方程式：それは何ですか、基本的な概念、タイプ、例

1 方程式 は、等式と少なくとも1つの未知数を持つ数学的文です。つまり、 代数式と等式. 方程式の研究には、 数式. 方程式の目的は 未知の値を見つける それは平等をアイデンティティ、つまり真の平等に変えます。

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方程式研究の基本概念

方程式は、 わからない、少なくとも、そして 平等、 未知数の数でランク付けできます。 いくつかの例を参照してください。

a）5t – 9 = 16

方程式には、文字で表される未知数があります t.

b）5x + 6y = 1

方程式には、文字で表される2つの未知数があります バツ そして y。

c）t⁴ – 8z = x

方程式には、文字で表される3つの未知数があります OK、z そして バツ.

方程式が何であれ、私たちはあなたのことを考慮に入れなければなりません 宇宙セット、未知のものに割り当てることができるすべての可能な値で構成されています、このセットは文字で表されます U.

• 例1

方程式x + 1 = 0とその可能な解x = –1を考えてみましょう。 ここで、方程式の宇宙集合が ナチュラル.

その要素は未知のものが取ることができるすべての可能な値であるため、想定される解はユニバースセットに属していないことに注意してください。したがって、x = –1は方程式の解ではありません。

もちろん、未知数の数が多いほど、解を決定するのは難しくなります。 THE 解決 または ソース 方程式のは、未知数に割り当てられたときに等式を真にするすべての値のセットです。

• 例2

未知の5x– 9 = 16の方程式を考え、x = 5が方程式の解または根であることを確認します。

それでそれを言うことができるように x = 5 は方程式の解です。式にこの値を代入する必要があります。真の等式が見つかった場合、数値がテストされた解になります。

5バツ – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

見つかった等式が真であることを確認してください。したがって、アイデンティティがあり、5という数字が解決策です。 したがって、解集合は次の式で与えられると言えます。

S = {5}

• 例3

方程式tを考えてみましょう² = 4とし、t = 2またはt = –2が方程式の解であるかどうかを確認します。

同様に、tの値を方程式に代入する必要がありますが、未知数には2つの値があるため、2つのステップで検証を実行する必要があることに注意してください。

ステップ1 – t = 2の場合

t²= 4

2² = 4

4 = 4

ステップ2 – t = –2の場合

t² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

t = 2とt = – 2については、アイデンティティを見つけるので、これら2つの値は方程式の解です。 したがって、解集合は次のようになります。

S = {2、–2}

方程式の種類

未知数が占める位置に関する方程式を分類することもできます。 主なタイプを参照してください。

• 多項式

で 多項式 ゼロに等しい多項式を持つことを特徴とします。 いくつかの例を参照してください。

） 6t³+ 5t²–5t = 0

数字6, 5 そして –5 方程式の係数です。

B） 9バツ – 9= 0

数字 9 そして – 9 方程式の係数です。

c）y²– y – 1 = 0

数字 1, – 1 そして – 1 方程式の係数です。

• 方程式の度

多項式は次数で分類できます。 だけでなく、 多項式、多項式の次数は次の式で与えられます。 係数がゼロ以外の最大電力.

前の例a、b、cから、方程式の次数は次のようになります。

a）6t³ + 5t² –5t = 0→の多項式 三度

b）9バツ – 9 = 0→の多項式 一学位

ç） y² – y – 1 = 0→の多項式 高校

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• 有理方程式

有理方程式は、 分母の未知数 分数. いくつかの例を参照してください。

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• 不合理な方程式

で 不合理な方程式 彼らを持っていることによって特徴付けられます n番目のルート内の不明、つまり、インデックスnを持つ部首の内部。 いくつかの例を参照してください。

• 指数方程式

で 指数方程式 持っている 指数にある未知数 の 効力. いくつかの例を参照してください。

• 対数方程式

で 対数方程式 持っていることを特徴とする の一部にある1つ以上の未知数 対数. 対数の定義を適用すると、前述のいくつかのケースで方程式が当てはまることがわかります。 いくつかの例を参照してください。

も参照してください： 未知の1次方程式

方程式を解く方法は？

方程式を解くには、 各タイプで使用されるメソッドつまり、方程式のタイプごとに、可能な根を決定するための異なる方法があります。 ただし、これらの方法はすべて 等価原理から導き出された、それで方程式の主なタイプを解くことが可能です。

• 等価原理

等価の第2の原則は、平等の反対側で同じことを行う限り、平等の一方の側で自由に操作できます。 理解を深めるために、これらの側面に名前を付けます。

したがって、等価原理はそれが可能であると述べています 最初の手足を操作する 自由に 同じ操作が2番目のメンバーで実行されます.

等価原理を検証するために、次の等価性を考慮してください。

5 = 5

さあ、行きましょう たす 両側で数字の7であり、平等は依然として真であることに注意してください。

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

さあ、行きましょう 減算 平等の両側で10、平等はまだ真であることに再度注意してください。

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

できることを確認してください かける または シェア に上げて 効力 または抽出する ソース、それが最初と2番目のメンバーで行われる限り、平等は常に当てはまります。

方程式を解くには、この原理を前述の操作の知識と一緒に使用する必要があります。 方程式の作成を容易にするために、最初のメンバーで実行される操作を省略しましょう。 これは、番号を他のメンバーに渡し、反対の記号を交換していると言うのと同じです。

方程式の解を決定するという考えは常にです 等価原理を使用して未知のものを分離する、見て：

• 例4

等価原理を使用して、宇宙集合が次の式で与えられることを知って、方程式2x – 4 = 8の解集合を決定します。U=ℝ。

2x-4 = 8

1次の多項式を解くには、最初のメンバーの未知数を分離したままにする必要があります。 このため、–4 + 4 = 0であるため、最初のメンバーから–4の数値を取得し、両側に4を追加します。

2x-4 = 8

2x-4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

このプロセスを実行することは、反対の符号で数字4を渡すことと同じであることに注意してください。 したがって、未知のxを分離するために、xを乗算しているので、2番目のメンバーに数値2を渡します。 （覚えておいてください：乗算の逆演算は除算です）。 両側を2で割るのと同じです。

したがって、解集合は次の式で与えられます。

S = {6}

• 例5

方程式2を解く^{x + 5} = 128は、ユニバースセットがU =ℝで与えられることを知っています。

指数方程式を解くために、最初に以下を使用しましょう 増強特性:

ザ・^{m + n} =^m ・a^番号

2という事実も使用します² = 4および2⁵ = 32.

2^{x + 5} = 128

2^バツ · 2⁵ = 128

2^バツ · 32 = 128

両側を32で割ることができることに注意してください。つまり、除算によって数値32を2番目のメンバーに渡すことができます。

したがって、次のことを行う必要があります。

2^バツ = 4

2^バツ = 2²

等式を満たすxの唯一の値は数値2であるため、x = 2であり、解集合は次の式で与えられます。

S = {2}

方程式は科学のいくつかの分野に存在します。

解決された演習

質問1 –設定されたユニバースU =ℕを考慮し、次の無理方程式の解を決定します。

解決

この方程式を解くには、最初のメンバーの根を削除する必要があります。 このためには、最初のメンバーをルートと同じインデックス、つまりキューブに昇格させる必要があることに注意してください。 等価原理により、2番目の等式メンバーも引き上げる必要があります。

ここで、2次の多項式を解く必要があることに注意してください。 未知のxを分離するために、数11を2番目のメンバーに渡します（等式の両側で11を引きます）。

バツ² = 27 – 11

バツ² = 16

xの値を決定するために、等式を満たす2つの値があることを確認してください。 x ’= 4またはx’ ’= –4、 一度：

4² = 16

そして

(–4)² = 16

ただし、質問のステートメントで、与えられた宇宙集合は自然数の集合であり、数-4はそれに属していないことに注意してください。したがって、解集合は次のように与えられます。

S = {4}

質問2 –多項式xを考えます² + 1 = 0は、ユニバースセットがU =ℝで与えられることを知っています。

解決

等価原理の場合、両方のメンバーから1を引きます。

バツ² + 1 – 1= 0 – 1

バツ² = – 1

ユニバースセットは実数、つまりすべての 未知数が想定できる値は実数であり、2乗したときに実数はありません 負。

1² = 1

そして

(–1)² = 1

したがって、方程式は実数の集合に解を持たず、したがって解集合は空であると言えます。

S = {}

ロブソンルイス
数学の先生