პოლინომიური ფაქტორინგი: შემთხვევები და მაგალითები

ფაქტორიზაცია მრავალწევრები შედგება მრავალწევრის გადასაწერად შემუშავებული მეთოდებისგან როგორც ნამრავლი მრავალწევრებს შორის. ჩაწერეთ მრავალწევრი როგორც გამრავლება ორ ან მეტ ფაქტორს შორის ეხმარება ალგებრული გამონათქვამების გამარტივებასა და მრავალწევრის გაგებაში.

არსებობს ფაქტორინგის სხვადასხვა შემთხვევები და თითოეული მათგანისთვის არის სპეციფიკური ტექნიკა.. არსებული შემთხვევებია: ფაქტორინგი მტკიცებულების საერთო ფაქტორით, დაჯგუფება დაჯგუფება, განსხვავება ორ კვადრატს შორის, სრულყოფილი კვადრატის ტრინომი, ორი კუბის ჯამი და ორი კუბის სხვაობა.

Წაიკითხე მეტი:რა არის მრავალწევრი?

რეზიუმე მრავალწევრების ფაქტორინგის შესახებ

• მრავალწევრების ფაქტორიზაცია არის ტექნიკა, რომელიც გამოიყენება მრავალწევრის წარმოსაჩენად, როგორც პროდუქტი მრავალწევრებს შორის.

• ჩვენ ვიყენებთ ამ ფაქტორიზაციას გამარტივებისთვის ალგებრული გამონათქვამები.

• ფაქტორინგის შემთხვევებია:

  • ფაქტორინგი მტკიცებულებებში საერთო ფაქტორით;

  • ფაქტორინგი დაჯგუფების მიხედვით;

  • სრულყოფილი კვადრატული ტრინომია;

  • ორი კვადრატის განსხვავება;

  • ორი კუბის ჯამი;

  • ორი კუბის განსხვავება.

პოლინომიური ფაქტორინგის შემთხვევები

პოლინომის გასამრავლებლად, აუცილებელია გაანალიზდეს ფაქტორინგის რომელ შემთხვევაში ჯდება სიტუაცია, მყოფი: ფაქტორინგი საერთო ფაქტორით მტკიცებულებაში, ფაქტორინგი დაჯგუფების მიხედვით, განსხვავება ორ კვადრატს შორის, სრულყოფილი კვადრატული ტრინომი, ორი კუბის ჯამი და ორი კუბის სხვაობა. ვნახოთ, როგორ განვახორციელოთ ფაქტორიზაცია თითოეულ მათგანში.

არ გაჩერდე ახლა... რეკლამის შემდეგ კიდევ არის ;)

• საერთო ფაქტორი მტკიცებულებაში

ჩვენ ვიყენებთ ფაქტორინგის ამ მეთოდს, როდესაც არის მრავალწევრის ყველა ტერმინისთვის საერთო ფაქტორი. ეს საერთო ფაქტორი ხაზგასმული იქნება, როგორც ერთი ფაქტორი, ხოლო მეორე ფაქტორი, შედეგი დაყოფა ტერმინებიდან ამ საერთო ფაქტორით, განთავსდება ფრჩხილებში.

მაგალითი 1:

20xy + 12x² + 8xy²

ამ მრავალწევრის თითოეული წევრის გაანალიზებისას შესაძლებელია დავინახოთ, რომ x მეორდება ყველა წევრში. ასევე, ყველა კოეფიციენტი (20, 12 და 8) არის 4-ის ჯერადი, ამიტომ ყველა ტერმინისთვის საერთო ფაქტორი არის 4x.

თითოეული ტერმინი საერთო ფაქტორზე რომ გავყოთ, გვაქვს:

20xy: 4x = 5y

12x²: 4x = 3x

8xy²: 4x = 2y²

ახლა ჩვენ დავწერთ ფაქტორიზაციას საერთო ფაქტორს მტკიცებულებებში და ჯამი ფრჩხილებში ნაპოვნი შედეგებიდან:

4x (5y + 3x + 2y²)

მაგალითი 2:

2a²b² + 3a³b – 4a⁵b³

თითოეული ტერმინის ლიტერატურული ნაწილის გაანალიზებით, შესაძლებელია დავინახოთ, რომ a²b მეორდება ყველა მათგანში. გაითვალისწინეთ, რომ არ არსებობს რიცხვი, რომელიც ყოფს 2, 3 და - 4-ს ერთდროულად. ასე რომ, საერთო ფაქტორი იქნება მხოლოდ a²b.

2a²b²: a²b = 2b

3a³b: a²b = 3a

მე-4⁵b³: a²b = 4a³

ამრიგად, ამ მრავალწევრის ფაქტორიზაცია იქნება:

a²b (2b + 3a + 4a³)

იხილეთ ასევე: მრავალწევრების შეკრება, გამოკლება და გამრავლება - გაიგეთ როგორ კეთდება ისინი

• დაჯგუფება

ეს მეთოდი არის გამოიყენება მაშინ, როდესაც არ არის საერთო კოეფიციენტი მრავალწევრის ყველა ტერმინისთვის. ამ შემთხვევაში, ჩვენ განვსაზღვრავთ ტერმინებს, რომლებიც შეიძლება დაჯგუფდეს საერთო ფაქტორით და გამოვყოთ ისინი.

მაგალითი:

დააბალანსეთ შემდეგი მრავალწევრი:

ცული + 4b + bx + 4a

ჩვენ დავაჯგუფებთ ტერმინებს, რომლებსაც აქვთ a და b, როგორც საერთო ფაქტორი:

ცული + 4a + bx + 4b

a და b მტკიცებულებებში ორიდან ორში ჩასვით, გვაქვს:

a(x+4)+b(x+4)

გაითვალისწინეთ, რომ ფრჩხილებში ფაქტორები იგივეა, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გადავწეროთ ეს პოლინომი შემდეგნაირად:

(a + b) (x + 4)

• სრულყოფილი კვადრატული ტრინომია

ტრინომები არის მრავალწევრი 3 წევრით. მრავალწევრი ცნობილია როგორც სრულყოფილი კვადრატული ტრინომი, როდესაც ის არის ჯამი კვადრატში ან სხვაობის კვადრატში შედეგი, ანუ:

a² + 2ab + b² = (a + b) ²

a² – 2ab + b² = (a – b) ²

Მნიშვნელოვანი: ყოველთვის არ არის სამი წევრი, ეს მრავალწევრი იქნება სრულყოფილი კვადრატული ტრინომი. ამიტომ, ფაქტორიზაციის განხორციელებამდე უნდა შემოწმდეს, შეესაბამება თუ არა ტრინომი ამ შემთხვევაში.

მაგალითი:

ფაქტორი, თუ შესაძლებელია, მრავალწევრი

x² + 10x + 25

ამ ტრინომის გაანალიზების შემდეგ, ჩვენ გამოვყოფთ კვადრატული ფესვი პირველი და ბოლო ვადა:

\(\sqrt{x^2}=x\)

\(\sqrt{25}=5\)

მნიშვნელოვანია იმის შემოწმება, რომ ცენტრალური წევრი, ანუ 10x, უდრის \(2\cdot\ x\cdot5\). გაითვალისწინეთ, რომ ეს ნამდვილად იგივეა. ასე რომ, ეს არის სრულყოფილი კვადრატული ტრინომი, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს:

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

• ორი კვადრატის განსხვავება

როცა გვაქვს ორი კვადრატის განსხვავება, ჩვენ შეგვიძლია ამ პოლინომიის ფაქტორირება გადაწერით ჯამისა და სხვაობის ნამრავლად.

მაგალითი:

მრავალწევრის ფაქტორი:

4x² - 36y²

პირველ რიგში, ჩვენ გამოვთვლით მისი თითოეული ტერმინის კვადრატულ ფესვს:

\(\sqrt{4x^2}=2x\)

\(\sqrt{36y^2}=6y\)

ახლა ჩვენ გადავწერთ ამ მრავალწევრს, როგორც ნაპოვნი ფესვების ჯამისა და სხვაობის ნამრავლს:

4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)

წაიკითხეთ ასევე: ალგებრული გამოთვლა მონომების შემცველობით - შეიტყვეთ, როგორ ხდება ოთხი ოპერაცია

• ორი კუბის ჯამი

ორი კუბის ჯამი, ანუ a³ + b³, შეიძლება ჩაითვალოს როგორც:

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

მაგალითი:

მრავალწევრის ფაქტორი:

x³ + 8

ჩვენ ვიცით, რომ 8 = 2³, ასე რომ:

x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)

x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)

• ორი კუბის განსხვავება

ორი კუბის განსხვავება, ანუ a³ – b³, არა განსხვავებით ორი კუბის ჯამისგან, შეიძლება ფაქტორულად ჩაითვალოს:

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

მაგალითი:

ფაქტორზე ამოიღეთ მრავალწევრი

8x³ - 27

ჩვენ ვიცით, რომ:

8x³ = (2x) ³

27 = 3³

ასე რომ, ჩვენ უნდა:

\(8x^3-27=\მარცხნივ (2x-3\მარჯვნივ)\)

\(8x^3-27=\მარცხნივ (2x-3\მარჯვნივ)\მარცხნივ (4x^2+6x+9\მარჯვნივ)\)

ამოხსნილი სავარჯიშოები მრავალწევრების ფაქტორინგზე

კითხვა 1

პოლინომიური ფაქტორიზაციის გამოყენება ალგებრული გამოხატვის გასამარტივებლად \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), ჩვენ ვიპოვით:

ა) x + 2

ბ) x - 2

ჩ) \(\frac{x-2}{x+2}\)

დ) \(\frac{x+2}{x-2}\)

E) (x - 2) (x + 2)

რეზოლუცია:

ალტერნატივა D

მრიცხველს რომ ვუყურებთ, ვხედავთ, რომ x² + 4x + 4 არის სრულყოფილი კვადრატული ტრინომის შემთხვევა და შეიძლება გადაიწეროს როგორც:

x² + 4x + 4 = (x + 2)²

მრიცხველი x² – 4 არის ორი კვადრატის განსხვავება და შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

x² - 4 = (x + 2) (x - 2)

ამიტომ:

\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\ left (x+2\right)\maft (x-2\right)}\)

გაითვალისწინეთ, რომ ტერმინი x + 2 ჩნდება როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში, ამიტომ მისი გამარტივება მოცემულია:

\(\frac{x+2}{x-2}\)

კითხვა 2

(უნიფილის ინსტიტუტი) იმის გათვალისწინებით, რომ ორი რიცხვი, x და y, ისეთია, რომ x + y = 9 და x² – y² = 27, x-ის მნიშვნელობა უდრის:

ა) 4

ბ) 5

გ) 6

დ) 7

რეზოლუცია:

ალტერნატივა C

გაითვალისწინეთ, რომ x² – y² არის განსხვავება ორ კვადრატს შორის და შეიძლება ჩაითვალოს ჯამისა და სხვაობის ნამრავლად:

x² – y² = (x + y) (x – y)

ჩვენ ვიცით, რომ x + y = 9:

(x + y) (x - y) = 27

9 (x - y) = 27

x - y = 27: 9

x - y = 3

შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია დავაყენოთ ა განტოლების სისტემა:

ორი ხაზის დამატება:

2x + 0 y = 12

2x = 12

x = \(\frac{12}{2}\)

x = 6

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი