ニュートンの二項式 二項式は数値に上げられます 番号 何の上に 番号 それは自然数です。 物理学者の研究に感謝します アイザック・ニュートン 二項式の力については、それは可能でした 多項式の表現を容易にする規則性を確認してください 二項式の力から生成されます。
これらの規則性を守ることで、それも可能になりました の用語の1つだけを見つける 多項式、二項式の一般項の式を使用して、すべてを計算する必要はありません。 さらに、ニュートンは、 組み合わせ分析aとニュートンの二項式、何が パスカルの三角形 ニュートン二項式のより実用的な開発のための優れたツール。
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ニュートンの二項式の定義
二項として定義します2つの項を持つ多項式。 数学と物理学の一部のアプリケーションでは、二項式の累乗を計算する必要があります。 プロセスを容易にするために、 アイザックニュートンは重要な規則性に気づきました これにより、二項式の累乗から生じる多項式を見つけることができます。
場合によっては、計算は非常に簡単です。実行するだけです。 分配法則を使用した二項式の乗算。 オーダー3の効力までは、よく知られているため、あまり労力をかけずに開発します 注目の商品、ただし、より高い累乗の場合は、項自体の乗算から計算します 番号 時にはそれは大変な作業です。
例
ゼロに上げられたすべての数は1に等しく、1に上げられたすべての数はそれ自体であることに注意してください。これは、二項式にも当てはまります。
ニュートンは気づいた 各項の係数と組み合わせの関係、これにより、次の式から二項式のべき乗をより直接的に計算できます。
式を理解する：
まず、各用語の文字通りの部分、つまり指数が付いた文字を見てみましょう。 各項について、の指数が “「a」は減少し、nから始まり、n – 1になり、最後から2番目の用語が1、最後の用語が0になるまで続きます（これにより、文字「a」は最後の用語にも表示されなくなります）。
識別 ザ・ およびその指数：
ここで、常に増加している「b」の指数を分析してみましょう。これは、最初の項の0から始まります（ これにより、文字bは第1項に表示されなくなり、1は第2項に表示され、以下同様に等しくなります。 ザ・ 番号前期に。
識別 B およびその指数：
文字通りの部分を理解して、 係数を分析する、すべての組み合わせです 番号 0から0、1から1、2から2など、最後の項までの要素。 番号 から取られた要素 番号 に 番号.
の計算をマスターすることが重要であることは注目に値します 組み合わせ 係数を見つけることができるように。 組み合わせを計算するには、次のことを行う必要があることを忘れないでください。
組み合わせ応答は常に 自然数.
も参照してください： 多項式の除法：それをどのように解決するか？
例：ニュートンの二項式（a + b）を4乗で計算します。
最初のステップ： 式を使用して多項式を記述します。
2番目のステップ： 組み合わせを計算します。
組み合わせを置き換えると、見つかった多項式は次のようになります。
指数によっては、このようなケースの解決は依然として面倒であることがわかりますが、それでも分配法則を使用して計算するよりも高速です。 この計算に役立つツールは、パスカルの三角形です。
パスカルの三角形
パスカルの三角形は、組み合わせの研究中にブレーズパスカルによって開発されました。 彼は 組み合わせの計算を簡単にする方法. パスカルの三角形を使用すると、すべての組み合わせを計算しなくても、ニュートン二項式のリテラル部分の係数をすばやく簡単に見つけることができます。
パスカルの三角形を直接作成するために、組み合わせの計算が1に等しい2つの状況を思い出してみましょう。
したがって、すべての行の最初と最後の項は常に1に等しくなります。 中央の用語は、以下の表現のように、その上の用語と前の列の隣接する用語の合計から作成されます。
次の行を作成するには、最初の項が1で、最後の項も1であることを覚えておいてください。 次に、中心的な用語を見つけるために合計を行うだけで十分です。
また、アクセス： 多項式分解定理
例： （a + b）を6乗で計算します。
最初のステップ： 二項式を適用します。
2番目のステップ： パスカルの三角形を6行目まで作成します。
3番目のステップ： 組み合わせを6行目の値に置き換えます。これは二項式の各項の係数です。
二項式から作成する行数を決定するのは、nの値です。 最初の行がゼロであることを覚えておくことが重要です。
ニュートンの二項式の一般用語
ニュートンの一般項二項式は、多項式全体を作成しなくても二項式の項を計算できる式です。つまり、次のことができます。 最初から最後まで用語のいずれかを識別します。 この式を使用して、探している用語を直接計算します。
： 第一期
B： 2期目
n： 指数
p + 1： 検索語
例：二項式の第11項を見つける（a + b）12.
解決：
も参照してください： デモンストレーション 使って 代数微積分の
解決された演習
質問1 - （Cesgranrio）xの係数4 多項式でP（x）=（x + 2）6:
a）64
b）60
c）12
d）4
e）24
解決
二項式を解く際に特定の用語を見つけたいと思います。 そのためには、pの値を見つける必要があります。
この場合の最初の項はxに等しいことがわかっているので、n – p = 4、n = 6として、次のようになります。
したがって、係数は60です（代替B）。
質問2 - （Unifor）二項式展開の中心項（4x + ky）の場合10 8064x用5y5の場合、kの値に対応する代替は次のようになります。
a）1/4
b）1/2
c）1
d）2
e）4
解決：中央の項の係数が等しいことがわかっています（p = 5）。 p + 1 = 6なので、6番目の項を見つけましょう。 さらに、a = 4xです。 b = kyおよびn = 10なので、次のようになります。
代替D。
ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生
ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
