逆関数：それは何ですか、グラフ、演習

THE 逆関数、名前が示すように、 関数f（x）^-1、これは関数f（x）の逆を正確に実行します。 逆関数をサポートする関数の場合、次のようにする必要があります。 バイジェクターつまり、インジェクターとサージェクターを同時に使用します。 逆関数の形成則は、関数f（x）が行うこととは逆のことを行います。

たとえば、関数がからの値を取る場合 ドメイン 2を加算すると、逆関数は加算ではなく2を減算します。 を見つける 逆関数形成則 未知数のxとyを反転し、新しい方程式でyを分離する必要があるため、これは必ずしも簡単な作業ではありません。

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関数はいつ逆関数をサポートしますか？

関数とその逆関数のグラフィック表現。

役割は 反転可能つまり、次の場合に限り、逆関数があります。 バイジェクター. 何を覚えておくことが重要です バイジェクター関数、これは関数です インジェクターつまり、画像のすべての要素に単一のドメインコレスポンデントがあります。 これは、セットAのさまざまな要素を、のさまざまな要素に関連付ける必要があることを意味します。 セットB、つまり、セットAの2つ以上の要素が同じ対応するものを持つことはできません。 セットB。

役割は 全射 画像がカウンタードメインと等しい場合つまり、セットAの要素が関連付けられていない要素がセットBにありません。

関数f：A→Bとします。ここで、Aは定義域、Bは定義域であり、fの逆関数はfで記述される関数になります。^-1 ：B→A、つまり、ドメインとカウンタードメインが反転します。

例：

関数f：A→Bは単射であるため、全単射です（結局、Aの個別の要素は B）の個別の要素であり、セットBに要素が残っていないため、全射でもあります。 カウンタードメインはと同じです セットする 画像.

したがって、この関数は可逆であり、その逆は次のとおりです。

逆関数形成の法則はどのように決定されますか？

逆関数形成の法則を見つけるには、 未知のものを逆転させるつまり、xをyに、yをxに置き換えてから、未知のyを分離します。 このためには、関数が可逆、つまりバイジェクターであることが重要です。

→ 例1

f（x）= x +5の逆関数の形成の法則を見つけます。

解決：

f（x）= yであることがわかっているので、y = x +5です。 xとyの反転を実行すると、次のことがわかります。 方程式:

x = y + 5

それでは、yを分離しましょう：

– 5 + x = y
y = x – 5

明らかに、f（x）がxの値に5を加算すると、その逆f（x） ^{- 1} 逆、つまりxマイナス5を実行します。

→ 例2

形成則がf（x）= 2x – 3である関数を考えると、その逆の形成則は何でしょうか？

→ 例3

関数y = 2の逆数の形成則を計算します^バツ.

解決：

y = 2^バツ
xをyに変更する：
x = 2^y

申請中 対数 両側に：

ログ₂x =ログ₂2^y
ログ₂x = ylog₂2
ログ₂x = y・1
ログ₂x = y
y =ログ₂バツ

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逆関数グラフ

逆関数fのグラフ ^-1 直線y = xに関して、関数fのグラフと常に対称になります。これにより、これらの動作を分析できます。 関数は、逆関数形成の法則を説明できない場合もありますが、 複雑。

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解決された演習

1）fの場合^-1 はfの逆関数であり、RからRになり、その形成則f（x）= 2x – 10、fの数値 ^-1(2) é:

1に

b）3

c）6

d）-4

e）-6

解決:

→ 最初のステップ：fの逆関数を見つけます。

→ 2番目のステップ：fのxの代わりに2を置き換えます ^-1（バツ）。

代替C。

2）f：A→Bを、形成則がf（x）=x²+ 1である関数とします。ここで、A {-2、-1、0、1、2}およびB = {1,2,5}、それを言うのは正しいです：

a）関数はバイジェクターであるため、可逆です。

b）関数は注入されていないため、可逆ではありません。

c）全射ではないため、関数は可逆ではありません

d）全射でも注入でもないため、関数は可逆ではありません。

e）関数はバイジェクターであるため、可逆ではありません。

解決：

関数が可逆であるためには、全単射、つまり全射と注入である必要があります。 まず、全射かどうかを分析しましょう。

関数が全射であるためには、Bのすべての要素がAに対応するものを持っている必要があります。 これを知るために、それぞれの数値を計算してみましょう。

f（-2）=（-2）²+ 1 = 4 + 1 = 5

f（-1）=（-1）²+ 1 = 1 + 1 = 2

f（0）=0²+ 1 = 0 + 1 = 1

f（1）=1²+ 1 = 1 + 1 = 2

f（2）=2²+ 1 = 4 + 1 = 5

B {1,2,5}のすべての要素がAに対応するものを持っていることに注意してください。これにより、関数が作成されます。 全射.

この関数が注入されるためには、Aとは異なる要素がBに異なる画像を持っている必要がありますが、これは起こりません。 f（-2）= f（2）であり、f（-1）= f（1）であることに注意してください。これにより、関数が作成されます。 注射しないでください. インジェクターではないため、反転することもできません。 したがって、 代替案b.

ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生

ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm