რიცხვითი სიმრავლეები: რა არის ისინი და მახასიათებლები

კვლევა დაახლოებით რიცხვითი სიმრავლეები მათემატიკის ერთ-ერთ მთავარ მიმართულებას წარმოადგენს, რადგან ისინი ძალზე მნიშვნელოვანია ამ თეორიული დარგის განვითარებისთვის და რამდენიმე პრაქტიკული გამოყენება აქვთ. რიცხვითი სიმრავლეთა შესწავლა მოიცავს:

• ბუნებრივი რიცხვები;
• მთელი რიცხვები;
• რაციონალური რიცხვი;
• ირაციონალური რიცხვები;
• რეალური რიცხვები; და
• რთული რიცხვები.

წაიკითხე მეტი: მარტივი რიცხვები - რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ 1 და თვითონ გამყოფები

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე

პირველი ცივილიზაციების განვითარებამ მოიტანა სოფლის მეურნეობისა და კომერციის გაუმჯობესება და, შესაბამისად, რიცხვების გამოყენება რაოდენობების გამოსახატავად. პირველი ნაკრები ბუნებრივად მოვიდა, აქედან მომდინარეობს მისი სახელწოდებაც. ბუნებრივი დასახელებული სიმრავლე გამოიყენება სიდიდეების გამოსახატავად, იგი აღინიშნება სიმბოლო და იწერება თანმიმდევრული ფორმით. შეხედე:

ო რიცხვების ნაკრები naturaარის é უსასრულო და დახურულია ოპერაციებისათვის დამატება და გამრავლება, ანუ, ყოველთვის, როდესაც ჩვენ დავუმატებთ ან გავამრავლებთ ორ ბუნებრივ რიცხვს, პასუხი მაინც ბუნებრივია. ამასთან, გამოკლების ოპერაციისთვის და

დაყოფა, კომპლექტი არ არის დახურული. შეხედე:

5 – 6 = –1

3 ÷ 2 = 0,5

გაითვალისწინეთ, რომ ციფრები –1 და 0,5 ისინი არ მიეკუთვნებიან ბუნებათა სიმრავლეს და ეს არის რიცხვების ახალი სიმრავლეების შექმნისა და შესწავლის გამართლება.

ასევე, ვარსკვლავის (*) განთავსება ბუნებრივი სიმბოლოში, სიიდან უნდა ამოვიღოთ ნულოვანი რიცხვი, იხილეთ:

მითითებულია მთელი რიცხვები

მთლიანი რიცხვი გამოვიდა საჭიროა ოპერაციის განხორციელება გამოკლება შეზღუდვების გარეშე. როგორც ვნახეთ, როდესაც უფრო მცირე რიცხვს გამოკლდება უფრო დიდი, პასუხი არ მიეკუთვნება ბუნების ჯგუფს.

მთელი რიცხვების სიმრავლე ასევე წარმოდგენილია უსასრულო რიცხვითი თანმიმდევრობით და აღინიშნება სიმბოლო.

როგორც ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლეში, the სიმბოლოში ვარსკვლავის განთავსებით, ნულოვანი ელემენტი ამოღებულია სიმრავლიდან, ასე:

(-) სიმბოლო, რომელიც რიცხვს ახლავს, მიუთითებს, რომ ის სიმეტრიულია, ამიტომ რიცხვის 4 სიმეტრიულია რიცხვი –4. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლე შეიცავს მთელ რიცხვთა სიმრავლეს, ანუ, ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლე არის მთლიანი რიცხვების სიმრავლე.

ℕ ⸦ ℤ

წაიკითხეთ ასევე: ოპერაციები მთელი რიცხვებით - რა არის ისინი და როგორ გამოვთვალოთ?

რაციონალური რიცხვების სიმრავლე

ო რაციონალური რიცხვების სიმრავლე é წარმოდგენილია სიმბოლოთი ℚ და არ არის წარმოდგენილი რიცხვითი თანმიმდევრობით. ეს სიმრავლე შედგება ყველა იმ რიცხვისგან, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ჩვენ მის ელემენტებს შემდეგნაირად წარმოვადგენთ:

ჩვენ ვიცით, რომ ყველა მთლიანი რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ა წილადი, ანუ, მთლიანი რიცხვების სიმრავლე შეიცავს რაციონალურ რიცხვებს, ასე რომ, მთელი რიცხვების სიმრავლე არის რაციონალების ქვესიმრავლე.

ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ

რიცხვები, რომლებსაც აქვთ უსასრულო წარმოდგენა, მაგალითად პერიოდული მეათედი, ასევე აქვთ წარმომადგენლობა ფრაქციის სახით, ამრიგად, ისინიც რაციონალურია.

წაიკითხეთ ასევე: ოპერაციები ფრაქციებთან - ეტაპობრივად როგორ უნდა გადაწყდეს ისინი

ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე

როგორც ვნახეთ, რიცხვი რაციონალურია, თუ ის შეიძლება დაიწეროს წილადის სახით. ასევე ითქვა, რომ უსასრულო და პერიოდული რიცხვები რაციონალურია, თუმცა არსებობს რამდენიმე რიცხვი, რომლებიც არ შეიძლება წერა წილადის სახით და რომლებიც, შესაბამისად, არ მიეკუთვნებიან რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს.

ამ არარაციონალურ რიცხვებს უწოდებენ არაგონივრული და როგორც ძირითადი მახასიათებლები ათობითი ნაწილის უსასრულობა და არახშირი, ეს არის ის, რომ ათობითი ნაწილში არცერთი რიცხვი არ მეორდება. იხილეთ რამოდენიმე მაგალითი ირაციონალური რიცხვები.

• მაგალითი 1

რიცხვების კვადრატული ფესვები, რომლებიც არ არიან სრულყოფილი კვადრატები.

• მაგალითი 2

მუდმივები, რომლებიც განსაკუთრებული მიზეზებით მოდის, მაგალითად, ოქროს ნომერი, ეილერის ნომერი ან Pi.

რეალური რიცხვების სიმრავლე

ო რეალური რიცხვების სიმრავლე წარმოდგენილია სიმბოლოთი ℝ და იქმნება ერთიანობარაციონალური რიცხვების სიმრავლისა ირაციონალური რიცხვების სიმრავლით. გახსოვდეთ, რომ რაციონალური ერთობლიობა არის ბუნებრივი და მთელი სიმრავლეების გაერთიანება.

როდესაც რეალურ რიცხვებს ვაწყობთ წრფეზე, უნდა გქონდეთ, რომ ნულოვანი რიცხვი წრფის წარმოშობაა, ნულის მარჯვნივ იქნება დადებითი რიცხვები, ხოლო მარცხნივ - უარყოფითი რიცხვები.

რადგან ეს ღერძი რეალურია, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ორ რიცხვს შორის არის უსასრულო რიცხვი და ასევე რომ ეს ღერძი უსასრულოა პოზიტიური მიმართულება როდესაც შიგნით უარყოფითი მიმართულება.

რთული რიცხვების სიმრავლე

ო კომპლექსური რიცხვების სიმრავლე ეს არის ბოლო და ის წარმოიშვა იმავე მიზეზით, რაც მთელი რიცხვების სიმრავლეა, ანუ ეს არის ოპერაცია, რომლის განვითარება მხოლოდ რეალთა სიმრავლით შეუძლებელია.

შემდეგი განტოლების ამოხსნა, ნახეთ, რომ მას არ აქვს ამოხსნა, იცოდეთ მხოლოდ რეალური რიცხვები.

x² + 1 = 0

x² = –1

გაითვალისწინეთ, რომ უნდა ვიპოვოთ ნომერი, რომელიც როდის ამაღლებადო კვადრატში, უარყოფითი რიცხვი. ჩვენ ეს ვიცით კვადრატში ნებისმიერი რიცხვი ყოველთვის დადებითია, ამრიგად, ამ გაანგარიშებას რეალური გამოსავალი არ აქვს.

ასე შეიქმნა რთული რიცხვები, რომელშიც გვაქვს ა წარმოსახვითი ნომერი აღინიშნა მე, რომელსაც აქვს შემდეგი მნიშვნელობა:

ასე რომ, გააცნობიერე, რომ განტოლება რომ ადრე გამოსავალი არ ჰქონდა ახლა აქვს. შეამოწმეთ:

წაიკითხე მეტი: თვისებები, რომლებიც მოიცავს რთულ რიცხვებს

რეალური ინტერვალით

ზოგიერთ შემთხვევაში, ჩვენ არ გამოვიყენებთ ყველა რეალურ ღერძს, ანუ გამოვიყენებთ მის ნაწილებს, რომლებსაც ე.წ. შესვენებები. ეს ინტერვალია რეალური რიცხვების სიმრავლის ქვესიმრავლეები. შემდეგ, ჩვენ დავამყარებთ რამდენიმე ნოტაციას ამ ქვეჯგუფებისთვის.

• დახურული დიაპაზონი - უკიდურესობების ჩათვლით

ინტერვალი იკეტება, როდესაც ის აქვს ორი უკიდურესობა, ეს არის მინიმალური და მაქსიმალური და, ამ შემთხვევაში, უკიდურესობები არ მიეკუთვნება დიაპაზონს. ამას აღვნიშნავთ ღია ბურთის გამოყენებით. შეხედე:

წითელში არის რიცხვები, რომლებიც ამ დიაპაზონს მიეკუთვნება, ანუ ისინი რიცხვებია ა-ზე დიდი და ნაკლები ვიდრე b. ალგებრულად ვწერთ შემდეგ ინტერვალს შემდეგნაირად:

< x

სადაც რიცხვი x არის ყველა რეალური რიცხვი, რომლებიც ამ დიაპაზონშია. ასევე შეგვიძლია სიმბოლურად წარმოვადგინოთ იგი. შეხედე:

]; B [ ან ( ბ)

• დახურული დიაპაზონი - უკიდურესობების ჩათვლით

მოდით გამოვიყენოთ დახურული ბურთები ამის გამოსახატად უკიდურესობა განეკუთვნება დიაპაზონს.

ასე რომ, ჩვენ ვაგროვებთ რეალურ რიცხვებს, რომლებიც არიან a და b, მათ შორის. ალგებრული თვალსაზრისით ასეთ ინტერვალს გამოვხატავთ:

≤ xბ

სიმბოლური აღნიშვნის გამოყენებით გვაქვს:

[The; B]

• დახურული დიაპაზონი - ერთ-ერთი უკიდურესობის ჩათვლით

ჯერ ისევ დახურულ ინტერვალებთან გვაქვს საქმე, ახლა გვაქვს შემთხვევა, სადაც უკიდურესებიდან მხოლოდ ერთი შედის. ამიტომ, ერთი მარმარილო დაიხურება, რაც მიუთითებს იმაზე, რომ ნომერი მიეკუთვნება დიაპაზონს, ხოლო მეორე არა, რაც მიუთითებს იმაზე, რომ ნომერი არ მიეკუთვნება ამ დიაპაზონს.

ალგებრულად ჩვენ ამ დიაპაზონს შემდეგნაირად წარმოვადგენთ:

≤ x

სიმბოლურად გვაქვს:

[The; B [ ან [The; ბ)

• ღია დიაპაზონი - დასრულების გარეშე

დიაპაზონი იხსნება, როდესაც არ აქვს მაქსიმალური ან მინიმალური ელემენტი. ახლა ჩვენ ვნახავთ ღია დიაპაზონის შემთხვევას, რომელსაც აქვს მხოლოდ მაქსიმალური ელემენტი, რომელიც არ შედის დიაპაზონში.

იხილეთ, რომ სპექტრი შედგება რეალური რიცხვები ნაკლებია ვიდრეB, და ასევე გაითვალისწინეთ რომ რიცხვი b, რომელიც არ მიეკუთვნება დიაპაზონს (ღია ბურთი), ასე რომ, ალგებრულად, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ინტერვალი შემდეგით:

x

სიმბოლურად ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ შემდეგით:

] – ∞; B [ ან (– ∞; ბ)

• ღია დიაპაზონი - ექსტრემის ჩათვლით

ღია დიაპაზონის კიდევ ერთი მაგალითია შემთხვევა, როდესაც ექსტრემი შედის. აქ ჩვენ გვაქვს დიაპაზონი, რომელშიც გამოჩნდება მინიმალური ელემენტი, იხილეთ:

გაითვალისწინეთ, რომ ყველა რეალური რიცხვი უფრო მეტია ან ტოლი a რიცხვისა, ასე რომ ამ დიაპაზონის ალგებრული დაწერა შეგვიძლია:

xრომ

სიმბოლურად გვაქვს:

[The; +∞[ ან [The; +∞)

• ღია დიაპაზონი

ღია დიაპაზონის კიდევ ერთი შემთხვევა იქმნება რიცხვები უფრო დიდ და მცირეა, ვიდრე რეალურ ხაზზე დაფიქსირებული რიცხვები. შეხედე:

გაითვალისწინეთ, რომ ამ დიაპაზონს მიეკუთვნება რეალური რიცხვები, რომლებიც ა ან ნაკლებია ტოლი a რიცხვის, ან რიცხვები b- ზე მეტი, ამიტომ ჩვენ უნდა:

x რომ ანx > ბ

სიმბოლურად გვაქვს:

] – ∞; a] U] b; + ∞[

ან

(– ∞; a] U (b; + ∞)

რიცხვითი სიმრავლეები კლასიფიცირდება მათი მახასიათებლების მიხედვით.

რობსონ ლუიზის მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm