პრიზმის არე: როგორ გამოვთვალოთ, მაგალითები, სავარჯიშოები

პრიზმები სამგანზომილებიანი ფიგურები არიან, რომლებიც ჩამოყალიბებულია ორი თანხვედრილი და პარალელური საფუძველი, ბაზები, თავის მხრივ, იქმნება ამოზნექილი მრავალკუთხედები. სხვა სახეები, რომლებსაც ასახელებენ გვერდით სახეებად, იქმნება პარალელოგრამები. პრიზმის არეალის დასადგენად აუცილებელია მისი შესრულება დაგეგმვა შემდეგ კი გამოთვალეთ ბრტყელი ფიგურის ფართობი.

წაიკითხეთ ასევე: განსხვავებები ბრტყელ და სივრცულ ფიგურებს შორის

პრიზმის დაგეგმვა

დაგეგმვის იდეა არის სამგანზომილებიანი ფიგურის გარდაქმნა ა ორგანზომილებიანი ფიგურა. პრაქტიკაში ეს იქნება პრიზმის პირას გადაჭრის ტოლფასი. ქვემოთ მოცემულია სამკუთხა პრიზმის დაგეგმვის მაგალითი.

ერთი და იგივე პროცესი შეიძლება იქნას მიღებული თითოეული პრიზმისთვისამასთან, გაითვალისწინეთ, რომ ბაზის პოლიგონების გვერდების რაოდენობის გაზრდასთან ერთად ამოცანა უფრო რთულდება. ამ მიზეზით განზოგადებებს გავაკეთებთ ამის დაგეგმვის საფუძველზე მრავალკუთხედი.

გვერდითი არეალის გაანგარიშება

სამკუთხა პრიზმის გამოსახულების დაკვირვებით, გვაქვს რომ ABFC, ABFD და ACDE პარალელოგრამები გვერდითი სახეები.

გაითვალისწინეთ, რომ პრიზმის გვერდითი სახეები ყოველთვის იქნება პარალელოგრამები მიუხედავად ფუძის მრავალკუთხედების გვერდების რაოდენობისა, ეს ხდება იმიტომ, რომ ისინი პარალელური და თანხვედრაა.

სამკუთხა პრიზმულ ფიგურას ვუყურებთ, ასევე ვხედავთ, რომ გვაქვს სამი გვერდითი სახე. ეს გამოწვეულია ფუძის მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობის გამო, ანუ თუ პრიზმული ფუძეები ოთხკუთხედია, ჩვენ გვექნება ოთხი გვერდითი სახე, თუ ფუძეები ხუთკუთხედია, ხუთი გვერდითი სახე გვექნება და ა.შ. ამრიგად: ფუძის მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა გავლენას ახდენს პრიზმის გვერდითი სახეების რაოდენობაზე.

ამიტომ გვერდითი არე (A_ლ) ნებისმიერი პრიზმის მოცემულია გვერდითი სახის ფართობის მიერ გამრავლებული გვერდითი სახეების რაოდენობაზე, ანუ ეს არის პარალელოგრამის ფართობი გამრავლებული სახის გვერდების რაოდენობაზე.

_ლ = (ფუძე · სიმაღლე) · სახის გვერდების რაოდენობა

• მაგალითი

გამოთვალეთ რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის გვერდითი ფართობი, რომლის ფსკერის ზღვარი ტოლია 3 სმ და სიმაღლე 11 სმ.

მოცემული პრიზმა წარმოდგენილია:

ამის შემდეგ გვერდითი ფართობი გამოითვლება მართკუთხედის ფართობით, მრავალჯერადი ფუძის მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობაზე, რომელიც არის 6, ასე რომ:

_ლ = (ფუძე · სიმაღლე) · სახის გვერდების რაოდენობა

_ლ = (3 · 11) · 6

_ლ = 198 სმ²

ნუ გაჩერდები ახლა... რეკლამის შემდეგ მეტია;)

ბაზის ფართობის გაანგარიშება

პრიზმებს შეიძლება ჰქონდეთ სხვადასხვა ფორმა.

