THE 本部 これは通常、問題解決を容易にするために表形式のデータを整理するために使用されます。 行列情報は、数値であるかどうかに関係なく、行と列にきちんと配置されています。
の演算を備えた行列のセット 添加, 減算 そして 乗算 中立および逆元としての機能は、次のような数学的構造を形成します。 さまざまな分野での応用を可能にします 知識のこの広い領域の。
も参照してください: 行列システムと線形システムの関係
行列表現
行列の研究を始める前に、それらの表現に関するいくつかの表記法を確立する必要があります。 で 行列は常に大文字で表されます。 （A、B、C…）、インデックスが付いており、 最初の数字は行数を示し、2番目の数字は列数を示します.
THE 行数 （横列）と 列 行列の（垂直行）がその行列を決定します 注文。 行列Aの次数はmxnです。 配列に含まれる情報はと呼ばれます 要素 括弧、角括弧、または2本の縦棒で構成されています。例を参照してください。
行列Aには2行3列があるため、その順序は2 x3→Aです。2x3。
行列Bは1行4列なので、順序は1つずつなので、次のように呼ばれます。 ラインマトリックス →B1x4。
行列Cには3つの行と1つの列があるため、 列マトリックス そしてその順序は3つずつ→C3x1。
配列の要素を一般的に表すことができます。つまり、数学的な表現を使用してこの要素を書くことができます。 O一般的な要素は小文字で表されます （a、b、c…）、そして配列の表現と同様に、その場所を示すインデックスもあります。 最初の数字は要素が含まれている行を示し、2番目の数字は要素が配置されている列を示します。
次の行列Aを考えてみましょう。その要素をリストします。
最初の行と最初の列、つまり行1と列1にある最初の要素を観察すると、番号は4になります。 書きやすくするために、次のように表記します。
ザ・11 →1行目、1列目
したがって、行列Aの次の要素があります。2x3:
ザ・11 = 4
ザ・12 =16
ザ・13 = 25
ザ・21 = 81
ザ・22 = 100
ザ・23 = 9
一般に、配列はその一般的な要素の関数として記述できます。これは ジェネリック行列.
m行n列の行列は次のように表されます。
例
行列A = [aを決定しますij ]2x2、 次のトレーニング法がありますij = j2 –2i。 ステートメントデータから、行列Aは2行2列であることがわかります。つまり、2行2列であるため、次のようになります。
さらに、マトリックス形成の法則が与えられました。つまり、各要素は次の関係で満たされます。ij = j2 –2i。 式にiとjの値を代入すると、次のようになります。
ザ・11 = (1)2 - 2(1) = -1
ザ・12 = (2)2 - 2(1) = 2
ザ・21 = (1)2 - 2(2) = -3
ザ・22 = (2)2 - 2(2) = 0
したがって、行列Aは次のようになります。
配列タイプ
いくつかのマトリックスは特別な注意に値します、今これらを見てください 配列の種類 例を挙げて。
正方行列
行列は、 行数は列数と同じです. n行n列の行列をAで表します番号 （読み取り：n次の正方行列）。
正方行列には、2つの非常に重要な要素があります。 対角線：メインとセカンダリ. 主対角線は、等しいインデックスを持つ要素によって形成されます。つまり、すべての要素aです。ij i = jの場合。 二次対角線は要素aによって形成されますij i + j = n +1の場合、nは行列の次数です。
単位行列
単位行列は、 すべて君は1に等しい主対角線の要素 そしてその 0に等しい他の要素、その形成法は次のとおりです。
この行列をIで表します。ここで、nは正方行列の次数です。いくつかの例を参照してください。
単位行列
これは1次の正方行列です。つまり、行と列があるため、 たった1つの要素.
A = [-1]1x1、B = I1 = (1)1x1 およびC = || 5 ||1x1
これらは単位行列の例であり、行列Bに重点が置かれています。 単位単位行列.
ヌル行列
配列のすべての要素がゼロに等しい場合、配列はnullであると言われます。 次数m、n、Oのヌル行列を表します。mxn.
行列Oは4次のヌルです。
反対の行列
2つの等次行列を考えます。A= [aij]mxn およびB = [bij]mxn. これらの行列は、次の場合にのみ反対と呼ばれます。ij = -bij. したがって、 対応する要素は 反対の数.
行列B = -Aを表すことができます。
転置行列
2つの行列A = [aij]mxn およびB = [bij]nxm 彼らです 転置 場合に限り、ij = bji 、つまり、行列Aが与えられた場合、その転置を見つけるには、行を列として取得します。
行列Aの転置はAで表されますT. 例を参照してください。
続きを見る： 逆行列：それは何であり、どのように検証するか
行列演算
行列のセットには、非常に明確に定義された加算と乗算つまり、2つ以上の行列を操作するときはいつでも、操作の結果は行列のセットに属します。 しかし、減算演算はどうですか？ この演算は、加算の逆数（逆行列）であると理解しています。これも非常に明確に定義されています。
操作を定義する前に、のアイデアを理解しましょう 対応する要素 そして 行列の等式. 対応する要素は、異なるマトリックスで同じ位置を占める要素です。つまり、同じ行と列に配置されます。 明らかに、一致する要素が存在するためには、配列が同じ順序である必要があります。 見てください：
要素14と-14は、同じ位置（同じ行と列）を占めるため、反対の行列AとBの対応する要素です。
対応する要素が等しい場合に限り、2つの行列は等しいと言われます。 したがって、行列A = [aij]mxn およびB = [bij]mxn、これらは、次の場合にのみ同じになります。ij = bij 任意のijのために。
例
行列AとBが等しいことを知って、xとtの値を決定します。
行列AとBは等しいので、対応する要素は等しくなければなりません。したがって、次のようになります。
x = -1およびt = 1
行列の加算と減算
の操作 行列間の加算と減算 それらは非常に直感的ですが、最初に条件が満たされる必要があります。 これらの操作を実行するには、最初に次のことを確認する必要があります。 配列の次数は同じです。
この条件が確認されると、行列の対応する要素を加算または減算することにより、行列の加算と減算が行われます。 行列A = [aij]mxn およびB = [bij]mxn、その後：
A + B = [aij + bij] mxn
A-B = [aij -Bij] mxn
例
以下の行列AとBを検討し、A + BとA–Bを決定します。
あまりにも読む: 整数演算
行列による実数の乗算
行列内の実数のスカラーによる乗算（行列乗算とも呼ばれます）は、行列の各要素にスカラーを乗算することによって与えられます。
A = [aij]mxn 行列とtは実数なので、次のようになります。
t・A = [t・aij]mxn
例を参照してください。
行列の乗算
行列の乗算は、行列の加算と減算ほど簡単ではありません。 乗算を実行する前に、行列の順序に関する条件も満たす必要があります。 行列Aを考えますmxn およびBnxr。
乗算を実行するには、 最初の行列の列数は、2番目の行列の行数と等しくなければなりません. 積行列（乗算から得られる）には、最初の行数と2番目の列数によって与えられる順序があります。
行列AとBの間の乗算を実行するには、次のように各行にすべての列を乗算する必要があります。最初の要素 AのはBの最初の要素で乗算され、次にAの2番目の要素に加算され、Bの2番目の要素で乗算されます。 続けて。 例を参照してください。
あまりにも読む: ラプラスの定理：いつどのように使用するかを知る
解決された演習
質問1 –（U。 そして。 Londrina – PR）行列AとBをそれぞれ3 x4とpx qとし、行列A・Bの次数が3 x 5の場合、次のようになります。
a）p = 5およびq = 5
b）p = 4およびq = 5
c）p = 3およびq = 5
d）p = 3およびq = 4
e）p = 3およびq = 3
解決
次のような声明があります。
THE3x4 ・bpxq = C3x5
2つの行列を乗算する条件から、最初の列の数が2番目の行の数と等しい場合にのみ積が存在するため、p = 4となります。 また、積行列は最初の行数と2番目の列数で与えられるため、q = 5であることがわかります。
したがって、p = 4およびq = 5です。
A：代替案b
質問2 - （Vunesp）2 x 2の実数行列を含む、次の等式でx、y、zの値を決定します。
解決
配列間の演算を実行してから、配列間の等価性を実行してみましょう。
x、y、zの値を決定するために、線形システムを解きます。 最初に、式（1）と（2）を追加しましょう。
2x – 4 = 0
2x = 4
x = 2
式（3）で見つかったxの値を代入すると、次のようになります。
22 = 2z
2z = 4
z = 2
そして最後に、式（1）または（2）で見つかったxとzの値を代入すると、次のようになります：
x + y-z = 0
2 + y – 2 = 0
y = 0
したがって、問題の解はS = {（2、0、2）}で与えられます。
ロブソンルイス
数学の先生