パスカルの三角形：それは何ですか、機能、プロパティ

O パスカルの三角形 それはかなり古い数学ツールです。歴史を通して、それはいくつかの名前を受け取りました、しかし今日最も採用されたのは 算術三角形 とパスカルの三角形。 2番目の名前は、この三角形の研究にいくつかの貢献をした数学者へのオマージュです。三角形は彼によって発明されたという意味ですが、彼はこれをより深く研究した人でしたツール。

パスカルの三角形の性質から、論理的に構築することができます。また、あなたを際立たせます との関係組み合わせ組み合わせ分析で研究. パスカルの三角形の項も二項係数に対応しているため、ニュートンの二項式を計算するのに非常に役立ちます。

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パスカルの三角形の構築

パスカルの三角形 組み合わせの結果から生成されますただし、それを構築する方法を容易にする実用的な方法があります。最初の行と最初の列は、行ゼロと列ゼロとしてカウントされます。 必要な数の回線を使用できます したがって、この構造では、三角形は無限の線を持つことができます。線の精緻化の理由は常に同じです。見てください：

私達はことを知っています 三角形の用語は組み合わせです、で勉強した組み合わせ分析. パスカルの三角形を数値に置き換えるために、ゼロのある数値とそれ自体のある数値の組み合わせは常に1に等しいことがわかっています。したがって、最初と最後の値は常に1です。

他のものを見つけるために、2行目から始めます。0行目と1行目はすでに完了しているからです。 2行目で、2対1の組み合わせを見つけるために、上の行、つまり1行目で、画像に示すように、同じ列にその上の用語を追加し、前の列にその上の用語を追加しましょう。：

ライン2を構築した後、同じ手順を実行してライン3を構築することができます。

この手順を続けると、すべての用語（この場合は5行目まで）が見つかりますが、必要な数の行を作成することができます。

パスカルの三角形の性質

幾つかあるパスカルの三角形の特性、その構造の規則性のため。これらのプロパティは、組み合わせ、三角形の線自体の作成、および線、列、対角線の合計を操作する場合に役立ちます。

1物件目

最初のプロパティは、三角形を作成するために使用したプロパティでした。する パスカルの三角形で用語を見つける、その上の行にある用語と、その前の列と行にある用語と同じ列を追加するだけです。このプロパティは次のように表すことができます。

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このプロパティは、 スティフェルの関係 そして、三角形の構築を容易にし、各線の値を見つけることが重要です。

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2番目のプロパティ

行のすべての項の合計は、次のように計算されます。

s_番号=2^番号、何の上に番号行番号です。

例：

このプロパティで、知ることが可能です 行上のすべての項の合計 パスカルの三角形を作成する必要はありません。たとえば、10行目の合計は2で計算できます。¹⁰= 1024. すべての項がわかっているわけではありませんが、行全体の合計値を知ることはすでに可能です。

3番目のプロパティ

特定の列の先頭から順番に並べられた用語の合計 P 特定の行まで番号行の用語と同じです n +1つのバックとコラム p +1後、以下に示すように：

4番目のプロパティ

画像に示すように、列0から始まり、列pと行nの項に向かう対角線の合計は、同じ列（p）の項と同じですが、下の行（n + 1）にあります。：

5番目のプロパティ

パスカルの三角形の線には対称性があります。第1項と第2項が等しく、第2項と最後から2番目の項が等しいというように続きます。

例：

6行目： 1615 20 156 1.

中央の項を除いて、項は2対2に等しいことに注意してください。

も参照してください： 多項式の除法：それをどのように解決するか？

ニュートンの二項式

ニュートンの二項式を定義します 1の力多項式 2つの用語があります. 二項式の計算は、パスカルの三角形に関連しています。パスカルの三角形は、二項係数と呼ばれるものを計算するためのメカニズムになります。二項分布を計算するには、次の式を使用します。

の指数値に注意してくださいザ・それは最後の項でそれが等しくなるまで減少しますザ・⁰. 0に上げられたすべての数値は1に等しいことがわかっているので、ザ・前期には出てこない。また、の指数に注意してください B で始まる B⁰, すぐに B 最初の学期には現れず、到達するまで増加します B^番号、最後の学期で。