ბაზის ფართობი (_ბ) პრიზმა დამოკიდებულია პოლიგონზე, რომელიც მას ქმნის. როგორც პრიზმაში გვაქვს ორი პარალელური და თანხვედრილი სახე, ფუძის არეა მოცემულია პარალელური მრავალკუთხედების ფართობების ჯამით, ანუ მრავალკუთხედის ორმაგ ფართობზე.

_ბ = 2 · მრავალკუთხედის ფართობი

წაიკითხეთ ასევე:ბრტყელი ფიგურების არეები

• მაგალითი

გამოთვალეთ ჩვეულებრივი ექვსკუთხა პრიზმის ფუძის ფართობი, რომლის ფსკერის ზღვარი ტოლია 3 სმ და სიმაღლე 11 სმ.

ამ პრიზმის საფუძველია ჩვეულებრივი ექვსკუთხედი და ეს, რომელიც ზემოდან ჩანს, ასე გამოიყურება:

გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედები ექვსკუთხედის შიგნით ჩამოყალიბებული ტოლგვერდაა, ამიტომ ექვსკუთხედის ფართობი ექვსჯერ მეტია ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი.

ამასთან, გაითვალისწინეთ, რომ პრიზმაში ორი ექვსკუთხედი გვაქვს, ამიტომ ფუძის ფართობი ორკუთხედის ფართზე ორჯერ მეტია.

მთლიანი ფართობის გაანგარიშება

საერთო ფართობი (ა_თ) პრიზმის მოცემულია გვერდითი არეალის ჯამი (_ლ) ბაზის ფართობით (_ბ).

_თ = ა_ლ + ა_ბ

• მაგალითი

გამოთვალეთ რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის მთლიანი ფართობი, რომლის ფსკერის პირას ტოლია 3 სმ და სიმაღლე უდრის 11 სმ.

წინა მაგალითებიდან ჩვენ გვაქვს ა_ლ = 198 სმ² და_ბ = 27√3 სმ². აქედან გამომდინარე, მთლიანი ფართობი მოცემულია შემდეგით:

ამოხსნილი სავარჯიშოები

კითხვა 1 - ფარდული აქვს პრიზმას, რომელიც დაფუძნებულია ტრაპეზე, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახატზე.

გსურთ ამ ფარდულის დახატვა და ცნობილია, რომ საღებავის ფასია 20 რეალი კვადრატულ მეტრზე. რა ჯდება ამ ფარდულის დახატვა? (მოცემულია: √2 = 1.4)

გამოსავალი

თავდაპირველად, განვსაზღვროთ ფარდულის ფართობი. მისი საფუძველია ტრაპეცია, ასე რომ:

ამიტომ, ბაზის ფართობია:

_ბ = 2 · ა_{ტრაპეცია}

_ბ = 2 ·10

_ბ = 20 მ²

გვერდითი მხარე წითლად არის მართკუთხედი და ჩვენ გვაქვს ქვედა ნაწილი, ასე რომ ეს არეა:

_ვ = 2 · 4· 14

_ვ= 112 მ²

ფართობი ლურჯში ასევე მართკუთხედია, მაგრამ მისი ფუძე არ გვაქვს. Გამოყენებით პითაგორას თეორემა ტრაპეციის მიერ ჩამოყალიბებულ სამკუთხედში გვაქვს:

x² = 2² + 2²

x² = 8

x = 2√2

მართკუთხედის ფართობი ლურჯად არის:

= 2 ·14·2√2

= 54√2 მ²

ამიტომ, პრიზმის გვერდითი არეალი ტოლია:

_ლ = 112 + 54√2

_ლ = 112 + 75,6

_ლ = 187,6 მ²

ამ პრიზმის საერთო ფართობია:

_თ= 20 + 187,6

_თ= 207,6 მ²

ვინაიდან საღებავის ფასი კვადრატულ მეტრზე 20 რეალს შეადგენს, ფარდის დახატვისთვის დახარჯული თანხაა:

20 · 207.6 = 4,152 რეალი

პასუხი: ფარდულის დახატვისთვის დახარჯული თანხა 4,152,00 აშშ დოლარია

რობსონ ლუიზის მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი