არითმეტიკული პროგრესია: რა არის ეს, ტერმინები, მაგალითები

არითმეტიკული პროგრესია (AP) არის რიცხვითი თანმიმდევრობა რომ მათემატიკაში გარკვეული მოვლენების ქცევის აღსაწერად ვიყენებთ. PA- ში, ზრდა ან გახრწნა ყოველთვის მუდმივია, ანუ ერთი ტერმინიდან მეორეში განსხვავება ყოველთვის იგივე იქნება და ეს განსხვავება ცნობილია როგორც მიზეზი.

შედეგად პროგრესირების პროგნოზირებადი ქცევა, თქვენ შეგიძლიათ აღწეროთ ის ფორმულით, რომელიც ცნობილია როგორც ზოგადი ტერმინი. ამავე მიზეზის გამო, შესაძლებელია ასევე გამოთვალოთ PA პირობების ჯამი კონკრეტული ფორმულის გამოყენებით.

წაიკითხეთ ასევე: გეომეტრიული პროგრესია - როგორ გამოვთვალოთ?

რა არის PA?

იმის გაგება, რომ PA არის ტერმინების თანმიმდევრობა, რომელშიც ტერმინსა და მის წინა ტერმინს შორის განსხვავება ყოველთვის მუდმივია, ამ პროგრესის ფორმულის აღსაწერად, უნდა ვიპოვოთ საწყისი ტერმინი, ან ეს არის პროგრესის პირველი ტერმინი და მისი მიზეზი, რაც არის ეს მუდმივი განსხვავება ვადები.

საერთოდ, PA იწერება შემდეგნაირად:

(₁, ა₂,₃, ა₄,₅, ა₆,₇, ა₈)

პირველი ტერმინი არის a₁ და, მისგან დაამატე მიზეზი r, მოდით ვიპოვოთ მემკვიდრე პირობები.

₁ + r = ა_2
2 + r = ა_3
3 + r = ა₄

...

ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის დასაწერად უნდა ვიცოდეთ ვინ არის მისი პირველი ტერმინი და რატომ.

მაგალითი:

მოდით, დავწეროთ AP- ის პირველი ექვსი ტერმინი, იმის ცოდნა, რომ მისი პირველი ტერმინი არის 4 და მისი თანაფარდობა უდრის 2-ს. იცის₁ = 4 და r = 2 დავასკვნათ, რომ ეს პროგრესია იწყება 4 – ით და იზრდება 2 – დან 2 – მდე. ამიტომ, მისი პირობების აღწერა შეგვიძლია.

₁ = 4

₂ = 4+ 2 = 6

₃ = 6 + 2 = 8

₄ = 8 + 2 = 10

₅= 10 + 2 = 12

₆ = 12 + 2 =14

ეს BP ტოლია (4,6,8,10,12,14).

PA– ს ზოგადი ვადა

PA– ს ფორმულის აღწერილობა გვიადვილებს მისი რომელიმე ტერმინების პოვნას. AP– ს ნებისმიერი ტერმინის მოსაძებნად, ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ ფორმულას:

არა= ა1 + r · (n-1)

N → არის ტერმინის პოზიცია;

₁Term არის პირველი ტერმინი;

რ → მიზეზი.

მაგალითი:

იპოვნე PA– ს ზოგადი ვადა (1,5,9,13,…) და მე -5, მე -10 და 23-ე ვადა.

პირველი ნაბიჯი: იპოვნე მიზეზი.

თანაფარდობის მოსაძებნად, უბრალოდ გამოთვალეთ განსხვავება ორ ზედიზედ ტერმინს შორის: 5 - 1 = 4; შემდეგ, ამ შემთხვევაში, r = 4.

მე -2 ნაბიჯი: ზოგადი ტერმინის პოვნა.

როგორ ვიცით რომ₁= 1 და r = 4, ჩავანაცვლოთ ფორმულაში.

_არა= ა₁ + r (n - 1)

_არა= 1 + 4 (n - 1)

_არა= 1 + 4n - 4

_არა= 4n - 3 PA PA სრული ვადა

მე -3 ნაბიჯი: ზოგადი ტერმინის ცოდნით, მოდით გამოვთვალოთ მე -5, მე -10 და 23-ე ტერმინები.

მე -5 ტერმინი → n = 5
_არა= 4n - 3
₅=4·5 – 3
₅=20 – 3
₅=17

მე -10 ტერმინი → n = 10
_არა= 4n - 3
₁₀=4·10 – 3
₁₀=40 – 3
₁₀=37

23-ე ტერმინი → n = 23
_არა= 4n - 3
₂₃=4·23 – 3
₂₃=92 – 3
₂₃=89

არითმეტიკული მსვლელობის ტიპები

PA– ს სამი შესაძლებლობა არსებობს. ეს შეიძლება იყოს მომატება, შემცირება ან მუდმივი.

• იზრდება

როგორც სახელიდან ჩანს, არითმეტიკული პროგრესია იზრდება, როდესაც, ტერმინების ზრდასთან ერთად მათი ღირებულებაც იზრდება., ანუ მეორე ტერმინი უფრო მეტია ვიდრე პირველი, მესამე მეტია მეორეზე და ა.შ.

₁ 2 3 4 < …. არა

ამისათვის თანაფარდობა უნდა იყოს დადებითი, ანუ PA იზრდება, თუ r> 0.

მაგალითები:

(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)

• დაღმავალი

როგორც სახელი გვთავაზობს, არითმეტიკული პროგრესიით კლება ხდება, როდესაც, ტერმინების ზრდასთან ერთად მათი ღირებულება იკლებს, ანუ მეორე ტერმინი ნაკლებია პირველზე, მესამე ნაკლებია მეორეზე და ა.შ.

₁ >₂ >₃ >₄ > …. >_არა

ამისათვის თანაფარდობა უნდა იყოს ნეგატიური, ანუ PA იზრდება, თუ r <0.

მაგალითები:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)

• მუდმივი

არითმეტიკული პროგრესია მუდმივია, როდესაც, ტერმინების ზრდასთან ერთად ღირებულება იგივე რჩება., ანუ პირველი ტერმინი უდრის მეორეს, რომელიც უდრის მესამეს და ა.შ.

₁ =₂ =₃ =₄ = …. = ა_არა

იმისათვის, რომ PA მუდმივი იყოს, თანაფარდობა უნდა იყოს ნულის ტოლი, ანუ r = 0.

მაგალითები:

(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)

იხილეთ აგრეთვე: PG პირობების პროდუქტი - რა არის ფორმულა?

PA– ს თვისებები

• 1-ლი ქონება

PA– ს ნებისმიერი ვადის გათვალისწინებით, საშუალო არითმეტიკა მის მემკვიდრესა და წინამორბედს შორის ამ ტერმინის ტოლია.

მაგალითი:

განვიხილოთ პროგრესია (-1, 2, 5, 8, 11) და ტერმინი 8. საშუალოდ 11-დან 5-ს შორის უდრის 8-ს, ანუ PA რიცხვის წინამორბედთან მემკვიდრის ჯამი ყოველთვის უდრის ამ რიცხვს.

• მე -2 ქონება

ტოლფასი ტერმინების ჯამი ყოველთვის ტოლია.

მაგალითი:

PA– ს პირობების ჯამი

დავუშვათ, რომ გვინდა დავამატოთ ზემოთ ნაჩვენები BP ექვსი ტერმინი: (16,13,10,7,4,1). ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ დავამატოთ მათი ტერმინები - ამ შემთხვევაში რამდენიმე ტერმინი არსებობს, შესაძლებელია - მაგრამ თუ ეს ასეა გრძელი სტრიქონი, უნდა გამოიყენოთ ქონება. ჩვენ ვიცით, რომ ტოლობის თანაბარი ტერმინების ჯამი ყოველთვის თანაბარია, როგორც თვისებაში ვნახეთ, ასე რომ თუ ამას ვასრულებთ ერთხელ დავამატოთ და გავამრავლოთ ტერმინების ნახევარზე, ჩვენ გვაქვს პირველი ექვსი ტერმინების ჯამი პან

გაითვალისწინეთ, რომ მაგალითში ჩვენ ვიანგარიშებთ პირველი და ბოლო ჯამს, რომელიც უდრის 17-ს, გამრავლებული ტერმინების ნახევარზე, ანუ 17-ჯერ 3-ზე, რაც 51-ის ტოლია.

ფორმულა PA– ს პირობების ჯამი იგი შეიმუშავა მათემატიკოსმა გაუსმა, რომელმაც ეს სიმეტრია გააცნობიერა არითმეტიკულ პროგრესიებში. ფორმულა დაწერილია შემდეგნაირად:

ს_არა N ელემენტის ჯამი

₁ პირველი ტერმინი

_არა → ბოლო ვადა

n → ტერმინების რაოდენობა

მაგალითი:

გამოითვალეთ კენტი რიცხვების ჯამი 1-დან 2000 წლამდე.

რეზოლუცია:

ჩვენ ვიცით, რომ ეს თანმიმდევრობა არის PA (1,3,5,). 1997, 1999). ჯამის შესრულება ძალიან ბევრი შრომაა, ამიტომ ფორმულა საკმაოდ მოსახერხებელია. 1-დან 2000 წლამდე რიცხვების ნახევარი უცნაურია, ასე რომ, აქ 1000 უცნაური რიცხვია.

მონაცემები:

n → 1000

₁ → 1

_არა → 1999

აგრეთვე წვდომა: სასრული PG- ის ჯამი - როგორ გავაკეთოთ ეს?

არითმეტიკული საშუალებების ინტერპოლაცია

არითმეტიკული პროგრესიის ორი არაერთმნიშვნელოვანი ტერმინის ცოდნით, შესაძლებელია იპოვოთ ყველა ტერმინი, რომლებიც ამ ორ რიცხვს შორის მოდის, რაც ჩვენ ვიცით არითმეტიკული საშუალებების ინტერპოლაცია.

მაგალითი:

მოდით, ჩავატაროთ 5 არითმეტიკული საშუალება 13 – დან 55 – მდე. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს 5 რიცხვი 13-დან 55-მდე და ისინი წარმოქმნიან პროგრესირებას.

(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).

ამ ციფრების მოსაძებნად საჭიროა მიზეზის პოვნა. ჩვენ ვიცით პირველი ტერმინი (₁ = 13) და ასევე მე -7 ტერმინი (₇= 55), მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ:

_არა =₁ + r · (n - 1)

როდესაც n = 7 → ა_არა= 55. ჩვენ ასევე ვიცით ა-ს ღირებულება₁=13. ამრიგად, ის ჩავანაცვლოთ ფორმულაში, ჩვენ უნდა:

55 = 13 + რ · (7 - 1)

55 = 13 + 6 რ

55 - 13 = 6 რ

42 = 6 რ

r = 42: 6

r = 7.

მიზეზის ცოდნისას შეგვიძლია ვიპოვოთ ტერმინები, რომლებიც 13-დან 55-მდეა.

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

მიმდევრობა 1-დან 10-მდე არის 1-ის თანაფარდობის არითმეტიკული პროგრესია.

ამოხსნილი სავარჯიშოები

Კითხვა 1 - (Enem 2012) - კარტების თამაში არის აქტივობა, რომელიც ასტიმულირებს მსჯელობას. ტრადიციული თამაშია Solitaire, რომელშიც 52 კარტი გამოიყენება. თავდაპირველად, შვიდი სვეტი იქმნება ბარათებით. პირველ სვეტს აქვს ერთი კარტი, მეორეს ორი კარტი, მესამეს აქვს სამი კარტი, მეოთხედს აქვს ოთხი კარტი და ა.შ. თანმიმდევრულად მეშვიდე სვეტისკენ, რომელსაც აქვს შვიდი კარტი და რა ქმნის წყობას, რომლებიც გამოუყენებელი ბარათებია სვეტები.

ბარათების რაოდენობა, რომლებიც ქმნის წყობას:

ა) 21.
ბ) 24.
გ) 26.
დ) 28.
ე) 31.

რეზოლუცია

ალტერნატივა B.

თავდაპირველად მოდით გამოვთვალოთ გამოყენებული ბარათების საერთო რაოდენობა. ჩვენ ვმუშაობთ AP- თან, რომლის პირველი ტერმინი არის 1 და თანაფარდობა ასევე არის 1. ასე რომ, 7 რიგის ჯამის გამოთვლისას, ბოლო ტერმინი არის 7, ხოლო n– ის მნიშვნელობა ასევე არის 7.

იმის ცოდნა, რომ გამოყენებული ბარათების საერთო რაოდენობა იყო 28 და რომ არსებობს 52 კარტი, წყობას ქმნის:

52 - 28 = 24 კარტი

კითხვა 2 - (Enem 2018) პატარა ქალაქის მერია გადაწყვეტს ბოძების განათებას განათების გარშემო სწორი გზის გასწვრივ, რომელიც იწყება ცენტრალურ მოედანზე და მთავრდება ფერმაში. სოფლის. რადგან მოედანს უკვე აქვს განათება, პირველი ბოძი განთავსდება მოედნიდან 80 მეტრში, მეორეზე 100 მეტრზე, მესამეზე 120 მეტრზე და ა.შ. თანმიმდევრულად, საყრდენებს შორის ყოველთვის უნდა იყოს 20 მეტრის დაშორება, სანამ ბოლო პოსტი განთავსდება 1,380 მეტრის დაშორებით მოედანი.

თუ ქალაქს შეუძლია გადაიხადოს მაქსიმუმ 8,000.00 R $ თითო განთავსებულ პოსტზე, ყველაზე მაღალი თანხა, რაც შეგიძლიათ დახარჯოთ ამ პოსტების განთავსებაზე:

ა) 512 000.00 BRL.
ბ) 520,000.00 BRL.
გ) $ 528,000.00.
დ) 552,000.00 BRL.
ე) 584 000.00 BRL.

რეზოლუცია

ალტერნატიული C.

ჩვენ ვიცით, რომ პოსტები განთავსდება ყოველ 20 მეტრში, ანუ r = 20 და რომ ამ PA პირველი ვადაა 80. ასევე, ვიცით, რომ ბოლო ტერმინი არის 1380, მაგრამ არ ვიცით რამდენი ტერმინია 80 – დან 1380 – მდე. ამ რაოდენობის ტერმინების გამოსათვლელად გამოვიყენოთ ზოგადი ტერმინების ფორმულა.

მონაცემები: ა_არა = 1380;₁=80; და r = 20.

_არა= ა₁ + r · (n-1)

განთავსდება 660 შეტყობინება. თუ თითოეული მათგანის მაქსიმალური ღირებულებაა 8,000 R $, ყველაზე მაღალი თანხა, რომელიც შეიძლება დაიხარჯოს ამ პოსტების განთავსებით, არის:

66· 8 000 = 528 000

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ 

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm