O パスカルの三角形 それはかなり古い数学ツールです。 歴史を通して、それはいくつかの名前を受け取りました、しかし今日最も採用されたのは 算術三角形 とパスカルの三角形。 2番目の名前は、この三角形の研究にいくつかの貢献をした数学者へのオマージュです。 三角形は彼によって発明されたという意味ですが、彼はこれをより深く研究した人でした 道具。
パスカルの三角形の特性から、論理的に構築することができます。 また、あなたを際立たせます との関係 組み合わせ コンビナトリアル分析で研究. パスカルの三角形の項も二項係数に対応しているため、ニュートンの二項式を計算するのに非常に役立ちます。
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パスカルの三角形の構築
パスカルの三角形 組み合わせの結果から生成されますただし、それを構築する方法を容易にする実用的な方法があります。 最初の行と最初の列は、行ゼロと列ゼロとしてカウントされます。 必要な数の行を使用できます したがって、この構造では、三角形は無限の線を持つことができます。 線の精緻化の理由は常に同じです。 見て：
私達はことを知っています 三角形の用語は組み合わせです、で勉強した 組み合わせ分析. パスカルの三角形を数値に置き換えるために、ゼロのある数値とそれ自体のある数値の組み合わせは常に1に等しいことがわかっています。 したがって、最初と最後の値は常に1です。
他のものを見つけるために、2行目から始めます。0行目と1行目はすでに完了しているからです。 2行目で、2対1の組み合わせを見つけるために、上の行、つまり1行目で、画像に示すように、同じ列にその上の用語を追加し、前の列にその上の用語を追加しましょう。 ：
ライン2を構築した後、同じ手順を実行してライン3を構築することができます。
この手順を続けると、すべての用語（この場合は5行目まで）が見つかりますが、必要な数の行を作成することができます。
パスカルの三角形の性質
幾つかある パスカルの三角形の特性、その構造の規則性のため。 これらのプロパティは、組み合わせ、三角形の線自体の作成、および線、列、対角線の合計を操作する場合に役立ちます。
1物件目
最初のプロパティは、三角形を作成するために使用したプロパティでした。 する パスカルの三角形で用語を見つける、その上の行にある用語と、その前の列と行にある用語と同じ列を追加するだけです。 このプロパティは次のように表すことができます。
このプロパティは、 スティフェルの関係 そして、三角形の構築を容易にし、各線の値を見つけることが重要です。
2番目のプロパティ
行のすべての項の合計は、次のように計算されます。
NS番号=2番号、 何の上に 番号 行番号です。
例：
このプロパティで、知ることが可能です 行上のすべての項の合計 パスカルの三角形を作成する必要はありません。 たとえば、10行目の合計は2で計算できます。10 = 1024. すべての用語がわかっているわけではありませんが、行全体の合計値を知ることはすでに可能です。
3番目のプロパティ
特定の列の先頭から順番に並べられた用語の合計 にとって 特定の行まで 番号 行の用語と同じです n +1つのバックとコラム p +1後で、以下に示すように：
4番目のプロパティ
画像に示すように、列0から始まり、列pと行nの項に向かう対角線の合計は、同じ列（p）の項と同じですが、下の行（n + 1）にあります。 ：
5番目のプロパティ
パスカルの三角形の線には対称性があります。 第1項と第2項が等しく、第2項と最後から2番目の項が等しいというように続きます。
例：
6行目： 1615 20 156 1.
中央の項を除いて、項は2対2に等しいことに注意してください。
も参照してください： 多項式の除法：それをどのように解決するか？
ニュートンの二項式
ニュートンの二項式を定義します 1の力 多項式 2つの用語があります. 二項式の計算は、パスカルの三角形に関連しています。パスカルの三角形は、二項係数と呼ばれるものを計算するためのメカニズムになります。 二項分布を計算するには、次の式を使用します。
の指数値に注意してください NS それは最後の項でそれが等しくなるまで減少します NS0. 0に上げられたすべての数値は1に等しいことがわかっているため、 NS 前期には出てこない。 また、の指数に注意してください NS で始まる NS0, すぐ NS 最初の学期には現れず、到達するまで増加します NS番号、最後の学期で。
さらに、各項に付随する数値は、係数と呼ばれるものです。この場合、二項係数と呼ばれます。 このタイプの二項を解く方法をよりよく理解するには、次のテキストにアクセスしてください。 ニュートンの二項式.
二項係数
二項係数は、次の式を使用して計算できる組み合わせにすぎません。
ただし、ニュートンの二項分布の計算を容易にするには、パスカルの三角形を使用することが不可欠です。これにより、組み合わせの結果がより速く得られます。
例：
二項係数の結果を見つけるために、パスカルの三角形の行5の値である{1,5,10,10,5,1}を見つけましょう。
（x + y）5= 1x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ 1年5
簡単に言えば：
（x + y）5= x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ y5
解決された演習
質問1 - 以下の式の値は？
A）8
B）16
C）2
D）32
E）24
解像度
代替案A。
正の値と負の値を再グループ化するには、次のことを行う必要があります。
パスカルの三角形の4行目と3行目の減算を実際に計算していることに注意してください。 プロパティによって、私たちはそれを知っています：
NS4 = 24 = 16
NS3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
質問2 - 以下の式の値は何ですか？
A）32
B）28
C）256
D）24
E）54
解像度
代替案B。
パスカルの三角形の列1から行7に、次に3番目に用語を追加していることに注意してください。 プロパティの場合、この合計の値は、行7 +1と列1+ 1を占める項、つまり行8に等しくなります。 列2。 必要な値は1つだけなので、パスカルの三角形全体を作成するのは便利ではありません。
ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生
ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm
