I წარმოშობის კვადრატი ტოლია -1

რთული რიცხვების შესწავლისას ვხვდებით შემდეგ თანასწორობას: i² = – 1.
ამ თანასწორობის დასაბუთება, როგორც წესი, ასოცირდება მე -2 ხარისხის განტოლების ამოხსნასთან კვადრატული უარყოფითი ფესვებით, რაც შეცდომაა. გამოთქმის წარმოშობა i² = - 1 ჩნდება რთული რიცხვების განსაზღვრაში, კიდევ ერთი საკითხი, რომელიც ასევე იწვევს დიდ ეჭვს. მოდით გავიგოთ ასეთი თანასწორობის მიზეზი და როგორ წარმოიქმნება იგი.
პირველი, მოდით განვსაზღვროთ გარკვეული განმარტებები.
1. ნამდვილი რიცხვების დალაგებულ წყვილს (x, y) კომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ.
2. რთული რიცხვები (x₁y₁) და (x₂y₂) ტოლია თუ და მხოლოდ x₁ = x₂ და₁ = წ₂.
3. რთული რიცხვების დამატება და გამრავლება განისაზღვრება შემდეგით:
(x₁y₁) + (x₂y₂) = (x₁ + x₂y₁ + წ₂)
(x₁y₁) * (x₂y₂) = (x₁* x₂ - ი₁* y₂, x₁* y₂ + წ₁* x₂)
მაგალითი 1. განვიხილოთ ზ₁ = (3, 4) და ზ₂ = (2, 5), გამოთვალეთ z₁ + ზ₂ და ზ₁* ზ₂.
გამოსავალი:
ზ₁ + ზ₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
ზ₁* ზ₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
მესამე დეფინიციის გამოყენებით ადვილია აჩვენოთ, რომ:
(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x

₁ + x₂, 0)
(x₁, 0) * (x₂, 0) = (x₁* x₂, 0)
ეს ტოლობები აჩვენებს, რომ შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციებთან მიმართებაში, რთული რიცხვები (x, y) იქცევიან ნამდვილ რიცხვებად. ამ კონტექსტში, ჩვენ შეგვიძლია დავამყაროთ შემდეგი ურთიერთობა: (x, 0) = x.
ამ ურთიერთობისა და i სიმბოლოს გამოყენებით წარმოადგენს კომპლექსურ რიცხვს (0, 1), ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ნებისმიერი რთული რიცხვი (x, y) შემდეგნაირად:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → რაც არის რთული რიცხვის ნორმალური ფორმა.
ამრიგად, ნორმალური ფორმით რთული რიცხვი (3, 4) ხდება 3 + 4i.
მაგალითი 2. დაწერე შემდეგი რთული რიცხვები ნორმალური ფორმით.
ა) (5, - 3) = 5 - 3i
ბ) (- 7, 11) = - 7 + 11i
გ) (2, 0) = 2 + 0i = 2
დ) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
ახლა შეამჩნიეთ, რომ ჩვენ ვუწოდებთ კომპლექსურ რიცხვს (0, 1). ვნახოთ რა ხდება i2– ის მიღებისას.
ჩვენ ვიცით, რომ i = (0, 1) და რომ i² = მე * მე. მიჰყევით ამას:
მე² = i * i = (0, 1) * (0, 1)
მე -3 განმარტების გამოყენებით გვექნება:
მე² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
როგორც ადრე ვნახეთ, ფორმის ყველა რთული რიცხვი (x, 0) = x. ამრიგად,
მე² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
მივედით ცნობილ თანასწორობასთან i² = – 1.

მარსელო რიგონატოს მიერ
სტატისტიკისა და მათემატიკური მოდელირების სპეციალისტი
ბრაზილიის სკოლის გუნდი

რთული რიცხვები - Მათემატიკა - ბრაზილიის სკოლა

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm