ან მრავალწევრი განტოლება ახასიათებს ა მრავალწევრი ნულის ტოლი. ის შეიძლება ხასიათდებოდეს მრავალწევრის ხარისხით და რაც უფრო დიდია ეს ხარისხი, მით მეტია მისი ამოხსნის ან ფესვის პოვნის სირთულის ხარისხი.
ამ კონტექსტში ასევე მნიშვნელოვანია იმის გაგება, თუ რა არის ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა, რომელიც ამას ამბობს ყველა მრავალწევრულ განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი რთული ამონახსნისხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: პირველი ხარისხის განტოლებას ექნება მინიმუმ ერთი ამონახსნი, მეორე ხარისხის განტოლებას ექნება მინიმუმ ორი ამონახსნი და ა.შ.
წაიკითხე შენც: რა არის მრავალწევრების კლასები?
რა არის პოლინომიური განტოლება
მრავალწევრულ განტოლებას ახასიათებს ნულის ტოლი მრავალწევრი, შესაბამისად, P(x) = 0 ტიპის ყველა გამოხატულება არის პოლინომიური განტოლება, სადაც P(x) არის მრავალწევრი. ქვემოთ მოცემულია მრავალწევრი განტოლების ზოგადი შემთხვევა და რამდენიმე მაგალითი.
განიხილეთარა, აn -1, ა n -2,…,1, ა0 და x რეალური რიცხვები, და n არის დადებითი მთელი რიცხვი, შემდეგი გამოხატულება არის n ხარისხის პოლინომიური განტოლება.
- მაგალითი
შემდეგი განტოლებები მრავალწევრია.
ა) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
ბ) 5x2 – 3 = 0
გ) 6x – 1 = 0
დ) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
მრავალწევრების მსგავსად, მრავალწევრულ განტოლებებსაც აქვთ თავისი ხარისხი. პოლინომიური განტოლების ხარისხის დასადგენად, უბრალოდ იპოვეთ უმაღლესი სიმძლავრე, რომლის კოეფიციენტი განსხვავდება ნულიდან. შესაბამისად, წინა პუნქტების განტოლებებია:
ა) განტოლება არის დან მეოთხე ხარისხი:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
ბ) განტოლება არის დან უმაღლესი სკოლა:5x2 – 3 = 0.
გ) განტოლება არის დან პირველი ხარისხი:6x – 1 = 0.
დ) განტოლება არის მესამე ხარისხი: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
როგორ ამოხსნათ მრავალწევრი განტოლება?
მრავალწევრის განტოლების ამოხსნის მეთოდი დამოკიდებულია მის ხარისხზე. რაც უფრო დიდია განტოლების ხარისხი, მით უფრო რთულია მისი ამოხსნა. ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ პოლინომიური განტოლებების ამოხსნის მეთოდს პირველი ხარისხი, მეორე ხარისხი და ბისკვერი.
პირველი ხარისხის მრავალწევრი განტოლება
პირველი ხარისხის მრავალწევრი განტოლება აღწერილია a 1 ხარისხის მრავალწევრი. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ პირველი ხარისხის განტოლება, ზოგადად, შემდეგნაირად.
განვიხილოთ ორი რეალური რიცხვი The და ბ ≠ 0-ით, შემდეგი გამოხატულება არის პირველი ხარისხის პოლინომიური განტოლება:
ცული + b = 0
ამ განტოლების ამოსახსნელად უნდა გამოვიყენოთ ეკვივალენტობის პრინციპი, ანუ ყველაფერი, რაც მოქმედებს თანასწორობის ერთ მხარეს, ასევე უნდა იმოქმედოს მეორე მხარეს. პირველი ხარისხის განტოლების ამოხსნის დასადგენად უნდა უცნობის იზოლირება. ამისთვის პირველი ნაბიჯი არის აღმოფხვრა ბ თანასწორობის მარცხენა მხარეს და შემდეგ გამოკლებანიჩბები b თანასწორობის ორივე მხარეს.
ცული + ბ - ბ = 0 - ბ
ცული = - ბ
გაითვალისწინეთ, რომ უცნობი x-ის მნიშვნელობა არ არის იზოლირებული, კოეფიციენტი a უნდა გამოირიცხოს ტოლობის მარცხენა მხრიდან და ამისთვის გავყოთ ორივე მხარე. The.
- მაგალითი
ამოხსენით განტოლება 5x + 25 = 0.
პრობლემის გადასაჭრელად უნდა გამოვიყენოთ ეკვივალენტობის პრინციპი. პროცესის გასაადვილებლად, ჩვენ გამოვტოვებთ ოპერაციის ჩაწერას ტოლობის მარცხენა მხარეს, ექვივალენტი მაშინ, რომ ვთქვათ, რომ ვაპირებთ რიცხვის „გადაცემას“ მეორე მხარეს, ნიშნის შეცვლას (შებრუნებული ოპერაცია).
შეიტყვეთ მეტი ამ ტიპის განტოლების ამოხსნის შესახებ ჩვენს ტექსტზე წვდომით: პირველი ხარისხის განტოლება უცნობით.
მეორე ხარისხის მრავალწევრი განტოლება
მეორე ხარისხის მრავალწევრულ განტოლებას აქვს a-ს მახასიათებელი მეორე ხარისხის მრავალწევრი. ასე რომ, განიხილეთ a, b და c რეალური რიცხვები a ≠ 0-ით. მეორე ხარისხის განტოლება მოცემულია შემდეგით:
ნაჯახი2 + bx + c = 0
თქვენი გამოსავალი შეიძლება განისაზღვროს მეთოდის გამოყენებით ბჰასკარა ან ფაქტორინგით. თუ გსურთ მეტი იცოდეთ ამ ტიპის განტოლებების შესახებ, წაიკითხეთ: ეკვმოქმედება სმეორე გრაუ.
→ ბჰასკარას მეთოდი
ბჰასკარას მეთოდის გამოყენებით, მისი ფესვები მოცემულია შემდეგი ფორმულით:
- მაგალითი
იპოვეთ x განტოლების ამონახსნი2 - 3x + 2 = 0.
გაითვალისწინეთ, რომ განტოლების კოეფიციენტები არის, შესაბამისად, a = 1, b = – 3 და c = 2. ამ მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, ჩვენ უნდა:
→ ფაქტორიზაცია
ნახეთ, რომ შესაძლებელია x გამოსახულების ფაქტორირება2 – 3x + 2 = 0 იდეის გამოყენებით მრავალწევრი ფაქტორიზაცია.
x2 - 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
ახლა გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ გვაქვს ნამრავლი ნულის ტოლი და ნამრავლი ნულის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი უდრის ნულს, ამიტომ უნდა:
x – 2 = 0
x = 2
ან
x - 1 = 0
x = 1
ნახეთ, რომ ჩვენ ვიპოვეთ განტოლების ამონახსნი ორი განსხვავებული მეთოდის გამოყენებით.
ორ კვადრატული განტოლება
THE ორკუთხა განტოლება ეს არის მეოთხე ხარისხის მრავალწევრული განტოლების კონკრეტული შემთხვევა, ჩვეულებრივ, მეოთხე ხარისხის განტოლება დაიწერება სახით:
ნაჯახი4 + bx3 + ყუთი2 + dx + e = 0
სადაც ნომრები ა ბ გ დ და და რეალურია ≠ 0-ით. მეოთხე ხარისხის განტოლება ითვლება ორმხრივად, როდესაც კოეფიციენტები b = d = 0, ანუ განტოლება არის ფორმაში:
ნაჯახი4 + ყუთი2 + და = 0
იხილეთ, ქვემოთ მოცემულ მაგალითში, როგორ ამოხსნათ ეს განტოლება.
- მაგალითი
ამოხსენით x განტოლება4 - 10x2 + 9 = 0.
განტოლების ამოსახსნელად, ჩვენ გამოვიყენებთ შემდეგ უცნობ ცვლილებას და როდესაც განტოლება ორმხრივია, ჩვენ ვაპირებთ ამ ცვლილებას.
x2 =გვ
ორ კვადრატული განტოლებიდან შენიშნეთ, რომ x4 = (x2)2 და ამიტომ ჩვენ უნდა:
x4 - 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
ამისთვის2 - 10p + 9 = 0
ნახეთ, რომ ახლა გვაქვს მეორე ხარისხის პოლინომიური განტოლება და შეგვიძლია გამოვიყენოთ ბჰასკარას მეთოდი ასე:
თუმცა, უნდა გვახსოვდეს, რომ სავარჯიშოს დასაწყისში მოხდა უცნობი ცვლილება, ამიტომ უნდა გამოვიყენოთ ჩანაცვლებაში ნაპოვნი მნიშვნელობა.
x2 =გვ
p = 9-ისთვის გვაქვს:
x2 = 9
x = 3
ან
x’’ = – 3
p = 1-ისთვის
x2 = 1
x' = 1
ან
x’’ = – 1
მაშასადამე, ორკუთხედის განტოლების ამონახსნები არის:
S = {3, -3, 1, -1}
წაიკითხეთ ასევე: ბრიოტ-რუფინის პრაქტიკული მოწყობილობა – მრავალწევრების დაყოფა
ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა (TFA)
ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა (TFA), რომელიც დაადასტურა გაუსმა 1799 წელს, ამბობს, რომ ყველა მრავალწევრულ განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი რთული ფესვი.
მრავალწევრი განტოლების ფესვი მისი ამონახსნებია, ანუ უცნობი მნიშვნელობა არის ის, რაც ტოლობას ჭეშმარიტს ხდის. მაგალითად, პირველი ხარისხის განტოლებას აქვს ფესვი უკვე განსაზღვრული, ისევე როგორც მეორე ხარისხის განტოლებას, რომელსაც აქვს მინიმუმ ორი ფესვი და ბისკვერს, რომელსაც აქვს მინიმუმ ოთხი ფესვი.
ამოხსნილი სავარჯიშოები
კითხვა 1 – დაადგინეთ x-ის მნიშვნელობა, რომელიც ტოლობას ჭეშმარიტს ხდის.
2x – 8 = 3x + 7
რეზოლუცია
გაითვალისწინეთ, რომ განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა მისი ორგანიზება, ანუ ტოლობის მარცხენა მხარეს დატოვეთ ყველა უცნობი.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
- x = 15
ეკვივალენტობის პრინციპით შეგვიძლია გავამრავლოთ ტოლობის ორივე მხარე ერთსა და იმავე რიცხვზე და რადგან გვინდა ვიპოვოთ x-ის მნიშვნელობა, ორივე მხარეს გავამრავლებთ –1-ზე.
(–1)- x = 15(–1)
x = – 15
კითხვა 2 – მარკოსს ჟოაოზე 20 R$-ით მეტი აქვს. ისინი ერთად ახერხებენ ორი წყვილი ფეხსაცმლის ყიდვას, თითო 80 R$ ღირს და ფულის გარეშე. რამდენი რეალი აქვს ჯონს?
რეზოლუცია
დავუშვათ, რომ მარკს აქვს x რეალი, როგორც იოანეს აქვს 20 რეალი მეტი, ამიტომ მას აქვს x + 20.
ნიშნები → x რეალური
ჟოაო → (x + 20) რეალი
როგორ იყიდეს ორი წყვილი სპორტული ფეხსაცმელი რომელთა ღირებულებაა თითო 80 რეალი, ასე რომ, თუ თითოეულის ნაწილებს ერთად დავამატებთ, მოგვიწევს:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
მაშასადამე, მარკს ჰქონდა 70 რეალი, ხოლო ჟოაოს 90 რეალი.
რობსონ ლუისის მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
