ფუნქციები: ცნებები, მახასიათებლები, გრაფიკა

ჩვენ დავაარსეთ ა ოკუპაცია როდესაც ერთმანეთთან ვუკავშირდებით ერთ ან მეტ რაოდენობას. ბუნებრივი მოვლენების ნაწილის შესწავლა შესაძლებელია მათემატიკის ამ სფეროში განვითარების წყალობით. ფუნქციების შესწავლა იყოფა ორ ნაწილად, ჩვენ გვაქვს ზოგადი ნაწილი, რომელშიც ვსწავლობთ ცნებებიზოგადი, და კონკრეტული ნაწილი, სადაც ვსწავლობთ კონკრეტული შემთხვევები, როგორიცაა პოლინომის ფუნქციები და ექსპონენციალური ფუნქციები.

იხილეთ აგრეთვე: როგორ დავაფიქსიროთ ფუნქცია?

რა არის ფუნქციები?

ფუნქცია არის პროგრამა, რომელიც უკავშირდება ორის ელემენტებს ადგენს არ არის ცარიელი. განვიხილოთ ორი ცარიელი სიმრავლე A და B, სადაც ფუნქციაა ვ ეხმიანება თითოეული ელემენტი A- დან მხოლოდ ერთი ბ-ს ელემენტს.

ამ განმარტების უკეთ გასაგებად წარმოიდგინეთ ტაქსით გასეირნება. თითოეული მოგზაურობისთვის, ანუ გავლილი თითოეული მანძილისთვის განსხვავებული და უნიკალური ფასია, ანუ აზრი არ აქვს მოგზაურობას ორი განსხვავებული ფასი ჰქონდეს.

ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ეს ფუნქცია, რომელიც იღებს ელემენტებს A კომპლექტიდან B მითითებამდე შემდეგი გზით.

გაითვალისწინეთ, რომ A სიმრავლის თითოეული ელემენტისთვის არის a

ერთი დაკავშირებული ელემენტი მასთან B ნაკრებში. ახლა უკვე შეგვიძლია ვიფიქროთ, როდის არ იქნება ურთიერთობა ორ წყობას შორის? კარგად, როდესაც A სიმრავლის ელემენტი უკავშირდება B- ს ორ განსხვავებულ ელემენტს, ან როდესაც არსებობს A სიმრავლის ელემენტები, რომლებიც არ უკავშირდება B ელემენტებს. შეხედე:

ზოგადად რომ ვთქვათ, შეგვიძლია ასე ალგებრულად დავწეროთ ფუნქცია:

ვ: A → B

x → y

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია იღებს ელემენტებს A სიმრავლიდან (წარმოდგენილია x- ით) და მიაქვს ისინი B ელემენტებამდე (წარმოდგენილია y- ით). ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ B სიმრავლის ელემენტები მოცემულია A სიმრავლის ელემენტების თვალსაზრისით, ასე რომ y- ს წარმოდგენა შეგვიძლია:

y = ვ(x)

მასში ნათქვამია: (y უდრის f of x)

ფუნქციების ყველაზე გავრცელებული წარმოდგენა ხდება კარტესიან სიბრტყეზე.

დომინირება, კოომედია და როლის იმიჯი

როდესაც ჩვენ როლი გვაქვს ვ, დაკავშირებული სიმრავლეები ენიჭება სპეციალურ სახელებს. ამიტომ გაითვალისწინეთ ფუნქცია ვ რომელიც იღებს ელემენტებს A კომპლექტიდან ელემენტებს B კომპლექტიდან:

ვ: A → B

ნუ გაჩერდები ახლა... რეკლამის შემდეგ მეტია;)

A სიმბოლოს, საიდანაც ურთიერთობები გადის, ეწოდება დომენი ფუნქციის და ეწოდება სიმბოლო, რომელიც იღებს ამ ურთიერთობის "ისრებს" კონტრ-დომენი. ჩვენ აღვნიშნავთ ამ სიმრავლეებს შემდეგნაირად:

დ_ვ = A → დომენის ვ
CD_ვ = B → Counterdomain of ვ

ფუნქციის საწინააღმდეგო დომენის ქვესიმრავლე ჩამოყალიბებულია ელემენტებით, რომლებიც დაკავშირებულია სიმრავლის ელემენტებთან სურათი ფუნქციის და აღინიშნება:

მე ვარ_ვ → გამოსახულება ვ

• მაგალითი

განვიხილოთ ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაზე წარმოდგენილი f: A → B ფუნქცია და განვსაზღვროთ დომენი, საწინააღმდეგო დომენი და სურათი.

როგორც უკვე ნათქვამია, სიმრავლე A = {1, 2, 3, 4} არის ფუნქციის დომენი ვ, ხოლო სიმრავლე B = {0, 2, 3, –1} იგივე ფუნქციის საწინააღმდეგო დომენია. ახლა შეამჩნიეთ, რომ ელემენტების მიერ ჩამოყალიბებული სიმრავლე, რომლებიც იღებენ ისარს (ნარინჯისფერში), შექმნილია {0, 2, –1} ელემენტებით, არის ქვე-ქვეკუთხედი B, ეს სიმრავლე წარმოადგენს ფუნქციის გამოსახულებას ვ, ამრიგად:

დ_ვ = A = {1, 2, 3, 4}

CD_ვ = B = {0, 2, 3, -1}

მე ვარ_ვ = {0, 2, –1}

ჩვენ ვამბობთ, რომ 0 არის ელემენტის გამოსახულება 1 დომენის, ისევე როგორც 2 ეს ელემენტების გამოსახულებაა 2 და 3 დომენის და –1 არის ელემენტის გამოსახულება 4 დომენის. ამ სამი ცნების შესახებ მეტი რომ შეიტყოთ, წაიკითხეთ: დდომენი, კოომედია და სურათი.

სურიქციული ფუნქცია

ფუნქცია ვ: A → B იქნება სუნიკური ან ზედმეტი, თუ მხოლოდ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სურათის ნაკრები დაემთხვა საწინააღმდეგო დომენს, ანუ თუ საწინააღმდეგო დომენის ყველა ელემენტია გამოსახულებები.

ჩვენ მაშინ ვამბობთ, რომ ფუნქცია სუპერექციურია, როდესაც counterdomain- ის ყველა ელემენტი იღებს ისრებს. თუ გსურთ ამ ტიპის ფუნქციების სიღრმეში შესვლა, ეწვიეთ ჩვენს ტექსტს: Overjet ფუნქცია.

ინექციური ფუნქცია

ფუნქცია ვ: A → B იქნება ინექციური ან ინფიცირებული, თუ მხოლოდ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დომენის განსხვავებულ ელემენტებს ექნებათ მკაფიო გამოსახულებები საწინააღმდეგო დომენში, ანუ მსგავსი სურათები გენერირდება დომენის მსგავსი ელემენტებით.

გაითვალისწინეთ, რომ პირობაა, რომ დომენის სხვადასხვა ელემენტები უკავშირდება კონტრ-დომენის სხვადასხვა ელემენტებს, კონდომდომში დარჩენილი ელემენტების პრობლემა არ არის. ამ კონცეფციის უკეთ გასაგებად შეგიძლიათ წაიკითხოთ ტექსტი: ინჟექტორის ფუნქცია.

ბიექტორის ფუნქცია

ფუნქცია ვ: A → B ბიექტური იქნება, თუ მხოლოდ და მხოლოდ მაშინ ინჟექტორი და სურექტორი ერთდროულად, ანუ დომენის განსხვავებულ ელემენტებს აქვთ მკაფიო გამოსახულებები და სურათი ემთხვევა საწინააღმდეგო დომენს.

• მაგალითი

თითოეულ შემთხვევაში, გაამართლეთ არის თუ არა f (x) = x ფუნქცია² ეს არის ინექციური, სუბიექტური ან ბიექციური.

) ვ: ℝ₊ → ℝ

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის დომენი არის ყველა დადებითი რეალობა, ხოლო საწინააღმდეგო დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი. ვიცით, რომ f ფუნქცია მოცემულია f (x) = x– ით²ახლა წარმოიდგინეთ ყველა დადებითი რეალური რიცხვი მაღალი კვადრატში, ყველა სურათი ასევე პოზიტიური იქნება. ასე რომ, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფუნქცია არის ინექციური და არა სუპერექტიული, ვინაიდან უარყოფითი რეალური რიცხვები ისრებს არ მიიღებს.

იგი ინექციურია, როგორც დომენის თითოეული ელემენტი ()₊) უკავშირდება მხოლოდ საწინააღმდეგო დომენის ერთ ელემენტს ().

ბ) ვ: ℝ → ℝ₊

ამ შემთხვევაში ფუნქციას აქვს დომინირება, როგორც ყველა რეალობა და საწინააღმდეგო დომენი, როგორც პოზიტიური რეალობა. ჩვენ ვიცით, რომ ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი კვადრატში დადებითია, ამიტომ counterdomain- ის ყველა ელემენტს აქვს ისრები, ამიტომ ფუნქცია არის სუტერციული. ეს არ იქნება ინექცია, რადგან დომენის ელემენტები უკავშირდება მრიცხველის დომენის ორ ელემენტს, მაგალითად:

ვ(–2) = (–2)² = 4

ვ(2) = (2)² = 4

ჩ) ვ:ℝ₊ → ℝ₊

ამ მაგალითში ფუნქციას აქვს domain და counterdomain, როგორც პოზიტიური რეალური რიცხვები, ამიტომ ფუნქცია არის ბიექტორი, რადგან თითოეული პოზიტიური რეალური რიცხვი ეხება ერთს ნამდვილი რიცხვი counterdomain– ის პოზიტიური, ამ შემთხვევაში რიცხვის კვადრატი. გარდა ამისა, ყველა საშინაო დომენის ნომრებმა მიიღო ისრები.

კომპოზიციური ფუნქცია

კომპოზიციური ფუნქცია ასოცირდება მალსახმობის იდეა. განვიხილოთ სამი არა ცარიელი ნაკრები A, B და C. აგრეთვე გაითვალისწინეთ f და g ორი ფუნქცია, სადაც f ფუნქცია იღებს x ელემენტებს A სიმრავლიდან y ელემენტებამდე y = f (x) B კომპლექტიდან, ხოლო g ფუნქცია y ელემენტებს y = f (x) C ელემენტების z ელემენტებამდე.

კომპოზიციური ფუნქცია იღებს ამ სახელს, რადგან ეს არის პროგრამა, რომელიც იღებს ელემენტებს A სიმრავლიდან პირდაპირ C სიმრავლის ელემენტებამდე, B სიმრავლის გავლის გარეშე, f და g ფუნქციების შედგენის გზით. შეხედე:

(F o g) - ით აღნიშნული ფუნქცია იღებს ელემენტებს A სიმრავლიდან პირდაპირ C სიმრავლისა. მას კომპოზიციურ ფუნქციას უწოდებენ.

• მაგალითი

განვიხილოთ f (x) = x ფუნქცია² და ფუნქცია g (x) = x + 1. იპოვნეთ კომპოზიციური ფუნქციები (f o g) (x) და (g o f) (x).

F o g ფუნქცია მოცემულია f ფუნქციისთვის გამოყენებული g ფუნქციით, ეს არის:

(f o g) (x) = f (g (x))

ამ კომპოზიციური ფუნქციის დასადგენად უნდა გავითვალისწინოთ ფუნქცია ვ, და x ცვლადის ნაცვლად, უნდა დავწეროთ ფუნქცია გ. შეხედე:

x²

(x + 1)²

(f o g) (x) = f (g (x)) = x² + 2x + 1

ანალოგიურად, კომპოზიციური ფუნქციის დასადგენად (g o f) (x), უნდა გამოვიყენოთ ფუნქცია ვ როლში გ, ანუ, გაითვალისწინეთ g ფუნქცია და დაწეროთ f ფუნქცია ცვლადის ადგილას. შეხედე:

(x + 1)

x² + 1

ამიტომ, კომპოზიციური ფუნქცია (g o f) (x) = g (f (x)) = x² + 1.

ფუნქციაც კი

განვიხილოთ ფუნქცია ვ: A → where, სადაც A არის ცარიელი რეალობების ქვესიმრავლე. F ფუნქცია მხოლოდ ყველა რეალური x იქნება.

• მაგალითი

განვიხილოთ ფუნქცია ვ: ℝ → ℝ, მოცემულია f (x) = x მიერ².

გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი რეალური x მნიშვნელობისთვის, თუ კვადრატში, შედეგი ყოველთვის დადებითია, ეს არის:

f (x) = x²

და

f (–x) = (–x)² = x²

ასე რომ f (x) = f (–x) ნებისმიერი რეალური x მნიშვნელობისთვის, ასე რომ, ფუნქცია ვ ეს წყვილია.

წაიკითხეთ ასევე:დენის თვისებებიs - რა არის ისინი და როგორ საათზე გამოყენებასაჰაერო?

უნიკალური ფუნქცია

განვიხილოთ ფუნქცია ვ: A → where, სადაც A არის ცარიელი რეალობების ქვესიმრავლე. F ფუნქცია კენტი იქნება მხოლოდ ყველა რეალური x– ისთვის.

• მაგალითი

განვიხილოთ ფუნქცია ვ: ℝ → ℝ, მოცემულია f (x) = x მიერ³.

იხილეთ, რომ x ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის შეგვიძლია დავწეროთ, რომ³ = -x³. იხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

(–2)³ = –2³ = –8

(–3)³ = –3³ = –27

ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ:

f (–x) = (–x)³ = –x³

f (–x) = (–x)³ = –f (x)

ასე რომ, ნებისმიერი რეალური x f (–x) = –f (x) და ა.შ. f (x) = x ფუნქცია³ უნიკალურია.

ფუნქციის გაზრდა

ფუნქცია ვ é იზრდება ინტერვალით მხოლოდ და მხოლოდ მაშინ, თუ დომენის ელემენტები იზრდება, მათი სურათებიც იზრდება. შეხედე:

გაითვალისწინეთ, რომ x₁ > x₂ და იგივე ხდება გამოსახულების შემთხვევაში, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავადგინოთ ალგებრული პირობა ფუნქციისთვის ვ იყოს იზრდება.

დაღმავალი ფუნქცია

ფუნქცია ვ é იკლებს ინტერვალით მხოლოდ და მხოლოდ მაშინ, თუ დომენის ელემენტები იზრდება, მათი სურათები იკლებს. შეხედე:

აგრეთვე, რომ ფუნქციის დომენში გვაქვს x₁ > x₂, თუმცა ეს არ ხდება ფუნქციის სურათში, სადაც f (x₁) 2). ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავადგინოთ ალგებრული პირობა ფუნქციების შემცირებისთვის. შეხედე:

მუდმივი ფუნქცია

როგორც სახელი ამბობს, ა ფუნქცია არის მუდმივი როდესაც, ნებისმიერი ღირებულებისთვის დომენი, სურათის ღირებულება ყოველთვის იგივეა.

დაკავშირებული ფუნქცია

პირველი ხარისხის აფინური ფუნქცია ან პოლინომი წერია სახით:

f (x) = ცული + ბ

სადაც a და b არის ნამდვილი რიცხვები, a არის ნულოვანი, ხოლო თქვენი გრაფიკი არის წრფე. ფუნქციას აქვს რეალური დომენი და ასევე რეალური საწინააღმდეგო დომენი.

კვადრატული ფუნქცია

კვადრატული ფუნქცია ან პოლინომის მეორე ხარისხის მოცემულია ა მრავალწევრი ორი კლასის, ამრიგად:

f (x) = ცული² + bx + გ

სადაც a, b და c არის ნამდვილი რიცხვები არაზულოვანი, და თქვენი გრაფიკი არის a იგავი. ამ როლს აქვს რეალური დომენისა და მრიცხველის დომენი.

მოდულური ფუნქცია

მოდულური ფუნქცია თან ცვლადი x პოულობს-თუკი მოდულის შიგნით და ალგებრულად გამოხატულია შემდეგით:

f (x) = | x |

ფუნქციას ასევე აქვს რეალური დომენისა და მრიცხველის დომენი, ანუ ჩვენ შეგვიძლია გამოვანგარიშოთ ნებისმიერი რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა.

ექსპონენციალური ფუნქცია

ექსპონენციალური ფუნქციააჩვენებს ცვლადს x მაჩვენებელში. მას ასევე აქვს რეალური დომენი და რეალური საწინააღმდეგო დომენი და აღწერილია ალგებრული გზით:

f (x) = ა^x

სადაც a არის რეალური რიცხვი ნულზე მეტი.

ლოგარითმული ფუნქცია

ლოგარითმული ფუნქცია აქვს ცვლადი ლოგარითმში და დომენი, რომელიც ნულზე მეტია რეალური ციფრებით.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

საათზე ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აქვს ცვლადი x, რომელიც მოიცავს ტრიგონომეტრიულ კოეფიციენტებს, მთავარია:

f (x) = ცოდვა (x)

f (x) = cos (x)

f (x) = tg (x)

ფესვის ფუნქცია

ძირეული ფუნქციისთვის დამახასიათებელია ცვლადი ფესვის შიგნითამასთან, თუ ძირის ინდექსი ლუწია, ფუნქციის დომენად იქცევა მხოლოდ დადებითი რეალური რიცხვები.

რობსონ ლუიზის მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

მეტალურგიულ ინდუსტრიაში საავტომობილო ნაწილის წარმოების ღირებულება შეესაბამება ყოველთვიურ ფიქსირებულ ღირებულებას 5 აშშ დოლარს 000.00 პლუს ცვალებადი ღირებულება 55 $ R $ ერთ ერთეულზე, დამატებული ღირებულების 25% გადასახადი ცვლადი. იმის გათვალისწინებით, რომ ამ ნაწილის გაყიდვის ფასი ინდუსტრიის მიერ სავაჭრო ობიექტებზე შეადგენს 102,00 აშშ დოლარს, განსაზღვრეთ:

ა) x ცალის წარმოების ღირებულების ფუნქცია.

ბ) შემოსავლის ფუნქცია, რომელიც ეხება x ცალის გაყიდვას.

გ) მოგების ფუნქცია x ცალის გაყიდვაში.

BMI (სხეულის მასის ინდექსი) არის მათემატიკური ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრავს განიხილება თუ არა ზრდასრული ადამიანი მსუქანი, მსუქანი, ნორმალური ან მცირეწონიანი, რაც უკავშირებს პირის მასას კილოგრამებში სიმაღლის გაზომვის კვადრატში მეტრი. ქვემოთ მოცემული ცხრილის მიხედვით, განსაზღვრეთ ადამიანის მასა, რომლის სიმაღლეა 1,90 მეტრი, ისე, რომ მისი BMI ნორმალურად ჩაითვალოს.