君は 複素数 解決する必要性から生じる 方程式 持っている 負の数のルート、それまでは、実数を使って解くことはできませんでした。 複素数は、次の3つの方法で表すことができます。 代数形式 （z = a + bi）、実数部で構成されています ザ・ と虚数部 B; ザ・ 幾何学的な形、 Argand-Gauss平面としても知られる複素平面で表されます。 とあなたの 三角関数形式、 極形式とも呼ばれます。 それらの表現に基づいて、数値セットを使用しているため、複素数には、加算、減算、乗算、除算、および増強という明確に定義された演算があります。
複素平面での幾何学的表現を通じて、モジュールも定義します（ |z|）複素数（複素数を表す点から原点までの距離）の、およびaの引数は何ですか 複素数—水平軸と、原点を数値を表す点に接続するトラックとの間に形成される角度です。 繁雑。
複素数の必要性
数学では、歴史を通して、数値セットを新しいセットに拡張することは非常に一般的なことでした。 その過程で、数学が発達し、その後、 時代のニーズに応える、参照先の数値セットに属さない数値があることに気づきました。 それが、 数値セット 整数、有理数、無理数、実数であり、実数のセットを複素数のセットに拡張する必要がある場合も違いはありませんでした。
解決しようとすると 二次方程式、私たちが見つけることは非常に一般的です 負の数の平方根、これは実数のセットで解くことは不可能であるため、複素数が必要です。 これらの数の研究の始まりは、Giralmo Cardonoなどの重要な数学者からの貢献を受けましたが、それらのセットはGaussとArgandによって形式化されました。
あまりにも読んでください： 複素数の合計の幾何学的表現
複素数の代数形式
x²= –25のような二次方程式を解こうとすると、解けないとよく言われました。 ただし、代数化しようとすると、 これらの数値で演算を実行できるようにする代数式、負の数の平方根を計算することはできませんが。
あなたが一緒に働く状況の解決を容易にするために 平方根 負の数の、 虚数単位.
したがって、x²= -25で表される方程式を分析すると、次のようになります。
したがって、方程式の解は-5です。私 e5私.
代数形式を定義するには、 文字 私、 として知られている 複素数の虚数単位. 複素数は次のように表されます。
z = ザ・ + B私
何の上に ザ・ そして B 実数です。
： a = Re（z）で示される実数部。
B：Im（z）で示される虚数部。
私：虚数単位。
例
） 2 + 3私
B） -1 + 4私
ç） 5 – 0,2私
d） -1 – 3私
いつ 実数部はnullです、番号はとして知られています 純粋な虚数、たとえば、-5私 および5私 彼らは本当の部分を持っていないので、彼らは純粋な想像です。
虚数部がnullの場合、複素数も実数になります。
複素数の演算
他の数値セットと同様に、操作は次のようにする必要があります 明確に定義されているしたがって、提示された代数形式を考慮して、複素数の4つの基本的な演算を実行することができます。
2つの複素数を加算する
実行するには 添加 2つの複素数のz1 ez2、zの実数部を追加します1 ez2 それぞれ、虚数部の合計。
Be：
z1 = a + b私
z2 = c + d私
z1 +z2 =（a + c）+（b + d）私
例1
zの合計の実現1 およびz2.
z1 = 2 + 3私
z2 = 1 + 2私
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)私
z1 +z2= 3 + 5私
例2
zの合計の実現1 およびz2.
z1 = 5 – 2私
z2 = – 3 + 2私
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)私
z1+z2 = (5 – 3) + 0私
z1 +z2= 3 + 0私 = 3
も参照してください： 複素数の合計の幾何学的表現
2つの複素数の減算
話をする前に 減算、私たちは何であるかを定義する必要があります 複素数の逆数、 つまり、z = a + b私. –zで表されるzの逆数は、複素数–z = –a –bです。私。
z間の減算を実行するには1および-z2、さらに、私たちはします 実数部と虚数部を別々に減算する、ただし、-zを理解する必要があります2 複素数の逆数であるため、サインゲームをプレイする必要があります。
例1
zの減算を実行する1 およびz2.
z1 = 2 + 3私
z2 = 1 + 2私
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)私
z1–z2= 1 + 1私 = 1+ 私
例2
zの減算を実行する1 およびz2.
z1= 5 – 2私
z2 = – 3 + 2私
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)私
z1–z2= (5 + 3) + (–4)私
z1 –z2= 8 + (–4)私
z1 –z2= 8 –4私
虚数単位のパワー
乗算について話す前に、虚数単位の力を理解する必要があります。 の累乗を計算する方法を探して 私番号、これらの力が周期的に振る舞うことを認識する必要があります。 このために、いくつかを計算しましょう 効力 に 私.
次の力はその繰り返しにすぎないことが判明しました。次の点に注意してください。
私 4 = 私 2 · 私 2 = (–1) (–1) = 1
私 5 = 私 2 · 私 3 = (–1) (–私) = 私
累乗を計算し続けると、答えは常に集合{1、i、–1、–の要素になります。私}、次にユニットの力を見つけるために 私番号、n（指数）を4で割り、 残りこの部門の（r = {0、1、2、3}）はの新しい指数になります 私.
例1
iの計算25
25を4で割ると、商は6になり、余りは1になります。 したがって、次のことを行う必要があります。
私 25 = 私1 = 私
例2
の計算 私 403
403を4で割ると、100・4 = 400であるため、商は100になり、残りは3になるため、次のようにする必要があります。
私 403 =私 3 = -私
複素数の乗算
2つの複素数の乗算を実行するには、 分配法則. Be：
z1= a + b私
z2= c + d私、次に製品：
z1 · z2 =（a + b私）（c + d私）、分配法則を適用して、
z1 · z2 = ac + ad私 + cb私 + bd私 2、しかし私たちが見てきたように、 私 ² = -1
z1 · z2 = ac + ad私 + cb私 - bd
z1 · z2=（ac – bd）+（ad + cb）私
この式を使用すると、任意の2つの複素数の積を見つけることができますが、 一般に、問題の計算ではプロパティを適用するだけなので、装飾する必要はありません。 分配。
例
（2 +3の積の計算私) (1 – 4私):
(2+3私) (1 – 4私) = 2 – 8私 + 3私– 12私 ²、それを覚えている i² = -1:
(2 + 3私) (1 – 4私) = 2 – 8私 + 3私+ 12
(2 + 3私) (1 – 4私) = (2 + 12) + (– 8 + 3)私
(2+3私) (1 – 4私) = 14 – 5私
また、アクセス： 複素数の加算、減算、乗算
複素数共役
除算について話す前に、複素数の共役が何であるかを理解する必要があります。 概念は単純で、複素数の共役を見つけるだけです。 交換するmos 虚数部の記号.
2つの複素数の除算
実行するには 2つの複素数の除算、分数に分母の共役を掛けて、実数部と虚数部が明確に定義されるようにする必要があります。
例
（6-4の除算の計算私): (4 + 2私)
も参照してください： 複素数の反対、共役、等式
複素平面またはアルガンドガウス平面
複雑な計画または 計画rgand-ガウス、彼は許可します 幾何学的な形での表現 複素数の場合、この計画は デカルト平面 複素数を表します。 横軸はとして知られています 実数部軸Re（z）、 縦軸は 虚数部の軸Im（z）. したがって、で表される複素数 a + b私 順序対（a、b）によって形成される複素平面内の点を生成します。
例
数の表現3+ 2私 幾何学的形式Z（3,2）で。
複素数のモジュールと引数
複素数の絶対値は、幾何学的に、 ポイント（a、b）からの距離 これは複素平面でこの数を表します 原点へ、つまり、点（0,0）です。
ご覧のとおり、| z | の斜辺です 直角三角形したがって、それは適用することによって計算することができます ピタゴラスの定理、したがって、次のことを行う必要があります。
例:
z = 1 +3のモジュラスの計算私
O ザ・引数 複素数の、幾何学的に、 角度 横軸と| z |によって形成されます
角度の値を見つけるには、次のことを行う必要があります。
目標は、角度θ= argzを見つけることです。
例:
複素数の引数を見つけます：z = 2 + 2私:
aとbは正であるため、この角度は第1象限にあることがわかっているので、| z |を計算してみましょう。
| z |がわかれば、正弦と余弦を計算することができます。
この場合、aとbは2に等しいので、sinθを計算すると、コサインに対して同じ解が見つかります。
注目すべき角度の表を参照し、それを知ることによって、sinθとcosθの値を知る θは第1象限に属しているため、θは度またはラジアンで求めることができるため、次のように結論付けます。 何：
三角関数または極形式
の複素数の表現 三角関数形式 モジュールと引数の概念を理解して初めて可能になります。 この表現に基づいて、より高度なレベルで複素数を研究するための重要な概念が開発されています。 三角関数表現を実行するには、その代数形式z = a + biを覚えていますが、複素平面を分析するときは、次のことを行う必要があります。
代数形式で、a = | z |の値を代入することによって cosθおよびb = | z | senθ、私たちはしなければなりません：
z = a + b私
z = | z |の場合 cosθ+ | z | senθ 私、 パッティング| z | 証拠として、三角関数形式の式に到達します。
z = | z |（cosθ+ 私 ・sinθ） |
例：三角関数の形式で、数値を記入します
三角関数の形式で書くには、引数とzの絶対値が必要です。
最初のステップ – | z |の計算
| z |がわかれば、注目すべき角度の表を参照することでθの値を見つけることができます。
角度を度単位で、または角度をラジアン単位で測定して、三角関数形式で数値zを書き込むことができるようになりました。
あまりにも読んでください： 三角関数形式の複素数の放射
解決された演習
質問1 - （UFRGS）複素数zが与えられた1 =（2、–1）およびz2 =（3、x）、z間の積が1 およびz2 は実数です。 したがって、xは次のようになります。
a）-6
b）-3/2
c）0
d）3/2
e）6
解決
代替D。
積が実数である場合、虚数部はゼロに等しくなります。
これらの数値を代数形式で書くことにより、次のことを行う必要があります。
z1 = 2 – 1私 およびz2 = 3 + x私
z1 ・z2 = (2 – 1私）（3 + x私)
z1 ・z2 = 6 + 2x私 –3私 - バツ私 ²
z1 ・z2 = 6 + 2x私 –3i + バツ
z1 ・z2 = 6+ x +（2x – 3）私
虚数部がゼロに等しいことに関心があるので、2x – 3 = 0について解きます。
質問2 - （UECE）iが-1に等しい二乗の複素数の場合、5の値私 227 + 私 6 – 私 13 それは次と同じです：
） 私 + 1
b）4私 –1
c）-6私 –1
d）-6私
解決
代替C。
この式を解くには、4で割った各数値の余りを見つける必要があります。
227：4の場合、商は56になり、余りは3になります。
私 227 = 私 3 = –私
6：4は、商1と剰余2になります。
私 6 = 私 2 = –1
13：4は、商3と剰余1になります。
私 13 = 私1 = 私
したがって、次のことを行う必要があります。
5私 227 + 私 6 – 私 13
5 (–私) + (–1) – 私
–5私 –1 – 私
–6私 – 1
ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生
ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
