それはとして知られています 有理数 そのすべての数 既約分数として表すことができます. 人類の歴史を通して、数の概念は人間のニーズに応じて徐々に発展してきました。 たとえば、分数での数値の表現は、でのみ解決された問題を解決しました 整数.
有理数は分数から表すことができるので、整数を変換する方法があります。 10進数 分数で表した正確で周期的な小数。
あまりにも読んでください： 分数を使った演算–どのように解決しますか？
有理数とは何ですか？
有理数は 整数のセットの拡張、その後、整数に加えて、が追加されました すべての分数。 O セットする 有理数のは次のように表されます。
この表現が言うことは、それが分数として表現できるならば、数は有理数であるということです ザ・ 約 B、 そのような ザ・ は整数であり、 B ゼロ以外の整数です。 しかし、有理数をそれほど厳密に定義しない場合は、次のように言うことができます。
有理数は、分数として表すことができるすべての数です。 |
この定義を満たす：
君は 整数s、例：-10、7、0;
君は 正確な10進数、例：1.25; 0,1; 3,1415;
で 単純な定期的な什分の一、例：1.424242…;
で 複合定期什分の一、例：1.0288888…
番号 有理数です：
で 非周期的な什分の一、例：4,1239489201…;
で ルーツ正確ではない、 例えば：
;- THE カエル私z の正方形 負の数、 例えば：
.
観察：無理数の存在により、無理数や 複素数.
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有理数の表現
分数が 分割 2つの整数の有理数になるために、 この数を分数として表すことができます. したがって、上記の各ケースを有理数（整数、正確な小数、循環小数）として表すと、分数で表すことができます。
整数
分数は既約分数で表すことができるかどうかにかかわらず、整数を分数として表すには無限の可能性があります。
例:
正確な小数
正確な10進数を 分数、小数部、つまり小数点以下の数を数えます。 カンマの後に数字がある場合は、整数部分と小数部分をコンマなしで10を超えて書き込みます。 100を超える小数部に2つの数値がある場合、実際には、小数部の数値の量は、分母にあるゼロの量になります。 例を参照してください。
定期的な什分の一
什分の一の分数表現を見つけることは、必ずしも簡単な作業ではありません。 分数を生成する. この作業を容易にするために、生成部分を見つけるために使用した式には規則性があり、実用的な方法の開発が可能であることが観察されました。
まず、周期的な什分の一には、単純なものと複合的なものの2種類があることを理解する必要があります。 1 什分の一は簡単です 小数部に、繰り返される部分、つまりピリオドのみがある場合。 1 什分の一は化合物です 小数部に非周期的な部分がある場合。
例:
9,323232…→単純循環小数
整数部分は9に等しい。
期間は32に等しい。
8,7151515…→複合定期什分の一
整数部分は8に等しい。
非周期的な小数部はに等しい 7.
期間は15です。
も参照してください： 同等の分数-同じ量を表す分数
→ 1番目のケース：単純な循環小数の分数を生成する
最初のケースでは、 単純な循環小数を分数に変換します 実用的な方法では、分子にコンマなしで部分全体とピリオドを書くだけです。 分母には、周期部分の各要素に9を追加します。
例:
9.323232…の生成分数は、これまで見てきたように、32に等しい周期、つまり、その周期に2つの数値があるため、分母は99になります。 整数部分とコンマなしの周期部分は、分子である932です。 したがって、この什分の一の生成部分は次のとおりです。
→ 2番目のケース：複合循環小数の分数を生成する
定期的な複合什分の一はもう少し面倒です。 例で取り組んだ什分の一の生成部分を見つけましょう。
8,7151515…→複合循環小数。
整数部分は8に等しい。
非周期的な小数部はに等しい 7.
期間の小数部分は15に等しくなります。
分子は 減算 8715 – 87、つまり、什分の一の非反復部分を含む、全体から周期部分に至る数の差。
分子は8715– 87 = 8628に等しくなります。
分母を見つけるために、小数部を分析してみましょう。 まず、非周期的および周期的な小数部分を見てみましょう。 この場合、数値の小数部分は 715. 周期部分にある各数に対して、を追加しましょう 9 分母の始めに。 この場合の周期部分には2つの数値（15）があるため、分母には2つの9があります。 周期的でない小数部の数値ごとに、 0 分母の終わりに、 990.
すぐに、 分数を生成する 什分の一は次のようになります。
有理数の性質
2つの有理数の間には、常に別の有理数があります
古くから議論されてきたこの物件が逆説になっていることを考えるのは興味深い。 2つの有理数を選択すると、それらの間には常に数があります。
例:
1と2の間には、1.5があります。 1から1.5の間には、1.25があります。 1と1.25の間には、1.125などがあります。 違いがほとんどない2つの有理数を選択する限り、それらの間の有理数を見つけることは常に可能です。 このプロパティは 後継者と前任者を有理数で定義することは不可能.
有理数のセットに対する4つの演算は閉じられます
セットは閉まっていると言います 和たとえば、2つの有理数の合計が常に別の有理数を答えとして生成する場合。 これは、Qの4つの操作で発生することです。
THE 足し算、引き算、割り算、掛け算 2つの有理数の間では、常に有理数になります。 実際、 増強 有理数の数は常に答えとして有理数を生成します。
有理数のセット に閉じられていません radiciation. したがって、 m2は有理数であるため、2の平方根は 無理数.
も参照してください： 同等の分数-同じ量を表す分数
有理数のサブセット
私たちは方法を知っています サブセット または、有理数の集合に属する要素によって形成される集合を包含関係にします。 いくつかの可能なサブセットがあります、整数のセットとして、または ナチュラル、すべての自然数が有理数であるのと同じように、すべての整数が有理数であるため。
例:
整数のセット：Z = {…-3、-2、-1、0.1、2、3、…}。
それが起こるとき、私たちはそれを言います Z⸦Q （ZはQに含まれるか、整数のセットは有理数のセットに含まれます。）
Qのサブセットを作成するために不可欠ないくつかの記号があります。それらは、+、-、および*であり、それぞれ、正、負、および非nullを意味します。
例：
Q *→（読み取り：ゼロ以外の有理数のセット。）
Q+ →（読み取り：正の有理数のセット。）
Q- →（読み取り：負の有理数のセット。）
Q*+ →（読み取り：正およびゼロ以外の有理数のセット。）
Q*- →（読み取り：負およびゼロ以外の有理数のセット。）
すべての要素が有理数のセットに属しているため、これらのセットはすべてQのサブセットであることに注意してください。 提示されたセットに加えて、奇数で形成されたセットなど、Qのいくつかのサブセットを操作できます。 いとこ、またはペア、最後に、サブセットのいくつかの可能性があります。
ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生
