二次関数の計算

THE 二次関数、 とも呼ばれている 2次多項式関数は、次の式で表される関数です。

f（x）= ax² + bx + c

どこ ザ・, B そして ç 実数であり ザ・ ≠ 0.

例:

f（x）= 2x² + 3x + 5

であること、

a = 2
b = 3
c = 5

この場合、2次関数の多項式は、変数の最大の指数であるため、次数2です。

二次関数を解く方法は？

をチェックしてください ステップバイステップ 二次関数を解く例を通して：

例

f（x）= axで与えられる2次関数でa、b、cを見つけます。² + bx + c、存在：

f（-1）= 8
f（0）= 4
f（2）= 2

まず、交換しましょう バツ 各関数の値によって、したがって、次のようになります：

f（-1）= 8
〜1）² + b（–1）+ c = 8
a-b + c = 8（式I）

f（0）= 4
。 0² + b。 0 + c = 4
c = 4（式II）

f（2）= 2
。 2² + b。 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2（式III）

2番目の関数f（0）= 4によって、すでにc = 4の値が得られています。

だから、得られた値をに置き換えましょう ç 式IおよびIIIで、他の未知数を決定します（ザ・ そして B):

（式I）

a-b + 4 = 8
a-b = 4
a = b + 4

の方程式があるので ザ・ 式Iにより、IIIに代入して、の値を決定しましょう。 B:

（式III）

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = -2
4（b + 4）+ 2b = -2
4b + 16 + 2b = -2
6b = -18
b = -3

最後に、の値を見つけるために ザ・ の値を置き換えます B そして ç すでに見つかっています。 すぐに：

（式I）

a-b + c = 8
a-（-3）+ 4 = 8
a = -3 + 4
a = 1

したがって、与えられた二次関数の係数は次のとおりです。

a = 1
b = -3
c = 4

機能のルーツ

2次関数の根または零点は、f（x）= 0となるようなxの値を表します。 関数の根は、2次方程式を解くことによって決定されます。

f（x）= ax² + bx + c = 0

2次方程式を解くために、いくつかの方法を使用できます。最もよく使用される方法の1つは、 バースカラ式、つまり：

例

関数f（x）= xの零点を見つけます² – 5x +6。

解決：

であること
a = 1
b = – 5
c = 6

バースカラの公式にこれらの値を代入すると、次のようになります。

したがって、根は2と3です。

二次関数の根の数は、次の式で得られる値に依存することに注意してください。 Δ= b² – 4. 紀元前、判別式と呼ばれます。

したがって、

• もし Δ > 0、関数には2つの実数の異なる根があります（x₁ ≠x₂);
• もし Δ、関数は実根を持ちません。
• もし Δ = 0、関数には2つの実数の等しい根があります（x₁ = x₂).

二次関数のグラフ

2次関数のグラフは、放物線と呼ばれる曲線です。 と違う 1次関数、2つの点を知っているとグラフを描くことができる場合、2次関数ではいくつかの点を知る必要があります。

二次関数の曲線は、判別式の値に応じて、関数の根または零点で最大2点でx軸をカットします（Δ). だから私たちは持っています：

• Δ> 0の場合、グラフは2点でx軸をカットします。
• Δの場合
• Δ= 0の場合、放物線は1点でのみx軸に接触します。

と呼ばれるさらに別のポイントがあります 放物線の頂点、これは関数の最大値または最小値です。 この点は、次の式を使用して求められます。

頂点は、放物線が下を向いているときの関数の最大値ポイントと、上を向いているときの最小値を表します。

係数の符号のみを分析することにより、曲線の凹面の位置を特定することができます。 ザ・. 係数が正の場合、凹面は上向きになり、負の場合、下向きになります。つまり、次のようになります。

したがって、2次関数のグラフをスケッチするために、の値を分析できます。 ザ・、関数のゼロ、その頂点、および曲線がy軸を切断する点、つまりx = 0の場合を計算します。

与えられた順序対（x、y）から、放物線numを作成できます。 デカルト平面、見つかったポイント間の接続を介して。

フィードバック付き入試演習

1. （Vunesp-SP）のすべての可能な値 m 2倍の不等式を満たす² – 20x – 2m> 0、すべて バツ レアルのセットに属するものは、次のように与えられます。

a）m> 10
b）m> 25
c）m> 30
d）m e）m

回答を参照してください

代替案b）m> 25

2. （EU-CE）二次関数f（x）= axのグラフ² + bxは、頂点が点（1、– 2）である放物線です。 この関数のグラフに属する集合x = {（– 2、12）、（– 1,6）、（3,8）、（4、16）}の要素の数は次のとおりです。

1に
b）2
c）3
d）4

回答を参照してください

代替案b）2

3. （Cefet-SP）システムの方程式がxであることを知っています。 y = 50およびx + y = 15、可能な値 バツ そして y 彼らです：

a）{（5.15）、（10.5）}
b）{（10.5）、（10.5）}
c）{（5.10）、（15.5）}
d）{（5.10）、（5.10）}
e）{（5.10）、（10.5）}

回答を参照してください

代替案e）{（5.10）、（10.5）}

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