多面体を研究するとき、私たちはに出くわします プラトンの立体 特定のケースとして。 正多面体であるためには、多面体は次の3つの条件を満たす必要があります。
凸状である;
すべての面に同じ量のエッジがあります。
すべての頂点は、同じ数のエッジの端です。
何人かの哲学者が宇宙の起源を理解しようとしました、そしてプラトンはそれを見ました 空間幾何学 この起源の説明。 プラトンの立体は次のとおりです。
四面体;
六面体;
八面体;
十二面体;
二十面体。
それらはすべて正多角形と見なされます。 エッジとその面はすべて合同です. プラトンの立体は オイラーの関係、これは、式V + F = A + 2によって頂点、面、およびエッジの数をリストします。
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正多面体
正多面体の検索は、操作が簡単なため、繰り返し発生します。 多面体は、それがあれば通常として分類されます すべての面が同じで形成されています ポリゴン 合同. これが発生すると、 角度 エッジも合同です。
プラトンの立体は、正多面体の特定のケースです。 たとえば、正多面体である立方体は、すべての面が合同な正方形で構成されています。 プラトンの5つの固体の、3つは合同な三角形の三角形の面で形成され、1つは正方形の面で形成され、もう1つは五角形の面で形成されます。
プラトンの立体とは何ですか？
プラトン ギリシャの哲学者および数学者でした。 彼は数学に多大な貢献をし、宇宙を理解しようとして、 自然の要素と関連付けられた固体.
正多面体であるためには、多面体は 規則的で凸状。 この定義を満たすソリッドは5つだけです。 それらは、四面体、立方体または六面体、八面体、二十面体、および十二面体です。
自然の要素と固体の間に作られた関係は次のとおりです。
四面体 - 火
六面体 - 地球
八面体 –空気
二十面体 - 水
十二面体 –コスモまたはユニバース
正多面体になるには、 O 多面体 また、凸面である必要があります、すべての面には同じ数のエッジが必要であり、すべての頂点は同じ数のエッジの端である必要があります。
も参照してください： 玉石-平らな多角形の面によって形成された幾何学的な立体
通常の四面体
通常の四面体は多面体であり、 4つの面があり、 これはその名前を正当化します（テトラ= 4）。 あなたのすべての顔は
三角形によって形成されます. それはのような形をしています ピラミッド 三角形の底辺であり、すべての面が合同であるため、通常の底辺のピラミッドとして知られています。 全部で4つの顔があります（ 正三角形）、4つの頂点と6つのエッジ。
独自の通常の四面体を作成する場合は、PDFをダウンロードして印刷するだけです。 ここに。
通常の立方体または六面体
通常の六面体 6を持っています 顔、その名前を正当化します（hex = 6）。 あなたの顔はすべてです 平方. 立方体とも呼ばれ、6つの面、12のエッジ、8つの頂点があります。
独自のキューブを作成する場合は、PDFをダウンロードして印刷するだけです。 ここに。
八面体
前のものと同様に、名前は面の数にリンクされているため、八面体です 8つの面があります. これらの顔は持っています 正三角形. 八面体には、8つの面、12のエッジ、6つの頂点があります。
独自の八面体を作成する場合は、PDFをダウンロードして印刷するだけです。 ここに.
二十面体
二十面体には合計 20面. それらの面は、八面体のように、正三角形のような形をしています。 合計20の面、30のエッジ、12の頂点があります。
独自の二十面体を作成する場合は、PDFをダウンロードして印刷するだけです。 ここに。
十二面体
十二面体は、プラトンの最後の立体です。 全部で12面あります と見なされます より調和のとれた 5つの正多面体の中で。 彼らの顔は五角形のような形をしています。 12の面、30のエッジ、20の頂点が特徴です。
独自の12面体を作成する場合は、PDFをダウンロードして印刷するだけです。 ここに。
また、アクセス： 円柱-2つの平行な円形面によって異なる平面で形成された幾何学的な立体
オイラーの公式
オイラー多面体は凸多面体です。 オイラーは、凸多面体の面の数（F）、頂点の数（V）、およびエッジの数（A）を関連付ける式を開発しました。 すべての正多面体はオイラー関係を満たします。
V + F = A + 2 |
式を分析すると、 その後、計算することが可能です 面とエッジの数からの頂点の数、または頂点とエッジの数からの面の数、要するに、 その要素の2つを知っているので、3番目を見つけることは常に可能です.
例:
多面体には8つの頂点と12のエッジがあり、それが規則的であることを知っているので、面はいくつありますか？
V + F = A +2であることがわかっています
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14-8
F = 6
解決された演習
質問1 - （Enem 2016）プラトンの立体は凸ポリトープであり、その面はすべて単一のポリゴンに合同です。 通常、すべての頂点には同じ数の入射エッジがあり、各エッジは2つだけで共有されます。 顔。 それらは、例えば、鉱物の結晶の形状を分類したり、さまざまなオブジェクトを開発したりする際に重要です。 すべての凸多面体と同様に、正多面体はオイラー関係V-A + F = 2を尊重します。ここで、V、A、およびFは、それぞれ多面体の頂点、エッジ、および面の数です。
三角形のプラトンの多面体の形をした結晶では、頂点の数と面の数の関係は何ですか？
A）2V-4F = 4
B）2V-2F = 4
C）2V-F = 4
D）2V + F = 4
E）2V + 5F = 4
解決
代替C。 面は三角形であるため、各面に3つのエッジがあることがわかります。 ただし、エッジの数を面の数に関連付けるには、各エッジが含まれていることを覚えておくことが重要です。 2つの面で、2つの面の合流がエッジを形成するため、この場合、エッジを面に関連付けることができます。 あたり：
オイラー関係をV-A + F = 2とし、Aを代入すると、次のことが必要になります。
質問2 - 以下の選択肢から、どれが正多面体ではないかを判断します。
A）キューブ
B）通常の四面体
C）二十面体
D）十二面体
E）コーン
解決:
代替E。 選択肢のうち、プラトン立体に対応しないのは 円錐.
ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生
ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm