კომპლექსური სავარჯიშოები: გადაჭრილი კითხვების ჩამონათვალი და გამოხმაურება

შენ რთული რიცხვები შესაძლებელი გახდეს მათემატიკური ამოცანების ამოხსნა, რომლებსაც არ გააჩნიათ ამოხსნები რეალური რიცხვები.

კომპლექსურ რიცხვში დაწერილი როგორც $\ dpi {120} z = a + bi$ , ჩვენ ამას ვამბობთ $\ dpi {120} დან$ არის ნამდვილი ნაწილი, $\ dpi {120} ბ$ არის წარმოსახვითი ნაწილი და $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ ეს წარმოსახვითი ერთეულია.

Წამოდგენა ოპერაციები რთული რიცხვებითარსებობს გამოთქმები, რომლებიც აადვილებს გამოთვლებს. განვიხილოთ $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ და $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

რთულ რიცხვებს შორის დამატების გამოხატვა:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

გამოკლების გამოხატვა რთულ რიცხვებს შორის:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

რთულ რიცხვებს შორის გამრავლების გამოხატვა:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (რეკლამა + cb) i$

დაყოფის გამოხატვა რთულ რიცხვებს შორის:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - რეკლამა)} {c ^ 2 + d ^ 2 }მე$

ქვემოთ მოცემულია სია რთული რიცხვების სავარჯიშოებით გადაჭრილი კითხვები. ისწავლეთ თითოეული ცნების გამოყენება ამ ციფრების ჩასატარებლად!

ინდექსი

სავარჯიშოების ჩამონათვალი რთულ რიცხვებზე
1-ლი საკითხის გადაწყვეტა
2-ე საკითხის გადაწყვეტა
3-ე საკითხის გადაწყვეტა
4-ე საკითხის გადაწყვეტა
5-ე საკითხის გადაწყვეტა
6-ე საკითხის გადაწყვეტა
7-ე საკითხის გადაწყვეტა
მე -8 საკითხის გადაწყვეტა

სავარჯიშოების ჩამონათვალი რთულ რიცხვებზე

Კითხვა 1. რთული რიცხვების გათვალისწინებით $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ და $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ განსაზღვრავს მნიშვნელობას $\ dpi {120} ა$ , Როდესაც $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

instagram story viewer

კითხვა 2 იპოვნეთ მნიშვნელობები $\ dpi {120} x$ და $\ dpi {120} წ$ ისეთივე როგორც $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

კითხვა 3 რთული რიცხვების გათვალისწინებით $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ და $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , განსაზღვრეთ მნიშვნელობა $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Როდესაც $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ და $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ ბარი {z_2}$ .

კითხვა 4 გამოთვალეთ მნიშვნელობა $\ dpi {120} გვ$ და $\ dpi {120} q$ რისთვის $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Როდესაც $\ dpi {120} z_1 = 3 - პი$ და $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

კითხვა 5 განსაზღვრეთ მნიშვნელობა $\ dpi {120} დან$ რისთვის $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ იყოს სუფთა წარმოსახვითი რიცხვი.

კითხვა 6 გამოთვალეთ შემდეგი წარმოსახვითი ერთეულის სიმძლავრეები $\ dpi {120} i$ :

) $\ dpi {120} i ^ {16}$
ბ) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ჩ) $\ dpi {120} i ^ {829}$
დ) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

კითხვა 7 იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ რთული რიცხვების სიმრავლეში.

კითხვა 8 განვსაზღვროთ განტოლების ამოხსნა $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ რთული რიცხვების სიმრავლეში.

1-ლი საკითხის გადაწყვეტა

Ჩვენ გვაქვს $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ და $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ და $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ და ჩვენ გვინდა დავადგინოთ მნიშვნელობა $\ dpi {120} ა$ , Როდესაც $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

პირველი, მოდით გამოვთვალოთ $\ dpi {120} 4z_3$ და $\ dpi {120} 3z_1$ , ცალკე:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

ახლა გამოვთვალოთ $\ dpi {120} ა$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

2-ე საკითხის გადაწყვეტა

ჩვენ გვინდა ვიპოვოთ x და y ისე, რომ $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

ორ რთულ რიცხვს შორის ჯამის გამოხატვით, ჩვენ უნდა:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

ასე რომ, ჩვენ უნდა გვქონდეს $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ და $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . მოდით ამოვხსნათ ეს ორი განტოლება x და y- ს მოსაძებნად.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

3-ე საკითხის გადაწყვეტა

Ჩვენ გვაქვს $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ და $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ და ჩვენ გვინდა დავადგინოთ მნიშვნელობა $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Როდესაც $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ და $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ ბარი {z_2}$ .

პირველი, ჩვენ გამოვთვალოთ $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

ორ რთულ რიცხვს შორის გამრავლების გამოხატვით, ჩვენ უნდა:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

ახლა გამოვთვალოთ $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ ბარი {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ ბარი {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

ამიტომ, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

4-ე საკითხის გადაწყვეტა

ჩვენ გვინდა გამოვთვალოთ მნიშვნელობა $\ dpi {120} გვ$ და $\ dpi {120} q$ რისთვის $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Როდესაც $\ dpi {120} z_1 = 3 - პი$ და $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

ეს ნიშნავს, რომ იპოვნო $\ dpi {120} გვ$ და $\ dpi {120} q$ ამიტომ:

გაეცანით უფასო კურსებს

ინკლუზიური განათლების უფასო ონლაინ კურსი
უფასო ონლაინ სათამაშოების ბიბლიოთეკა და სასწავლო კურსი
უფასო ონლაინ მათემატიკური თამაშების კურსი ადრეული ასაკის ბავშვთა განათლებაში
უფასო ონლაინ პედაგოგიური კულტურული სემინარების კურსი

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

ორ რთულ რიცხვს შორის დაყოფის გამოხატვით, ჩვენ უნდა:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

ორ პირობას ვუერთდებით, უნდა გვქონდეს:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

ანუ:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

მოდით ამოვხსნათ თითოეული ეს განტოლება, დაწყებული მეორედან, რომელიც მხოლოდ p- ზეა დამოკიდებული.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

ახლა q –ს ვხვდებით სხვა განტოლებით:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

5-ე საკითხის გადაწყვეტა

ჩვენ გვინდა ვიპოვოთ მნიშვნელობა $\ dpi {120} დან$ რისთვის $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ იყოს სუფთა წარმოსახვითი რიცხვი.

სუფთა წარმოსახვითი რიცხვია ის, რომლის რეალური ნაწილი ნულის ტოლია.

ორ რთულ რიცხვს შორის დაყოფის გამოხატვის გათვალისწინებით, გვაქვს:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

იმისათვის, რომ ეს რიცხვი იყოს სუფთა წარმოსახვითი, უნდა გვქონდეს:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

6-ე საკითხის გადაწყვეტა

სიმძლავრეების და რთული რიცხვების განსაზღვრით ჩვენ უნდა:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

დააკვირდით ნიმუშს, რომელიც მეორდება ყოველ ოთხ ზედიზედ ძალაში: 1, i, -1 და -i.

ამრიგად, i- ს ნებისმიერი სიმძლავრის მისაღებად შედეგის მისაღწევად, უბრალოდ გავყოთ გამყოფი 4-ზე. დაყოფის დარჩენილი ნაწილი იქნება 0, 1, 2 ან 3 და ეს მნიშვნელობა იქნება ის მაჩვენებელი, რომელიც უნდა გამოვიყენოთ.

) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4, ხოლო დანარჩენი არის 0.

შემდეგ, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .