行列の乗算：計算方法、例

THE m行列の乗算多くの注意を必要とするアルゴリズムを介して行われます。行列Aと行列Bの間の積が存在するためには、 の数が必要です 列 与える 最初 本部、 万一に備えて Aは、の数に等しい 行 与える 月曜本部、ケースBの場合。

行列間の乗算から、単位行列が何であるかを理解することができます。行列乗算の中立要素、および行列Mの逆行列とは何ですか。これは行列Mです。^-1 M byMの製品^-1 単位行列に等しい。行列に実数を掛けることもできます—この場合、本部番号で。

あまりにも読んでください： 三角行列とは何ですか？

存在条件

2つの行列を乗算するには、最初に存在条件を確認する必要があります。製品が存在するためには、 最初の行列の列数は、2番目の行列の行数と等しくなければなりません。 さらに、乗算の結果は、最初の行列と同じ行数と2番目の行列と同じ列数を持つ行列になります。

たとえば、行列A間の積AB_3x2 およびB_2x5 Aの列数（2列）がBの行数（2行）と等しいために存在し、結果は行列ABになります。_3x5. すでにC行列間の積_3x5 および行列D_2x5 Cには5列、Dには3行があるため、存在しません。

2つの行列間の積を計算する方法は？

行列の乗算を実行するには、 いくつかの手順に従う必要があります。 代数行列Aの乗算の例を作成します_2x3 行列Bによる_3x2

製品が存在することはわかっています、行列Aには3列、行列Bには3行があるためです。 Cを乗算A・Bの結果と呼びます。さらに、結果がC行列であることもわかっています。_2x2、行列Aには2行、行列Bには2列があるためです。

行列Aの積を計算するには_2x3 および行列B₃_バツ₂、いくつかの手順を実行しましょう。

まず、行列Cの各項を見つけます。_2x2:

用語を見つけるために、しましょう 常に行列Aの行を行列Bの列に関連付けます。

ç₁₁ → Aの1行目そして Bの1列目
ç₁₂ → Aの1行目そして Bの2列目
ç₂₁ → Aの2行目そして Bの1列目
ç₂₂ → Aの2行目そして Bの2列目

Aの行の項とBの列の項を乗算して、各項を計算します。次に、これらの製品を追加する必要があります。 ç_11:

Aの1行目
Bの1列目

ç₁₁ = ザ・₁₁・b₁₁ + ザ・₁₂・b₂₁+ ザ・₁₃・b₃₁

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計算 ç₁₂:

Aの1行目
Bの2列目

ç₁₂ = ザ・₁₁・b₁₂ + ザ・₁₂・b₂₂+ザ・₁₃・b₃₂

計算 ç₂₁:

Aの2行目
Bの1列目

ç₂₁ = ザ・₂₁・b₁₁ + ザ・₂₂・b₂₁+ザ・₂₃・b₃₁

用語の計算 ç₂₂:

Aの2行目
Bの2列目

ç₂₂ = ザ・₂₁・b₁₂ + ザ・₂₂・b₂₂+ザ・₂₃・b₃₂

したがって、行列Cは次の項で形成されます。

例:

行列AとBの間の乗算を計算してみましょう。

私たちはAでそれを知っています_2x2 およびB_2x3、最初の列の数は2番目の行の数と等しいため、積が存在します。したがって、C = A・Bとし、C_2x3.

乗算するには、次のことを行う必要があります。

も参照してください： 転置行列とは何ですか？

単位行列

行列間の乗算では、次のようないくつかの特殊なケースがあります。 単位行列。これは、行列間の乗算の中立要素です。. 単位行列は正方行列です。つまり、行の数は常に列の数と同じです。さらに、対角線の項のみが1に等しく、他の項はすべてゼロに等しくなります。行列Mに単位行列Iを掛けると_番号、するべき：

M・私_番号 = M

例:

逆行列とは何ですか？

行列Mが与えられると、それはMの逆行列としてわかります。 行列M^-1その製品M・M^-1 等しい à 単位行列I_番号. 行列が逆行列を持つためには、それは正方形でなければならず、その行列式 0とは異なる必要があります。逆行列の例を見てみましょう。

製品A・Bを計算するには、次のことを行う必要があります。

注意してください AとBの間の積生成行列I₂. これが起こるとき、BはAの逆行列であると言います。このタイプのマトリックスの詳細については、以下をお読みください。逆行列.

実数による行列の乗算

行列間の乗算とは異なり、1による行列の乗算もあります実数、これは解決策を見つけるためのはるかに簡単な操作です。

行列Mが与えられた場合、行列に実数を掛けます k 行列に等しい kM。この行列を見つけるには kM、十分 行列内のすべての項に定数を掛けます k.

例:

もし k = 5で、以下の行列Mを考慮して、行列5Mを見つけます。

掛け算：

解決された演習

質問1 - （ユニタウ）与えられた行列AとB、

要素cの値₁₁ 行列C = ABのは次のとおりです。

A）10。

B）28。

C）38。

D）18。

E）8。

解決

代替案A。

用語cはどのように必要ですか₁₁、最初の行とAの項にBの最初の列の項を掛けてみましょう。

cの計算₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

質問2 - （Enem 2012）ある学生が、いくつかの科目の隔月の成績を表に登録しました。彼は、表の数値エントリが4×4の行列を形成し、行列の積を使用してこれらの分野の年平均を計算できることを指摘しました。すべてのテストの重みは同じで、彼が得た表を以下に示します。

これらの平均を取得するために、彼はテーブルから取得した行列に行列を掛けました。

解決

代替E。

平均は、要素の合計を要素の数で割ったものにすぎません。 1行に4つの音符があるため、平均はそれらの音符の合計を4で割ったものになることに注意してください。 4で割るのは、で乗算するのと同じです。分数 ¼. また、成績の行列は4x4の行列であるため、成績の平均を持つ行列を見つけるには、4x1の行列、つまり4行1列の行列を掛ける必要があります。

ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生

ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm