へ 集合を使った演算 それらは結合、交差、差異です。 これらの各操作の結果は新しいセットです。 セット間の結合を示すには、記号 ∪ を使用します。 交差点の場合は記号 ∩ 。 そして違いとして、 引き算\(-\). 違いがある場合は、操作が実行される順序を守ることが重要です。 つまり、A と B がセットの場合、A と B の差は、B と A の差とは異なります。
こちらもお読みください: ベン図 — 集合と集合間の演算の幾何学的表現
セットを使った演算の概要
セットの演算には、和集合、積集合、差分があります。
集合 A と B の結合 (または会合) は集合 A ∪ B であり、A に属する要素または B に属する要素によって形成されます。
\(A∪B=\{x; x∈A\ または \ x∈B\}\)
集合 A と B の共通部分は集合 A ∩ B であり、A に属する要素と B に属する要素によって形成されます。
\(A∩B=\{x; x∈A\ および \ x∈B\}\)
セット A と B の違いは、A に属し、B に属さない要素によって形成されるセット A – B です。
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
U (ユニバース集合として知られる) が、特定のコンテキスト内のすべての集合を含む集合である場合、差 U – A (A ⊂ U) は、A の補数と呼ばれます。 A の補数は、A に属さない要素によって形成され、次のように表されます。 あw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
集合を使った操作に関するビデオレッスン
集合を使った 3 つの演算とは何ですか?
3つの操作 セット付き 結合、交差、差分です。
集合の和集合
集合 A と B の結合 (または会合) は、集合 A ∪ B (「結合 B」と読みます) です。 このセットは、セット A に属するすべての要素で構成されます または セット B に属します。つまり、 少なくとも 1 つのセットに属する要素.
A ∪ B の要素を x で表すと、次のようになります。
\(A∪B=\{x; x∈A\ または \ x∈B\}\)
下の画像では、オレンジ色の領域が セット あ ∪B.
難しそうですか？ 2 つの例を見てみましょう!
例 1:
A = {7, 8} かつ B = {12, 15} の場合、集合 A ∪ B は何ですか?
集合 A ∪ B は A に属する要素によって形成されます または Bに属します。 要素 7 と 8 は集合 A に属しているため、両方とも集合 A ∪ B に属している必要があります。 さらに、要素 12 と 15 は集合 B に属しているため、両方とも集合 A ∪ B に属している必要があります。
したがって、
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
A∪B の各要素は集合 A または集合 B のいずれかに属することに注意してください。
例 2:
セット A = {2, 5, 9} および B = {1, 9} を考えてみましょう。 集合 A ∪ B とは何ですか?
要素 2、5、および 9 は集合 A に属しているため、それらはすべて集合 A∪B に属している必要があります。 さらに、要素 1 と要素 9 は集合 B に属しているため、それらはすべて集合 A ∪ B に属している必要があります。
この要素はセット A とセット B に属しているため、9 を 2 回言及したことに注意してください。 「集合 A ∪ B は A に属する要素によって形成される」ということ または 「B に属する」は、集合 A と集合 B に同時に属する要素を除外するものではありません。
したがって、この例では、
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
要素 9 は 1 回だけ書くことに注意してください。
集合の交差
集合 A と B の交差は、集合 A ∩ B (「交差 B」と読みます) です。 このセットは、セット A に属するすべての要素で構成されます それは セットBに属します。 つまり、A ∩ B セット A と B の共通要素で構成されます.
A ∩ B の要素を x で表すと、次のようになります。
\(A∩B=\{x; x∈A\ および \ x∈B\}\)
下の画像では、オレンジ色の領域が セット あ ∩B.
集合の積集合に関する 2 つの例を解いてみましょう。
例 1:
A = {-1, 6, 13} および B = {0, 1, 6, 13} について考えてみましょう。 集合 A ∩ B は何ですか?
集合 A ∩ B は、集合 A に属するすべての要素によって形成されます それは セットBに属します。 要素 6 と 13 はセット A と B に同時に属していることに注意してください。
このような、
A ∩ B={6, 13}
例 2:
集合 A = {0,4} と集合の間の共通部分は何ですか? \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
セット A と B の間に共通の要素がないことに注意してください。 したがって、共通部分は要素のない集合、つまり空集合になります。
したがって、
\(\)A ∩ B={ } = ∅
セット間の違い
セット A と B の差は、セット A – B です (「A と B の差」と読みます)。 このセットの内容は、 セット A に属し、セット B には属さないすべての要素.
A – B の要素を x で表すと、次のようになります。
\(A-B=\{x; x∈A\ および\ x∉B\}\)
下の画像では、オレンジ色の領域が セットA – B.
注意： B – A は、セット B に属し、セット A には属さないすべての要素によって形成されるため、セット A と B の違いはセット B と A の違いではありません。
セット間の違いについて、以下の 2 つの例を考えてみましょう。
例 1:
A = {-7, 2, 100} かつ B = {2, 50} の場合、集合 A – B は何でしょうか? セットB～Aはどうでしょうか？
セットA-B 集合 A に属するすべての要素で構成されます それはいいえ セットBに属します。 2 は、セット B にも属するセット A の唯一の要素であることに注意してください。 したがって、2 は集合 A – B には属しません。
したがって、
A – B = {-7, 100}
さらに、集合 B – A は、集合 B に属するすべての要素によって形成されます。 それはいいえ セットAに属します。 したがって、
B – A = {50}
例 2:
セット A = {–4, 0} とセット B = {–3} の違いは何ですか?
A の要素はどれも B に属さないことに注意してください。 したがって、差分 A – B は集合 A そのものです。
\(A - B = \{-4.0\} = A\)
観察： U (ユニバース セットと呼ばれる) が、特定の状況における他のすべてのセットを含むセットであると考えてください。 このような、 違い U-A、 と あ⊂U、A に対する相補と呼ばれるセットです。 そして次のように描かれています \（紀元前\）.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
次の画像では、長方形がユニバース セットで、オレンジ色の領域がユニバース セットです。 \（紀元前\）.
さらに詳しく: 割り算のやり方を段階的に説明
集合演算に関する演習を解決しました
質問1
セット A = {–12, –5, 3} および B = {–10, 0, 3, 7} を考慮し、以下の各ステートメントを T (true) または F (false) に分類します。
私。 A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
Ⅲ． A – B = {–12, –5}
正しい順序は上から下です。
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
解決
私。 間違い。
0 ∈ B であるため、要素 0 は A と B の和集合に属している必要があります。 したがって、A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. 真実。
Ⅲ． 真実。
代替案 B.
質問2
A = {4, 5}、B = {6,7}、C = {7,8} について考えてみましょう。 すると、集合 A ∪ B ∩ C は次のようになります。
A) {7}。
B) {8}。
C) {7、8}。
D) {6、7、8}。
E) {4、5、6、7、8}。
解決
A ∪ B = {4, 5, 6, 7} であることに注意してください。 したがって、集合 A ∪ B ∩ C は、A ∪ B = {4, 5, 6, 7} と C = {7,8} の共通部分です。 すぐ、
A ∪ B ∩ C = {7}
代替案 A.
情報源
リマ、イーロン L.. 分析コース. 7版 リオデジャネイロ：IMPA、1992年。 v.1.
リマ、イーロン L. 他。 高校数学。 11. 編 数学教師のコレクション。 リオデジャネイロ：SBM、2016年。 v.1.
