხედები ყველა გვერდით ტოლია.
→ არარეგულარული ექვსკუთხედი
არარეგულარული ექვსკუთხედი არის ის, რაც აქვს მხარეები სხვადასხვა ზომებით. ის შეიძლება იყოს ამოზნექილი ან არაამოზნექილი.
ამოზნექილი არარეგულარული ექვსკუთხედი
ექვსკუთხედი არის ამოზნექილი როცა ყველაფერი გაქვს შიდა კუთხეები 180°-ზე ნაკლები.
→ არარეგულარული არაამოზნექილი ექვსკუთხედი
ექვსკუთხედი არ არის ამოზნექილი, როცა აქვს შიდა კუთხეები 180-ზე მეტი°.
ექვსკუთხედის თვისებები
→ დიაგონალების რაოდენობა ექვსკუთხედში
პირველი მნიშვნელოვანი ქონება არის ის ამოზნექილ ექვსკუთხედში ყოველთვის არის 9 დიაგონალი. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ეს 9 დიაგონალი გეომეტრიულად:
დიაგონალები ალგებრულადაც შეგვიძლია ვიპოვოთ შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:
\(d=\frac{n\მარცხნივ (n-3\მარჯვნივ)}{2}\)
თუ განტოლებაში 6 ჩავანაცვლებთ, გვექნება:
\(d=\frac{6\cdot\მარცხნივ (6-3\მარჯვნივ)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
ასე რომ, ამოზნექილ ექვსკუთხედს ყოველთვის ექნება 9 დიაგონალი.
გაიგე მეტი: მართკუთხა ბლოკის დიაგონალი - სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მის ორ წვეროს, რომლებიც არ არის იმავე სახეზე
→ ექვსკუთხედის შიდა კუთხეები
ექვსკუთხედში, მისი შიდა კუთხეების ჯამი არის 720°. ამ ჯამის შესასრულებლად, უბრალოდ ჩაანაცვლეთ 6 ფორმულაში:
\(S_i=180\მარცხნივ (n-2\მარჯვნივ)\)
\(S_i=180\მარცხნივ (6-2\მარჯვნივ)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
რეგულარულ ექვსკუთხედში შიდა კუთხეები ყოველთვის იქნება 120° თითოეული, რადგან
720°: 6 = 120°
→ რეგულარული ექვსკუთხედის გარე კუთხეები
რაც შეეხება გარე კუთხეებს, ვიცით, რომ მათი ჯამი ყოველთვის უდრის 360°-ს. ვინაიდან არის 6 გარე კუთხე, თითოეული მათგანი ზომავს 60°-ს, როგორც
360°: 6 = 60°
→ რეგულარული ექვსკუთხა აპოთემა
წესიერი მრავალკუთხედის აპოთემად ითვლებახაზის სეგმენტი აკავშირებს მრავალკუთხედის ცენტრს შუა წერტილი შენს მხარეს. როგორც ვიცით, რეგულარული ექვსკუთხედი შედგება 6 ტოლგვერდა სამკუთხედისგან, ამიტომ აპოთემა შეესაბამება ერთ-ერთი ამ ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლეს. ამ სეგმენტის ღირებულება შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ ექვსკუთხედის პერიმეტრი
ექვსკუთხედის პერიმეტრის გამოსათვლელად, უბრალოდ შეასრულეთ მისი 6 მხარის ჯამი. როდესაც ექვსკუთხედი რეგულარულია, მისი გვერდები თანმიმდევრულია, ამიტომ შესაძლებელია ექვსკუთხედის პერიმეტრის გამოთვლა ფორმულის გამოყენებით:
P = 6ლ
→ რეგულარული ექვსკუთხედის ფართობი
როგორც ვიცით, რომ რეგულარული ექვსკუთხედი შედგება 6 ტოლგვერდა სამკუთხედისგან, რომელთა ზომაა L, შესაძლებელია გამოვყოთ ფორმულა მისი ფართობის გამოსათვლელად, გაანგარიშების გამოყენებით. ფართობი ერთი სამკუთხედი ტოლგვერდა გამრავლებული 6-ზე.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
გაითვალისწინეთ, რომ შესაძლებელია გამარტივება 2-ზე გაყოფა, შემდეგ გენერირება ფორმულა ექვსკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
წრეში ჩაწერილი ექვსკუთხედი
ჩვენ ვამბობთ, რომ მრავალკუთხედი ჩაწერილია a-ში გარშემოწერილობა როცა ის არის წრის შიგნით და მისი წვეროები ამის წერტილებია. ჩვენ შეგვიძლია გამოვსახოთ წრეში ჩაწერილი რეგულარული ექვსკუთხედი. როდესაც ჩვენ ვაკეთებთ ამ წარმოდგენას, შესაძლებელია გადავამოწმოთ, რომ წრის რადიუსის სიგრძე უდრის ექვსკუთხედის გვერდის სიგრძეს.
ასევე იცოდე: წრე და წრე - რა განსხვავებაა?
წრეში შემოხაზული ექვსკუთხედი
ჩვენ ვამბობთ, რომ მრავალკუთხედი შემოიფარგლება წრით, როდესაც გარშემოწერილობა არის ამ მრავალკუთხედის შიგნით. ჩვენ შეგვიძლია გამოვსახოთ შემოხაზული რეგულარული ექვსკუთხედი. ამ შემთხვევაში, წრე ტანგენსია ექვსკუთხედის თითოეული მხარის შუა წერტილზე, რაც წრის რადიუსს ექვსკუთხედის აპოთემის ტოლს ხდის.
ექვსკუთხა დაფუძნებული პრიზმა
THE სიბრტყის გეომეტრია არის კვლევის საფუძველი სივრცითი გეომეტრია. ო ექვსკუთხედი შეიძლება იმყოფებოდეს გეომეტრიული მყარი სხეულების ფუძეზე, როგორც პრიზმებში.
ა-ს მოცულობის საპოვნელად პრიზმა, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს. ვინაიდან მისი ფუძე არის ექვსკუთხედი, მისი მოცულობა შეიძლება გამოითვალოს:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
წაიკითხეთ ასევე: გეომეტრიული მყარი სხეულების მოცულობა - როგორ გამოვთვალოთ?
ექვსკუთხა ბაზის პირამიდა
ექვსკუთხა პრიზმის გარდა, ასევე არსებობს პირამიდები ექვსკუთხა ბაზა.
აღმოჩენა პირამიდის მოცულობა ექვსკუთხა ფუძის, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუძის ფართობის ნამრავლს, სიმაღლეს და ვყოფთ 3-ზე.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
გაითვალისწინეთ, რომ ვამრავლებთ და ვყოფთ სამზე, რაც იძლევა a გამარტივება. ასე რომ, ექვსკუთხა დაფუძნებული პირამიდის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
ამოხსნილი სავარჯიშოები ექვსკუთხედზე
კითხვა 1
მიწას აქვს ჩვეულებრივი ექვსკუთხედის ფორმა. გსურთ შემოიხვიოთ ეს ტერიტორია მავთულხლართებით, ისე რომ მავთულმა ტერიტორია 3-ჯერ შემოივლოს. იმის ცოდნა, რომ მთლიანობაში, 810 მეტრი მავთული დაიხარჯა მთელი მიწის შემოღობვაზე, ამ ექვსკუთხედის ფართობი დაახლოებით ზომავს:
(გამოიყენეთ \(\sqrt3=1.7\))
ა) 5102 მ²
ბ) 5164 მ²
გ) 5200 მ²
დ) 5225 მ²
ე) 6329 მ²
რეზოლუცია:
ალტერნატივა B
რეგულარული ექვსკუთხედის პერიმეტრი არის
\(P=6L\)
3 წრე გაკეთდა, სულ 270 მეტრი დაიხარჯა ერთი წრის შესასრულებლად, როგორც ვიცით:
810: 3 = 270
ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ მეტრი\)
გვერდის სიგრძის გაცნობით, ჩვენ გამოვთვლით ფართობს:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163.75 მ^2\)
დამრგვალებით ვიღებთ:
\(A\დაახლოებით 5164 მ^2\)
კითხვა 2
(PUC - RS) მექანიკური მექანიზმისთვის, გსურთ გააკეთოთ ნაწილი რეგულარული ექვსკუთხა ფორმის. პარალელურ გვერდებს შორის მანძილი არის 1 სმ, როგორც ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. ამ ექვსკუთხედის გვერდი ზომავს ______ სმ.
THE) \(\frac{1}{2}\)
ბ) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
ჩ) \(\sqrt3\)
დ) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
ე) 1
რეზოლუცია:
ალტერნატივა B
რეგულარულ ექვსკუთხედთან დაკავშირებით ვიცით, რომ მისი აპოთემა არის ზომა ერთ-ერთი გვერდის ცენტრიდან შუა წერტილამდე. ამრიგად, აპოთემა არის სურათზე მითითებული მანძილის ნახევარი. ასე რომ, ჩვენ უნდა:
\(2a=1სმ\)
\(a=\frac{1}{2}\)
მაშინ აპოთემა უდრის \(\frac{1}{2}\). არსებობს კავშირი ექვსკუთხედის გვერდებსა და აპოთემას შორის, რადგან რეგულარულ ექვსკუთხედში გვაქვს:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
ვინაიდან ვიცით აპოთემის მნიშვნელობა, შეგვიძლია ჩავანაცვლოთ \(a=\frac{1}{2}\) განტოლებაში:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
წილადის რაციონალიზაცია:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი